Segundo Gómez Mulett, AlfonsoFreddy Badrán Padauí2023-10-192023-10-192023978-958-5439-52-8https://hdl.handle.net/11227/17058La impresión de este libro se realizó en papel bond blanco 90 grs. para páginas interiores y propalcote de 280 grs. para la portada con plastificado mate. Con un tiraje de 200 ejemplares. EEste libro tiene como objeto los aspectos generales sobre los fundamentos de la matemática, lo que aquí se expone tiene un toque personal entre lo formal y lo didáctico, es un visión propia sobre los fundamentos, no importa que pueda ser una versión limitada del tema.La exposición de los conceptos intenta ajustarse a lo que en promedio seria algunos caracteres de las Matematicas, como realidad construida a lo largo del tiempo. Se sabe que desde la Escuela Pitagórica hubo especial interés por fundamentar la matemática, de alguna manera en esos tiempos debía darse explicación a la existencia de los números irracionales, los conceptos de la matemática clasificados antiguamente como aritmética, geometría, astronomía y música necesitaban un asidero común; posteriormente, después de mas de dos mil años de discusiones en torno a las nociones de número, función y conjunto se llegó a acuerdos cuando estos conceptos se involucraron como un todo en los sistemas y las estructuras; sin embargo, en la enseñanza de los fundamentos la discusión continúa.Teniendo en cuenta la exposición anterior de motivos, desde lo pedagógico es importante dar un pequeño aporte sobre los temas cubiertos por los fundamentos de la matemática, entendidos aquí como conceptos básicos de lógica y teoría de conjuntos. Especialmente se considera a la lógica como una herramienta necesaria para formar un buen ciudadano; un ciudadano culto es capaz de mostrar sus argumentos en una discusión sustentados con conclusiones válidas basadas en reglas de inferencia.INTRODUCCIÓN 1 1. PRELIMINARES 5 1.1. Los fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. La lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Historia de la lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. El lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5. La definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6. El cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2. PROPOSICIONES Y CONECTIVAS 27 2.1. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Tautología y contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Otras conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Fórmulas bien formadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. CÁLCULO PROPOSICIONAL 45 3.1. Interpretación oracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Demostración directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4. Prueba condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5. Demostración indirecta y reducción al absurdo . . . . . . . . . . . . . 54 3.6. El método axiomático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.7. Axiomática del cálculo proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.8. Falacias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 IFM ASGM Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4. CÁLCULO DE PREDICADOS 71 4.1. Expresiones gramaticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Negación de cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4. Variables libres y ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.5. Interpretación y validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.6. Inferencia en el cálculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.7. Predicado identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.8. Axiomática para el cálculo de predicados . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5. CONJUNTOS 95 5.1. Concepto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2. Axiomática de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. RELACIONES 111 6.1. Concepto de relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2. Relación de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.4. Elementos especiales en un orden . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.5. Conjuntos bien ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7. FUNCIONES 129 7.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2. Funciones inyectivas y sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.3. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.4. Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8. NÚMEROS NATURALES 143 8.1. Concepto de número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.2. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.3. Suma de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8.4. Multiplicación de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.5. Potenciación de números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.6. Orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 ASGM IFM 9. NÚMEROS ENTEROS 159 9.1. Concepto de número entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.2. Suma de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.3. Multiplicación de números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.4. Orden en los número enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.5. Enteros positivos y números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.NÚMEROS RACIONALES 171 10.1.Concepto de número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10.2.Suma de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.3.Multiplicación de números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.4.Orden en los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 10.5.Enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.NÚMEROS REALES 181 11.1.Existencia de números no racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.2.Concepto de cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 11.3.Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.4.Operaciones en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.5.Completitud en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.6.Representación decimal de los números reales . . . . . . . . . . . . . 193 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 BIBLIOGRAFÍA200 Pgs.application/pdfspaDerechos Reservados-Universidad de Cartagena,2023https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/Libroinfo:eu-repo/semantics/openAccessAtribución-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0)Matemática - AprendizajeMatemáticas - InvestigacionesInvestigación educativa