Aritmética: un enfoque vía teoría de modelos

Abstract

Durante mucho tiempo existió la pretensión de concebir las matemáticas como una idealización del mundo palpable, y proceder sobre ellas como se hará entre objetos del mundo real. Anales del siglo XIX comenzó la aparición de paradojas en la joven Teoría de Conjuntos del matemático ruso Georg Cantor (1845-1918) y, de esta manera, las matemáticas, que ostentaban el titulo no meritorio de una ciencia exacta, comenzó a desvanecerse. Se observó, pues, que el bello edicio se encontraba parado sobre arenas movedizas y se tambaleaba, al son del viento más ligero. Este trabajo está dividido en 5 capítulos. El primero corresponde a una exposición preliminar de conceptos lógicos necesarios, en Teoría de modelos, recursión, demostración y Códigos de Godel. El Capítulo 2 está dedicado a estudiar un sistema formal para la Aritmética, que corresponde al Marco axiomático de Peano; y a la prueba de que N es un modelo primo de Th(N), prueba que se realiza siguiendo el Test de Tarski-Vaught. En el Capítulo 3 demostramos la existencia de modelos no-estándar de la Aritmética, es decir, modelos que no son isomorfos al Modelo natural, empleando el Teorema de la Compacidad; damos una descripción de la estructura interna de estos modelos, mostrando algunas propiedades sobre las Z-cadenas y planteamos algunas cuestiones en relación a la Conjetura de Goldbach y modelos no estándar