Vásquez, María Ofelia2023-10-192023-10-192023978-958-5439-53-5https://hdl.handle.net/11227/17056La impresión de este libro se realizó en papel bond blanco 90 grs. para páginas interiores y propalcote de 280 grs. para la portada con plastificado mate. Con un tiraje de 200 ejemplares.Este libro tiene como tematica central la teorıa de conjuntos y los fundamentos basicos de la teorıa de numeros, esta busca familiarizar al estudiante con los temas basicos de la teorıa de grupos como son los conceptos y ejemplos de subgrupos, grupos, grupos normales, grupo producto, grupo cociente, homo morfismo e isomorfismo de grupos y algunas propiedades de los grupos finitos, donde el teorema de Lagrange es de gran importancia. Los grupos cıclicos se caracterizan en el estudio de los grupos abelianos, dado que los grupos abelianos finitamente generados se expresan a traves de los grupos cıclicos; el estudio de los grupos finitos de permutaciones, los cuales proporcionan algunos ejemplos de grupos no abelianos, revisten importancia no solo en la teorıa de grupos sino en el estudio del algebra moderna. Se introduce tambien en estas notas la accion de grupos sobre conjuntos tema que es fundamental para la demostracion de los teoremas de Sylow, ası como tambien el teorema de Cayley, los grupos solubles y nilpotentes los cuales conparten propiedades con los grupos abelianos. Este curso tiene como objetivo asimilar las nociones y resultados basicos de la teorıa de grupos, indispensables para el estudio de la teorıa de anillos y campos y temas posteriores relacionados con el algebra.Indice general 1. Grupos 7 1.1. Operaci´on binaria interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Concepto de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Otros ejemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Subgrupos 23 2.1. Concepto de subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Ejemplos de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. Grupos y subgrupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Grupo sim´etrico y alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5. Cicloestructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6. Propiedades de los grupos c´ıclicos: . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. Isomorfismos 55 3.1. Concepto de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Subgrupo normal y caracter´ıstico. Grupo cociente . . . . . . . 64 4. Producto de grupos 77 4.1. Producto directo externo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Producto directo interno de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3. Grupos abelianos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . 81 5. Teoremas de Sylow 87 5.1. Acci´on de un grupo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2. Orbita y estabilizadores: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 88 5 6 ´INDICE GENERAL 6. Grupos nilpotentes y solubles 95 6.1. Conmutador de un grupo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Definici´on y propiedades de los grupos nilpotentes y solubles . 98 6.3. Clasificaci´on de grupos finitos nilpotentes y solubles . . . . . . 101 Bibliograf´ıa 113 ´Indice alfab´etico115 pgs.application/pdfspaDerechos Reservados-Universidad de Cartagena,2023https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/Libroinfo:eu-repo/semantics/openAccessAtribución-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0)Matemática - AprendizajeMatemáticas - Enseñanza - Problemas, ejercicios, etcInvestigación cualitativa - Análisis de datos