MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO Autores Juan Cárdenas Guerra Germán Buelvas Medina MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO Autores: Juan Cárdenas Guerra – Germán Buelvas Medina ISBN: 978-959-5439-46-7 Rector: Édgar Parra Chacón Vicerrector Académico: Federico Gallego Vásquez Vicerrector de Investigaciones: Leonardo Puerta Llerena Vicerrector Administrativo: Gaspar Palacio Mendoza Secretaría General: Katia Joly Villarreal 515 / C266 Cárdenas Guerra, Juan Matemáticas previas al cálculo / Juan Cárdenas Guerra y Germán Buelvas Medina; Freddy Badrán Padauí, editor -- Cartagena de Indias: Editorial Universitaria c2022 311 páginas; -- x -- centímetros; Ilustraciones Incluye referencias bibliográficas (p. 311) ISBN: 978-959-5439-46-7 1. Ecuaciones funcionales – Enseñanza 2. Cálculo – Enseñanza 3. Análisis numéricos – Enseñanza 4. Cálculo numérico – Modelos matemáticos 5. Análisis funcional – Enseñanza I. Badrán Padauí, Freddy, editor CEP: Universidad de Cartagena. Centro de Recursos para el Aprendizaje y la Investigación. Biblioteca José Fernández de Madrid. Editor: Freddy Badrán Padauí Jefe de Sección de Publicaciones Universidad de Cartagena Diseño de Portada: Jorge L. Barrios A. Primera Edición: Cartagena, 2022. Diseño de cubierta: Jorge L. Barrios A. Corrección de estilo: Freddy Badrán Padauí. © Juan Cárdenas Guerra – Germán Buelvas Medina Editorial Universitaria, Centro calle de la Universidad, Cra. 6, Nº ,100 – 36 Claustro de San Agustín primer piso, Cartagena de Indias, 2022. Impreso en Colombia - Printed in Colombia/ Se imprimieron 200 ejemplares Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida ni en su todo ni en sus partes, ni registrada o transmitida por un sistema de recuperación de información ,en ninguna forma, ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electro - óptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo por escrito de la editorial. Índice general Prefacio 7 Estructura del libro 9 1. Sistemas de numeración 11 1.1. Numerales y sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Primeros inicios con las operaciones entre números . . . . . . . . . . 14 2. Sistemas numéricos 19 2.1. Números reales y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Convenciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Orden de evaluación o precedencia . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3. El conjunto de los números reales, suposiciones básicas . . . 22 2.1.4. Propiedades de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Clasificación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2. Propiedades de los números naturales . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3. Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.4. Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.5. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.6. Números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4. Ordenamiento de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5. Propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6. Potenciación, logaritmación y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.1. Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.2. Coeficientes binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.3. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7. Plano numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7.1. Segmentos, longitud y punto medio . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.8. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.8.1. Representación gráfica de un número complejo . . . . . . . . 74 2.8.2. Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . 75 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 2.9. Aplicaciones de propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.10.Completación de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.11.Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.12.Racionalización y simplificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.13.Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.13.1.Propiedades fundamentales de las ecuaciones . . . . . . . . 104 2.13.2.Ecuaciones lineales en una variable . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.13.3.Ecuaciones lineales en dos variables . . . . . . . . . . . . . . 107 2.13.4.Resolver sistemas de ecuaciones dos por dos . . . . . . . . . 110 2.13.5.Sistemas de ecuaciones tres por tres . . . . . . . . . . . . . . 113 2.14.Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.15.Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.16.Ecuaciones que se reducen a lineales o cuadráticas . . . . . . . . . . 129 2.17.Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.17.1.Desigualdades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.18.Desigualdades cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.19.Desigualdades con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2.20.Ecuaciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2.20.1.Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 2.20.2.Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.21.Interpretación de textos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3. Relaciones y funciones 157 3.1. Relaciones definidas en los reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.2. Funciones y sus gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.3. Dominio y rango de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.4. Gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.5. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.6. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.7. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.8. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.9. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.10.Funciones convexas y cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.11. Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.11.1. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.12.Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.13.Función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.14.Función cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.15.Funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 3.16.Modelos de regresión polinomial y = kxm . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3.17.Operaciones entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.17.1.Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 3.17.2.Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 3.17.3.Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 3.17.4.División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 3.17.5.Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 3.17.6.Reescalamientos y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 3.17.7.Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.17.8. Inversa de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 4. Trigonometría 239 4.1. Relaciones trigonométricas de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.2. Funciones trigonométricas de números reales . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2.1. Medición de ángulos en radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2.2. Ángulo de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.2.3. Relaciones trigonométricas de números reales . . . . . . . . . 249 4.2.4. Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 4.2.5. Resumen de identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.2.6. Funciones trigonométricas y sus gráficas . . . . . . . . . . . . 258 4.3. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.4. Ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 4.5. Ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5. Funciones logarítmicas y exponenciales 269 5.1. Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.2. Descomposición en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.3. Funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5.4. Funciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.5. Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.5.1. Modelos de regresión exponenciales y = kax . . . . . . . . . . 288 6. Expresiones como modelos matemáticos 291 6.1. Expresiones como modelos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 291 6.1.1. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 6.1.2. Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.1.3. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 6.1.4. Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 6.1.5. Modelos exponenciales y logarítmicos . . . . . . . . . . . . . . 302 Prefacio Históricamente, la enseñanza y el aprendizaje en el área de las matemáticas han sido un proceso difícil de desarrollar pero importante dentro del ámbito académico y, posiblemente por esta razón, se ha utilizado como filtro para acceder a la educación superior. Con el desarrollo de nuevos sistemas de educación, los países afrontan el reto de mejorar la estructura del currículo en matemáticas y de esta forma poder ofrecer más oportunidades para todos los estudiantes. Uno de estos retos es el curso de precálculo, dado que desempeña un rol importante ya que se convierte en el puente entre las matemáticas de bachillerato y la universitaria. No es discutible que en los inicios de las carreras universitarias se presente el ma- yor riesgo de deserción, debido a que en esta etapa los estudiantes confrontan sus expectativas con la realidad de sus conocimientos académicos, haciéndose notorio la existencia de un desfase entre la preparación del estudiante en la educación me- dia para los recién egresados y los requerimientos de la educación superior para los recién admitidos. La intención de este libro es darle al estudiante en su inicio de carrera universitaria más opciones y oportunidades para un mejor desempeño en los cursos de cálculo, para esto se tuvo en cuenta teorías que permiten integrar toda la temática básica que cimienta los conocimientos necesarios para cursos en matemáticas posteriores, apoyados en el uso de las nuevas tecnologías en el aprendizaje de las matemáti- cas; es así, como se elaboró material didáctico, con guías de trabajo en el software WxMaxima y ayuda audiovisual (videos) para el apoyo del proceso de enseñanza- aprendizaje de los estudiantes basado en la teoría APOS, el texto contiene: 1. 24 guías de trabajo con software WxMaxima, estas deberán ser trabajadas en salas de informática con el fin de desarrollar las dos primeras etapas de la Teo- ría APOS, Acción-Proceso. Aquí el estudiante mirará el “comportamiento” de lo que se pretende estudiar para posteriormente en el aula desarrollar la segun- da parte de Objeto-Esquema, donde se va a conceptualizar matemáticamente, basado en la abstracción reflexiva y el aprendizaje cooperativo. ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 2. 47 vídeos de apoyo audiovisual, donde los estudiantes tienen otra herramienta para repasar los temas, estudiar ejemplos y ejercicios que le permitan afianzar los conocimientos después de la clase o para adelantar lecturas. Se recomienda al docente que debe estar familiarizado con la teoría anteriormente mencionada para un uso más provechoso de este libro cuyo propósito es el tra- tamiento moderno de los temas intermedios entre el álgebra básica y el cálculo, conocidos generalmente como precálculo o matemáticas previas al cálculo. Estructura del libro Es una propuesta pedagógica enfocada en teoría APOS, en un curso de precálculo basado en conceptos básicos con ayudas audiovisuales y uso de software como lo es WxMaxima, creado con el ánimo de incentivar el uso de las tecnologías en el área de las matemáticas. El libro comprende seis unidades que comprende la siguiente estructura: 9 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL 10 Capítulo 1 Sistemas de numeración 1.1. Numerales y sistemas de numeración Las matemáticas aparecieron originariamente como parte de la vida diaria del hom- bre y si es válido el principio biológico de la supervivencia de los mejores adaptados, entonces la raza humana probablemente no deja de estar relacionada con el desa- rrollo de conceptos matemáticos por el hombre. De las nociones históricas primitivas del número, magnitud y formas, que de manera gradual surgieron un sinnúmero de experiencias, generando así el proceso de evolución de los sistemas numéricos y debe quedar referenciado que esta evolución fue un proceso largo y completamente improbable que un descubrimiento haya sido la obra de un hombre individual o una única tribu, como por ejemplo el uso del fuego hace unos 400.000 años. La conciencia del número es suficientemente extendida y clara, como para sentir la necesidad de expresar estas propiedades con un lenguaje simbólico. Podría pen- sarse que los dedos de la mano pueden usarse fácilmente para expresar conjunto de dos, tres, cuatro o cinco elementos, con las dos manos un conjunto hasta de diez elementos y si se usan los dedos de los pies un conjunto hasta de veinte elementos; cuando el uso de los dedos no era suficiente o inadecuados se debió utilizar pe- queños montones de piedras para representar la cantidad correspondiente con otro conjunto, se asumiría que estos pequeños montones fueran de diez (un sistema de- cimal) como consecuencia anatómica de los dedos de las manos. Los números son el medio mediante el cual se expresan las cantidades con las que se trata en el día a día. Históricamente civilizaciones han contemplado sus propios sistemas, como el mesopotámico, egipcio, babilónico, hindú entre otros [4]. Las si- guientes imágenes muestran algunos símbolos usados por algunas culturas para representar el número: 11 1.1. NUMERALES Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Símbolo Cantidad Símbolo Cantidad I 1 ∩∩ 20 II 2 ∩ ∩ ∩ 30 III 3 ∩∩ ∩∩ 40 IIII 4 3 100 III II 5 4 1,000 III III 6 5 10,000 IIII III 7 6 100,000 IIII IIII 8 7 1,000,000 III III III 9 13 2III ∩ 10 342 3332222 II Cuadro 1.1: Numeración egipcia Figura 1.1: Numeración mesopotámica Figura 1.2: Numeración hindú 12 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.1. NUMERALES Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN Figura 1.3: Numeración china Los números arábigos que son semejantes a 0123456789 donde se especula que tiene orígenes en la China y que tienen gran acogida, debido a la facilidad en el momento de sacar cuentas, con su principal fuerte posicional: con respecto a la posición numérica, en donde podemos distinguir el 23 del 32 [4]. Garantizándonos así la facilidad de sumar, restar, multiplicar o dividir números grandes, en la siguiente forma: Forma natural de la suma 3 4 6 7 8 6 9 8 6 + 7 8 7 + 5 4 9 + 5 9 2 1 0 1 3 1 2 1 4 8 1 2 1 2 1 5 1 7 1 1 3 3 1 3 3 5 1 5 7 8 Como el sistema es posicional, solo es de mantener la posición correspondiente de cada cifra, por lo que se puede ejecutar la suma por cualquier sentido escogido. Forma tradicional de la suma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 4 6 3 9 8 5 4 5 7 8 1 2 8 3 2 4 5 4 6 + 5 7 8 4 + 5 2 0 1 4 6 + 2 4 9 1 2 5 + 2 7 5 3 1 2 4 7 1 0 3 7 4 7 2 4 3 7 7 4 4 9 8 2 1 Forma tradicional de la resta − 8 − 1 2 3 5 6 − 9 6 4 8 7 8 5 42 5 6 8 7 8 2 3 5 − 4 5 6 8 6 6 6 6 9 1 4 1 3 3 2 8 6 13 1.2. PRIMEROS INICIOS CON LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Forma tradicional de la multiplicación × 5 4 6 × 2 5 6 4 8 2 7 52 6 2 7 3 0 × 4 5 2 6 1 5 3 8 8 8 3 8 2 23 5 1 2 9 6 1 0 9 2 1 3 5 7 8 6 6 6 8 4 8 1 5 0 1 5 0 Forma tradicional de la división 2 3 5 6 2 0 5 4 6 2 3 5 1 1 7.8 5 1 2 4 1 4 2 7 3 1 5 6 1 1 1 2 8 0 6 1 6 0 3 2 0 0 0 1 1 0 0 8 3 0 1 3 7.5 6 0 4 0 0 1.2. Primeros inicios con las operaciones entre nú- meros El primer encuentro con los sistemas de numeración y sus símbolos se encuen- tran en los primeros años de escuela. El primer conjunto de números con el cual se tiene contacto es el conjunto de números naturales, este se representa como N = {1, 2, 3, 4, ...}. Se aprenden operaciones como suma, resta, multiplicación, divi- sión, potenciación y radicación. Se organizan las operaciones con algunas restric- ciones, y una que otra omisión, que posteriormente cuando se tiene un grado de madurez de dominio de las propiedades, se extienden de forma clara en cada pro- piedad: Como encontraremos en los siguientes enunciados que nos manifestaron en prima- ria. la suma de dos números naturales cualesquiera es un número natural. la resta de dos números naturales es un número natural. el producto de dos números naturales es un número natural. 14 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.2. PRIMEROS INICIOS CON LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS la raíz cuadrada de un número natural es un número natural. Cuando algunas de estas expresiones no es posible, simplemente nos dicen que “esta operación no se puede” o bien se trabajará en otro curso posterior a este. Algunos ejemplos posibles en los que usted ha podido tener la experiencia de vivir en la escuela primaria: Calcular expresioses como 5-2 si se puede 2-5 no se puede Diga cuánto es 7÷ 3 no se puede 4-4 √ √ 81 = 9 porque 92 = 81 144 √ √ 4 81 = 3 porque 534 = 81 32 √ 5 no se puede √ 2 no se puede “No se puede” en este contexto significa que los resultados no son números na- turales. Pero existen otros sistemas numéricos donde estas operaciones si tienen sentido. Luego se habla de propiedades para las operaciones en donde las descripciones verbales predominan sobre el uso de símbolos. Clausurativa: Las operaciones definidas entre números del mismo conjunto producen números del mismo conjunto. Por ejemplo si se suman o multiplican dos números naturales se obtiene otro número natural. Conmutativa: Si al intercambiar el orden de los números que se operan generan el mismo resultado. Por ejemplo 5 + 2 y 2 + 5, generan el mismo resultado. Distributiva el producto con respecto a la suma: El producto de un número por una suma de dos números se puede obtener como la suma de dos productos de números, más específicamente, es igual a la suma del producto de dicho número con cada uno de los sumando. Por ejemplo 2 · (5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3. 15 1.2. PRIMEROS INICIOS CON LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN A medida que se avanza en los años escolares se va refinando el lenguaje y se van incorporando nuevos conjuntos de números y nueva simbología junto con un lenguaje más formal para la descripción de las propiedades. Algo como Propiedad clausurativa de suma y producto Suma Si x y y son números naturales entonces x+ y es un número natural. Producto Si x y y son números naturales entonces x ·y es un número natural. Ejemplo 1.2.1. Propiedad clausurativa de suma y producto La suma de los números naturales 5 y 6 es 11 y este es un número natural. La suma de los números naturales 10 y 15 es 25 y este es un número natural. El producto de los números naturales 5 y 6 es 30 y este es un número natural. El producto de los números naturales 10 y 15 es 150 y este es número natural. La suma y el producto de números naturales son operaciones conmutativas. Esto quiere decir que el orden en que se operen los números no altera el resultado. Propiedad conmutativa de la suma y el producto Suma Si x y y son números naturales entonces x+ y = y + x. Producto Si x y y son números naturales entonces x · y = y · x. Ejemplo 1.2.2. Conmutatividad de la suma El orden en que se sumen los números 5 y 6 no altera el resultado. 5 + 6 = 11 y 6 + 5 = 11 El orden en que semultipliquen los números 10 y 15 no altera el producto. 10 · 15 = 150 y 15 · 10 = 150 La potenciación no es conmutativa ya que el orden en que se operan los números es importante para la determinación del resultado. El intercambio de posición de los números 2 y 3 en las operación potenciación 23 y 32 generan resultados distintos. 23 = 2 · 2 · 2 = 8 y 32 = 3 · 3 = 9 ¿Qué otros ejemplos pueden dar? ¿Es posible con el 4 y el 2? 16 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.2. PRIMEROS INICIOS CON LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS Observe los siguientes enunciados y confirme su veracidad. 5− 13 = −8, pero −8 no hace parte del conjunto de los números naturales. 7/3 no hace parte del conjunto de los números naturales. √ 7 no hace parte del conjunto de los números naturales. Todas estas operaciones y restricciones están ligadas a un concepto que se estu- diará en mayor detalle más adelante, pero que se mencionará aquí para ilustrar la importancia de las propiedades de los números y el sentido en que se usarán. El concepto es el de función. Una función es una regla, dada explícitamente o no, que asocia a un elemento de un conjunto de partida (dominio) un único elemento del conjunto de llegada (codominio). Si la regla se llama f y x es un elemento del dominio, al elemento que f le asigna a x se le simboliza por f(x). Para indicar que f es una función desde el dominio A hasta el codominio B se escribe f : A → B y para indicar que x es asignado a f(x) se escribe también x 7→ f(x). Ejemplo 1.2.3. Función Por ejemplo f : {1, 4, 9, 16} → N donde la regla es que a cada elemento del conjunto de partida se le asocia la raíz cuadrada de dicho nú√mero en el con- junto de llegada. En símbolos, para n ∈ {1, 2, 4, 9, 16}, f(n) = n. Ejemplo 1.2.4. Función Por ejemplo f : {1, 2, 3, · · · } → N donde la regla es a cada elemento del con- junto de partida se le asocia un número impar en el conjunto de llegada. En símbolos para n ∈ {1, 2, 3, · · · }, f(n) = 2n− 1. La variable en una función, en el caso anterior n, puede pensarse como un con- tenedor, en el cual puede escribirse cualquier expresión que tenga sentido para la función así como para la expresión que define la función. Cuando sea el caso, la función puede pensarse como un instrumento que transforma lo que se le pase en el contenedor. El dominio de la función del ejemplo anterior 1.2.4 es el conjunto {1, 4, 9, 16}. Pode- mos definir otra función haciendo el dominio más grande, por ejemplo Ejemplo 1.2.5. Función √ Si C = {1, 4, 9, 16, 25} entonces definimos g : C → N por g(x) = x para n ∈ C y esta sería otra función. Tiene la misma regla de asignación que f pero actúa sobre un conjunto de números diferente. 17 1.2. PRIMEROS INICIOS CON LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Observe que en el dominio de la función f en el ejem√plo 1.2.4 o en el del ejemplo 1.2.5 no podrían estar números como 2 porque f(2) = 2 = g(2) no es un valor que esté en el conjunto de llegada N. En lo que sigue se estudiarán algunas propiedades mencionadas anteriormente pero en un contexto más amplio y otras adicionales pero en el conjunto de los números reales. 18 Capítulo 2 Sistemas numéricos 2.1. Números reales y sus propiedades 2.1.1. Convenciones En las expresiones que se mostrarán, una expresión literal como x o y, representa un contenedor en el cual puede ubicarse cualquier expresión que tenga sentido en el contexto. Por ejemplo si decimos que x es un número natural, entonces debemos pensar en cualquier número que se encuentre dentro del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} o cualquier combinación de operaciones que produzcan números naturales. Para indicar el producto de los números x y y se usa la yuxtaposición, es decir, un símbolo al lado del otro, xy, o un punto centrado entre los factores x · y. Se usarán paréntesis ( ), llaves { } o corchetes [ ] para agrupar cuando sea con- veniente y así evitar confusiones sobre el orden de las operaciones. A menudo encontrará operaciones o grupos de operaciones entre símbolos de agru- pación. Algunas opciones para llevar a cabo las operaciones planteadas son: (1) Realizar todas las operaciones entre ellos, antes de hacer las operaciones que existan dentro, con otros términos por fuera de los mismos. Cuando hay sím- bolos de agrupación anidados, es decir, signos de agrupación dentro de signos de agrupación se deben realizar las operaciones desde las más interiores ha- cia las más exteriores, totalizando, cuando sea posible los resultados en un mismo nivel de agrupación. (2) Aplicar la propiedad distributiva en forma reiterada hasta eliminar los símbolos de agrupación. (3) Una combinación de (1) y (2) proporciona el caminomás adecuado para reducir un sistema que involucra más símbolos de agrupación en diversos niveles. 19 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1.2. Orden de evaluación o precedencia Para evitar ambigüedades en el orden en que deben hacerse las operaciones se han acordado algunas reglas básicas llamadas orden de precedencia de operaciones. Para cambiar el orden en que se hacen las operaciones por defecto se utiliza algún símbolo de agrupación. Tenga en cuenta que en las calculadoras y en software el único signo de agrupación es el paréntesis. La suma y la resta están en el mismo nivel y generalmente se realizan en el orden de aparición. La multiplicación y la división están en el mismo nivel y generalmente se reali- zan en el orden de aparición. La operación de multiplicación o división tiene preferencia a la de adición o resta cualquiera que sea el lado del número donde aparezca. Los exponentes tienen preferencia sobre las sumas y multiplicaciones, y ten- drían que ser colocados únicamente como superíndice a la derecha de su base. La evaluación de funciones tiene precedencia sobre las operaciones anteriores y se evalúan por defecto en la expresión más cercana. Ejemplo 2.1.1. Precedencia de sumas y productos Halle el valor de 7+2×5 y explique el orden de precedencia de las operaciones. ¿Que se debe hacer para realizar primero la suma?¿Cúanto es el resultado en este último caso? Solución La respuesta algebraica de 7 + 2 × 5 es 17 porque primero se realiza la multiplicación y luego la adición. Los símbolos de agrupación, se pueden utilizar para evitar confusiones, por lo que la expresión anterior también puede ser escrita como 7 + (2 × 5). Es posible cambiar el orden de precedencia. Si queremos indicar que primero se hace la suma 7 + 2 y luego se multiplica por 5 debemos escribir, obligatoriamente, (7 + 2)× 5 cuyo resultado es 45. Ejemplo 2.1.2. Precedencia de potenciación, sumas y productos Simplifique cada expresión. (a) 6 + 1 × 8. ¿Cómo se debe escribir la expresión para forzar primero la suma? (b) 3+62. ¿Cómo se debe escribir la expresión para forzar primero la poten- ciación de la suma de 3 y 6? 20 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Solución (a) 6+ 1× 8 = 6+ 8 = 14. Para forzar la adición sobre la multiplicación, se escribe (6 + 1)× 8 = 7× 8 = 56. (b) 3 + 62 = 3 + 36 = 39. Para forzar la adición sobre la potenciación, se escribe (3 + 6)2 = (9)2 = 81. Ejemplo 2.1.3. Precedencia de resta, potenciación y división Explique cómo es el orden de precedencia de las operaciones en el cálculo de 13−5 ·62÷2. ¿Cómo debe escribir la expresión si primero quiere hacer la resta 13− 5. Solución Para realizar 13 − 5 · 62 ÷ 2 primero se resuelve 6 al cuadrado. Como la división y la multiplicación tienen el mismo orden de precedencia, la próxima operación puede ser, resolver 62 entre 2 y luego resolver por 5 o multiplicar 62 por 5 y luego dividir por 2. En todo caso, alguna de las combinaciones anteriores debe hacerse antes de hacer la resta. Por tanto el resultado es −77. 13− 5 · 36÷ 2 = 13− 180÷ 2 = 13− 90 = −77 13− 5 · 36÷ 2 = 13− 5 · 18 = 13− 90 = −77 Si en la operación inicial queremos primero la resta entre 13 y 5 debemos alterar el orden de precedencia y escribir (13 − 5) ∗ 62/2. De nuevo se hace primero 62 y se multiplica por el resultado de la resta y luego se divide por 2. (13− 5) · 62/2 = 8 · 36/2 = 8 · 18 = 144 (13− 5) · 62/2 = 8 · 36/2 = 288÷ 2 = 144 Ejemplo 2.1.4. Determine el orden de precedencia en las siguientes expresiones: 7 + 15/3 3× 10× 4 + 15− 4 20− 30× 15 + 25/5 Ejemplo 2.1.5. Simplificar Simplifique 7 − 4[5 − 23(7 + 3(5 − 45)] usando el orden de precedencia de los símbolos de agrupación. 21 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución 7− 4[5− 23(7 + 3(5︸ −︷ 5− 45 = −40 7− 4[5− 23(7 + 23(−40)] ︸ ︷−︷︷45︸︸)]40 3(−40) = −120 7− 4[5− 23(7 + (−120))] ︸ ︸ ︷︷︷ −︷120 ︸ 7 + (−120) = −113 7− 4[5− 23(−113)] −113 ︸ −23(−113) = 2599 7− 4[5 + 2599] ︸ ︷︷2599 ︸ 2604 5 + 2599 = 2604 7− 4[2604] ︸ ︷︷ ︸ − 104164[2604] = −10416 7− 10416 = −10409 ︸ ︷︷ ︸ −10409 2.1.3. El conjunto de los números reales, suposiciones básicas Suponemos la existencia de un conjunto de números que se llamará conjunto de los números reales con dos operaciones básicas: suma y producto. Estas dos opera- ciones satisfacen la propiedad commutativa y clausurativa. Además se acepta que satisfacen las siguientes propiedades Intercambio de posición de los números en la suma y multiplicación. Al intercambiar los números en las operaciones de suma y multiplicación se observa que el resultado no se altera. Es decir x+ y = y + x y xy = yx. Existencia de elementos neutros de la suma y el producto Existen números 0 y 1 en los números reales tales que x+ 0 = 0 + x = x y x · 1 = 1 · x = x. Debido a estos resultados al número 0 se le conoce como el elemento neutro con respecto a la operación suma y al número 1 se le conoce como elemento neutro con respecto a la operación multiplicación. Al operar un número dado con el respectivo elemento neutro de la operación se obtiene el número dado. Ejemplo 2.1.6. Elemento neutro con respecto a la suma en los números reales 1. 5 + 0 = 5 3. −15 + 0 = −15 5. −4 + 0 = −4 2. 20 + 0 = 20 4. π + 0 = π 6. 1254 + 0 = 1254 22 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Ejemplo 2.1.7. Elemento neutro con respecto a la multiplicación en los números reales 1. 12 · 1 = 12 4. (5 + 6) · 1 = 5 + 6 7. 500 · 1 = 500 2. 20 · 1 = 20 5. 23 · 1 = 23 8. 45 · 1 = 45 3. 15 · 1 = 15 6. π · 1 = π 9. −15 · 1 = −15 Existencia de inverso aditivo Para cada número x existe otro número y tal que x + y = y + x = 0. A este número y se le conoce como el inverso aditivo u opuesto de x El inverso de x se acostumbra a llamar −x. Es decir, si y es un número tal que x + y = 0 entonces y = −x. El opuesto de 0 es 0 y el único número real que es opuesto de si mismo. Ejemplo 2.1.8. Elemento opuesto con respecto a la suma de algunos nú- meros reales 1. El opuesto de 12 es −12 debido a que 12 + (−12) = 0 2. El opuesto de −10 es 10 debido a que −10 + 10 = 0 3. El opuesto de π es −π debido a que π + (−π) = 0 4. El opuesto de 5 es −5 debido a que 5 + (−5) = 0 5. El opuesto de −(−2) es −2 debido a que −(−2) + (−2) = 0 6. El opuesto de−(−(−a)) es−(−a) debido a que−(−(−a))+(−(−a)) = 0 7. El opuesto de 1 es −1 debido a que 1 + (−1) = 0 Definición 2.1.1: Posibilidad de la resta La resta de un número x con un número y, notada x − y, se define como la suma de x con el opuesto aditivo de y, es decir: x− y = x+ (−y). Observe que la resta de y con x es la suma de y con el opuesto de x, y − x = y + (−x) y el opuesto de x puede ser diferente del opuesto de y. Así que la resta no es commutativa. 3− 5 = 3 + (−5) = −2 y 5− 3 = 5 + (−3) = 2. 23 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Existencia del inverso multiplicativo Para cada número x distinto de 0 existe un número y tal que xy = yx = 1. A este número y se le conoce como el inverso multiplicativo de x. El inverso de x se acostumbra a llamar x−1 o 1/x. Es decir, si y es un número tal que xy = 1 entonces y = x−1. El producto de un número x con su inverso multiplicativo se escribe 1x(y−1) = x · . y Definición 2.1.2: División entre un número x y un número y La división de un número x con un número y distinto de cero, notada x/y o x ÷ y, se define como el producto de x con el inverso multiplicativo de y, es decir, x 1 = x · y y Ejemplo 2.1.9. Elemento inverso con respecto a la multiplicación de al- gunos números reales 1. El inverso de es 112 debido a que 112 · = 1 12 12 2. El inverso de − es −1 debido a que − −110 10 · = 1 10 10 3. El inverso de π es 1 debido a que 1π · = 1 π π 4. El inverso de 5 es 1 debido a que 15 · = 1 5 5 5. El inverso de 2/3 es 1 debido a que 2/3 · 1 = 1 2/3 2/3 6. El inverso de 3 es 5 debido a que 3 · 5 = 1 5 3 5 3 7. El inverso de 1 es 1 debido a que 1 · 1 = 1 1 1 24 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Ejemplo 2.1.10. Inverso Tomemos a = 5 6= 0 y b = 3, así: 3 = 3 · 5−1 5 o bien puede ser de la siguiente forma, si a = 2 y b = 150: 150 150 · 2−1 = = 75 2 Ejemplo 2.1.11. Observe los resultados de las siguientes operaciones 1. 5 + 7 = 7 + 5 = 12 5. 10 · 5 = 5 · 10 = 50 2. 15 + 42 = 42 + 15 = 57 6. π · 200 = 200 · π = 200π 3. 4 + (−3) = (−3) + 4 = 1 4. 1+2+3+4 = 4+3+2+1 = 10 7. 12(1/3 + 5) = (5 + 1/3)12 = 64 Propiedad asociativa Al agrupar de diferentes formas bajo la operación adición y multiplicación se observa que se obtiene el mismo resultado, es decir: x+ (y + z) = (x+ y) + z. x · (y · z) = (x · y) · z Si se tiene una suma o multiplicación reiterada, se pueden agrupar con el fin de efec- tuar las operaciones de forma ordenada. Esta propiedad es útil cuando se requiere escoger los términos más adecuados para realizar una determinada operación. Con- sidere los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.1.12. Asociar diferentes formas para operar. 1. 5+2+6 = (5+2)+6 = 5+(2+6) 3. 5 · 8 · 4 = (5 · 8) · 4 = 5 · (8 · 4) 2. 5+ b+2 = 5+2+ b = (5+2)+ b 4. 9 · b · 2 = (9 · 2) · b = 18 · b Propiedad distributiva de la adición respecto a la suma Para números reales x, y y z se tiene x(y + z) = xy + xz. 25 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Básicamente lo que dice es que cuando en una multiplicación uno de los factores es una suma, el producto puede obtenerse haciendo los productos de los sumandos (y y z) por el otro factor (x) y luego sumando los resultados parciales (xy y xz). Una forma sencilla de ver la distribución es la siguiente: 2(a+ 3) = (a+ 3) + (a+ 3) = 2a+ 2 · 3 = 2a+ 6. La propiedad distributiva puede pensarse como una estructura y las expresiones que intervienen pueden pensarse como contenedores que pueden albergar otras expresiones. . El cuadrado fuera de la parte contenida en el paréntesis, representa el término que debe acompañar a cada uno de los miembros del paréntesis. Por tal razón el cua- drado está al lado del círculo y al lado del triángulo. Cuando se da la suma y se escriben los factores, es decir, se da, xy+xz y se escribe xy + xz = x(y + z) se dice que se ha factorizado y x es el factor común. Ejemplo 2.1.13. Desarrolle las siguientes operaciones haciendo uso de la distribución 1. 2xa2(6 + xa) = 12xa2 + 2x2a3. 2. 3(5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2 = 15 + 6 = 21 3. 3/2(2 + b) = 3/2 · 2 + 3/2 · b = 3 + 3b 2 4. (x+ a)[(x2 − b) + 2(y + 5)] = (x+ a)(x2 − b) + 2(x+ a)(y + 5) Dominar todas estas propiedades es indispensable en el momento que use software. El orden jerárquico de las operaciones se sigue manteniendo, por lo que se debe hacer un uso cuidadoso de las mismas. Consulte la Guía WxMaxima (click aquí o consulte el código QR al final del libro). Allí se presenta un uso básico de las propiedades de los números reales. 2.1.4. Propiedades de los números reales En la sección 2.1.3 se presentaron las propiedades básicas que se dan por hecho y que se satisfacen en los números reales. En esta sección se presentarán propieda- des adicionales que pueden deducirse del conjunto de propiedades básicas. Ejemplo 2.1.14. Suma Sean a = −2 y b = −6, determine a+ b. 26 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Solución Remplazando los valores correspondientes se obtiene: a+ b = (−6) + (−2) = (−6)− (2) = −2 + (−6) = −8. Teorema. 2.1.1: Multiplicación por −1 Para todo número real a, (−1)a = −a. Lo anterior nos dice que el opuesto de 1 multiplicado por un número a es el opuesto de a. Teorema. 2.1.2: El opuesto del opuesto El opuesto de un número a es −a y el opuesto de −a es −(−a). −(−a) = a El opuesto del opuesto de un número a es el mismo número a. Ejemplo 2.1.15. Operaciones con −1 Tomemos los siguientes valores para a, a = 3 y a = −7, determine −(−3) y −(−(−7)). Solución −(−3) = 3 −(−(−7)) = −(7) = −7. Teorema. 2.1.3: Propiedad distributiva respecto a la resta El producto de un número a con la diferencia de dos números b y c, es equiva- lente a la diferencia del producto de ab y ac. Es decir a(b− c) = ab− ac. Ejemplo 2.1.16. Distribución Sean los siguientes valores a = 8, b = 10 y c = 5, determine 8(10− 5). Solución 8(10− 5) = 8 · 10− 8 · 5 = 80− 40 = 40 27 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Teorema. 2.1.4: Multiplicación por cero Todo número multiplicado por cero es cero. 0 · a = a · 0 = 0 La multiplicación del número 0 con cualquier número real genera como resultado cero. Ejemplo 2.1.17. Multiplicación por cero Sea a un valor cualquiera, como por ejemplo a = 9, determine a · 0: Solución 0 · 9 = 9 · 0 = 0 Teorema. 2.1.5: Multiplicación de opuestos (−a)b = a(−b) = −(ab) y (−a)(−b) = ab Ejemplo 2.1.18. Multiplicación por números opuestos Determine los resultados de las siguientes expresiones a = (−25)12 y (−25)(−12). Solución (−25) · 12 = 25 · (−12) = −(25 · 12) = −300. Para el otro caso se tiene: (−25) · (−12) = 25 · 12 = 300. Teorema. 2.1.6: Opuesto de una suma −(a+ b) = −a− b. Ejemplo 2.1.19. Suma con opuestos Determine el resultado de las siguientes expresiones −(5 + 8) y −(4 + 3). Solución −(5 + 8) = −5− 8 = −13 −(4 + 3) = −4− 3 = −4− 3 = −7. 28 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Teorema. 2.1.7: Opuesto de la resta −(a− b) = −a+ b. Ejemplo 2.1.20. Opuesto para una resta Determine los resultados de las siguientes expresiones. −(12− 10). Solución −(12− 10) = −12− (−10) = −12 + 10 = −2. Teorema. 2.1.8: Inverso del inverso multiplicativo Si a =6 0, entonces (a−1)−1 = a. El inverso multiplicativo del inverso multiplicativo de a es a. Ejemplo 2.1.21. Inverso multiplicativo Determine el resultado de (6−1)−1. Solución Se tiene que 1 (6−1)−1 1 1 = − = = 1 = 6. 6 1 1 1 6 6 Teorema. 2.1.9: Inverso multiplicativo del producto Si a y b son distintos de cero (ab)−1 = a−1b−1. El inverso multiplicativo para el producto de dos números reales distintos de cero es el producto de los inversos multiplicativos de cada factor. Ejemplo 2.1.22. Inverso de un número Determine el resultado de (16 · 7)−1. Solución · −1 1 1(16 7) = = · 1 = 16−1 · 7−1. 16 · 7 16 7 29 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Teorema. 2.1.10: Teorema del factor cero Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0. Ejemplo 2.1.23. Factor cero Determine el valor de b, para que se cumpla a · b = 0. Se tiene que a = 50 que valor debe tomar b para que 50 · b = 0, se deduce que a b no le queda otro camino de tomar el valor de cero, así b = 0. Lo mismo ocurre con a si b toma un valor distinto de cero, para que su producto sea cero. o bien, como 50 =6 0: 50 · b = 0 50−1 · 50 · b = 50−1 · 0 b = 0. Teorema. 2.1.11: Inverso multiplicativo de un cociente Si a y b son números distintos de(cer)o, entoncesa −1 b = . b a Teorema. 2.1.12: Suma de cocientes (a/b) + (c/d) = (ad+ bc)/(bd) si b 6= 0 y d 6= 0 a c ad+ bc + = . b d bd Ejemplo 2.1.24. Suma de fracciones Determine el resultado de las siguiente sumas. a) 8 6 1+ . b) 3 + 5 4 2 Solución a) 8 6 8 · 4 + 5 · 6 32 + 30 62 31+ = = = = . 5 4 5 · 4 20 20 10 b) 1 3 1 6 + 1 73 + = + = = 2 1 2 2 2 30 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES Teorema. 2.1.13: Multiplicación de cocientes (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) si b 6= 0 y d 6= 0 a c ac = . b d bd Ejemplo 2.1.25. Multiplicación de fracciones Determine el resultado del siguiente producto. 8 · 6 . 5 4 Solución 8 · 6 8 · 6 48 12= = = . 5 4 5 · 4 20 5 Teorema. 2.1.14: Simplificación para la división Para c 6= 0, (ac)/(bc) = (a/b) ac a = . bc b Ejemplo 2.1.26. Simplificación Simplifique la siguiente expresión. 4 · 8 . 3 · 8 Solución 4 · 8 4 = . 3 · 8 3 Teorema. 2.1.15: Cociente de cocientes Si b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0 (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) a b ad c = .bc d 31 2.1. NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.1.27. Cociente Determine el siguiente cociente 10 entre 8 . 5 6 Solución 10 5 10 · 6 60 15 8 = = = = 1.5.5 · 8 40 10 6 Teorema. 2.1.16: Cociente negativo Si b 6= 0 se tiene −(a/b) = (−a/b) = a/(−b) −a −a a= = . b b −b Ejemplo 2.1.28. Cociente negativo Muestre las combinaciones de signo en fracción −13 y −10 . 11 2 Solución −13 −13 13= = 11 11 −11 o bien si a = 10 y b = 2 se obtiene: −10 = −5 2 −10 = −5 2 10 = −5 −2 En todos los casos se obtiene el mismo valor resultante. Teorema. 2.1.17: Diferencia de dos cocientes Si b 6= 0 y d 6= 0 se tiene (a/b)− (c/d) = (ad− bc)/(bd) a − c ad− bc= . b d bd 32 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Ejemplo 2.1.29. Diferencia de dos cocientes Muestre numéricamente el teorema anterior para 8 − 6 . 5 4 Solución 8 − 6 8 · 4− 5 · 6 32− 30 2 1= = = = = 0.1. 5 4 5 · 4 20 20 10 2.2. Clasificación de los números reales Históricamente para llegar a la estructura de los números reales, estos debieron evolucionar, pasando por distintas épocas y diversos procesos de razonamiento que conllevaron a ir mejorando la solución de diversos problemas que se presentaban, para dichos momentos donde no se contemplaba la solución. De esta forma se presenta una breve información de los subconjuntos de los núme- ros reales, quienes contribuyeron a la evolución de los números reales y de forma expansiva se van adicionando mas elementos a cada conjunto hasta completar los números reales. 2.2.1. Números naturales El conjunto de los números naturales se denota con N y se define como N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...}. Un sistema de números usados para el conteo, estos presentan un orden y la exis- tencia del número 1 como primer elemento de este conjunto. 2.2.2. Propiedades de los números naturales 1. Si se toman un n en los números naturales, podemos considerar que el 1, es el menor de todos los números naturales. Esto es 1 es menor que n para todo n ∈ N. 2. Si fija un número natural k, entonces definimos sus sucesor como k+1 donde k + 1 se encuentra en el conjunto de los naturales. 3. Si fija un número natural k que sea distinto de 1, entonces se define el antecesor como k − 1. Además, k − 1 se encuentra en los números naturales. 33 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS En los números naturales se definen las operaciones de suma y producto; si se suman dos números naturales el resultado es un número natural, de igual forma sucede con el producto. El producto de dos números naturales es un número natural. Por ejemplo: 2+5 = 7 el 7 y 5·3 = 15 el 15 son números naturales. Además contempla las siguientes propiedades: asociativa, conmutativa, la suma distribuye con respecto al producto y el 1 es el elemento neutro con respecto al producto. Sin embargo, estas propiedades no son suficientes para representar en una forma eficiente, desde un punto computacional, situaciones o transacciones que se presen- tan en el vivir diario: deudas, el nivel por debajo el mar, temperaturas bajo cero, etc.. Ya que se necesitaría un número y una descripción verbal que explique el sentido. Por ejemplo 1000 metros por encima del nivel del mar, o 1000 metros por debajo del nivel del mar. Se hace necesario construir un conjunto mas grande que no requiera mayor explicación una vez establecidas ciertas convenciones. Si se habla de metros bajo el nivel del mar se puede establecer que un signo menos delante del número indique metros bajo el nivel de mar. Por ejemplo, una expresión como −100m indica- ría 100 metros bajo el nivel, sin explicaciones adicionales. El conjunto que resuelve esta situación es el conjunto de los números enteros Z. 2.2.3. Números enteros El conjunto de los números enteros se denota con Z y se define como el conjun- to formado por los números naturales, el número 0 y los opuestos de los números naturales, es decir, Z = {...,−6,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. Los opuestos de los números naturales se llaman enteros negativos, los números naturales también se llaman enteros positivos. En este conjunto quedan definidas las operaciones de suma y producto, con las pro- piedades: asociativa, conmutativa, distributiva, existencia del elemento neutro bajo el producto (1) y la suma (0). En gran medida existen situaciones en la vida real, co- mo por ejemplo: repartir 12 dulces entre 5 niños, o bien sea una pera entre dos niños, o ¿qué parte representa 15 minutos con respecto a una hora? Estas situaciones no pueden resolverse con números enteros, se hace necesario construir un conjunto más amplio que nos ayude a solucionar estos tipos de situaciones; este conjunto es el de los números racionales Q. 2.2.4. Números racionales El conjunto de los números racionales es un subconjunto de los números reales y está formado por los productos de números enteros con inversos multiplicativos de números enteros, se denota con Q{y se define comoa } Q = : a, b ∈ Z, b 6= 0 . b 34 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Cuando b = 1 se tiene a a= = a de modo que b 1 {a } : a ∈ Z, = Z 1 y así los números enteros quedan incluidos en los números racionales así como los inversos multiplicativos de enteros distintos de cero. Ejemplo 2.2.1. Números racionales 1. 2 4. 100 7. 12 3 99 5 2. −5 5. 3 8. 3 6 12 4 3. 1 − 6. 8 9. 1 9 8 Todas las propiedades de los números enteros siguen siendo válidas en Q, además se verifica la propiedad del inverso multiplicativo de todos los números racionales excepto el cero. Si a se multiplica por su inverso, se obtiene a · b = 1, además b b a a = a · 1 = a · b−1. b b 2.2.5. Números irracionales El conjunto de los números reales que no son racionales se llaman irracionales, este conjunto se denota con I. Ejemplo 2.2.2. Números irracionales Algunos ejemplos de números irracionales 1. π 6. √p donde p es un número pri- √ 2. mo.2 √ 3. 11 7. e √ 4. 7 17 8. a √√ + p donde a, b son númerosb 5. 11 53 enteros y p un número primo. 35 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.2.6. Números decimales Se entenderá como un número decimal, un número real escrito de la forma y = b.d1d2 . . . dn . . . donde b es un número entero el cual se llama parte entera, separado por una coma (representación española) o punto (representación anglosajona) de un conjunto de dígitos d1d2 . . . dn . . . a los cuales se le llama parte fraccionaria, en la cual cada uno de ellos representa a un dígito, es decir, cada uno representa un número entre 0 y 9. Las fracciones decimales tienen la forma n 1= n donde n es un número entero 10m 10m y m es un número natural. Dependiendo de la forma de la parte fraccionaria, los números decimales se clasifi- can en Decimal finito o exacto. Si la parte fraccionaria tiene un número finito de dígitos. Por ejemplo 3.2 o 9.425467. Decimal infinito. La parte fraccionaria tiene un número infinito de dígitos 3.1415... Decimal periódico. Si cierto grupo de dígitos se repiten infinitamente se dice que es un decimal periódico. El grupo de dígitos que se repite se llama periodo y se acostumbra a representar colocando una barra sobre ellos. Por ejemplo 1.9999999... en el cual se repite el nueve, se abrevia 1.9̄. Todo decimal finito puede escribirse en la forma nm· k donde n es un número entero10 2 y m y k son números naturales. Ejemplo 2.2.3. Representación decimales finitos 32 9425467 3.2 = , 9.425467 = 100 1000000 Todo número racional se puede escribir de forma de un número decimal ya sea este finito o infinito periódico. El conjunto de los números irracionales I es el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos. Ejemplo 2.2.4. Decimales Expanda de forma decimal los siguientes racionales: 7 , 1 , 5 , −6 , 15 y 5 . 50 3 2 4 12 9 36 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Solución: 1. 7 −6= 0.14 4. = −1.5 50 4 2. 1 = 0.3333333... = 0.3 5. 15 = 1.25 3 12 3. 5 = 2.5 6. 5 = 1.5 2 9 Dado un número x decimal periódico finito o infinito es posible expresarlo en la forma racional. Se identifica primero el número entero del decimal x y la parte decimal que se repite en forma periódica. Luego se multiplica tantas veces la base 10 hasta iniciar con el decimal periódico. Por otro lado se multiplica al número x por la base 10 tantas veces, hasta que solo quede un periodo de la parte decimal, manteniendo la igualdad con el número x. A estas dos expresiones se les halla la diferencia la cual ocasiona que se anule la parte periódica infinita y así poder obtener la representación de x en forma de fracción. Ejemplo 2.2.5. Decimal periódico infinito Dado el siguiente número decimal periódico infinito 1.1215151515... = 1.1215 encuentre el número racional correspondiente. Solución: En primera instancia tomemos x = 1.12151515... = 1.1215. Posteriormente multipli- quemos a x por 100 y por 10.000, que al restarlas hace que la parte infinita periódica se anule, manteniendo un sistema de ecuaciones estable. 100x = 112.15 10000x = 11215.15 Restando estas dos igualdades en el orden siguiente se obtiene: 10000x− 100x = 11215.15− 112.15 Realizando las operaciones se obtiene 9900x = 11103 11103 x = 9900 3701 x = 3300 Así se contempla que 3701 1.1215 = . 3300 37 2.3. VALOR ABSOLUTO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Dados dos números racionales cualesquiera siempre es posible encontrar otro nú- mero racional entre ellos, esto es, sean a y b números racionales, entonces a+b es 2 otro número racional que se encuentra entre a y b. Por otro lado se podrá pensar que los números racionales cubren toda la recta real, pero esto no es cierto; si intenta resolver la siguiente pregunta. ¿Cuál es el valor de la longitud de un lado correspondiente a un cuadrado cuya área es de 5 unidades cuadradas? o ¿Cuál es la razón entre el perímetro de una circunferencia y su radio? Estos tipos de números no son racionales y generan agujeros en los números racio- nales, una tarea que a lo largo de la historia ha consistido en generar números no racionales. 2.3. Valor absoluto A menudo se acostumbra a trabajar con cantidades que usualmente son positivas, como las medidas de longitud, el tiempo, la medida de la masa de un cuerpo, entre otras cantidades; por lo que es recomendable garantizar el signo de cierta medida. Si desea que las cantidades o expresiones sean positivas o negativas ¿que acon- sejaría para garantizar su signo?, por ejemplo se requiere que las siguientes expre- siones sean positivas: 5−8, 1256−56845, 12+a, 2(−8+6), (−1)n, con el fin de dar respuesta a la inquietud, se tiene la siguiente definición. Definición 2.3.1: Valor absoluto El valor absoluto de un número real a es 0 si a = 0, es a si a es positivo y es −a si a es negativo. El valor absoluto de a se denota por |a|. Ejemplo 2.3.1. Valor absoluto 1. |0| = 0 4. |e| = e 2. | − 1| = 1 5. | − e| = e 3. |3− 8| = | − 5| = 5 6. |5− 6− 8| = | − 9| = 9 Ejercicios 1. Números decimales Exprese los siguientes racionales en forma decimal. 1. 114 3. 4 5. 7 100 3 1000 2. 11 4. 5 6. 9 32 9 8 Escriba los números decimales dados, si es posible, en forma de fracción. 38 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.4. ORDENAMIENTO DE LOS NÚMEROS REALES 7. 0.000141414... 10. 3.141615 13. 2.26 8. 1.123512351235... 11. 2.2151515... 14. 0.235 9. 5.717171... 12. 1.2345678912545789... 15. 2.85 Determine el valor absoluto de las siguientes expresiones usando la definición. 16. | − 45| 18. | − (−(−12))| 17. |100− 250| 19. | − (−(−(−(−x))))| De un ejemplo donde no se cumpla cada enunciado. 20. Dados dos números racionales se puede encontrar un número entero entre ellos. 21. Dados dos números irracionales se puede encontrar un número natural entre ellos. 2.4. Ordenamiento de los números reales Existe un subconjunto de R denotado R+ tal que la suma y el producto de números positivos es positivo. Es decir, si x y y están en R+ entonces xy ∈ R+ y x + y ∈ R+. Se asume que 0 6∈ R+. Una propiedad fundamental que se utilizará con frecuencia es la propiedad de trico- tomía que establece lo siguiente: Para un número real x se tiene, una y solo una de las tres posibilidades siguientes: x = 0, x ∈ R+ o −x ∈ R+. Los opuestos de los números positivos se llaman números negativos y se representan con R−. Negativos Positivos 0 Ahora se establecerá cuál es el significado de menor que o mayor que y las des- igualdades relacionadas. (1) Menor que: x < y se lee “x es menor que y” y significa que y − x es positivo. Esto implica que un número es positivo si y solo si es mayor que cero ((y−x) ∈ R+). (2) Mayor que: y > x se lee “y es mayor que x” y significa que x < y. Esto implica que x− y es negativo si y solo si es menor que cero (−(x− y) ∈ R+). 39 2.4. ORDENAMIENTO DE LOS NÚMEROS REALES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS (3) Menor o igual que: x ≤ y se lee “x es menor o igual que y” y significa que x < y o x = y. (4) x < y y y < z se abrevia x < y < z. (5) x ≤ y y y < z se abrevia x ≤ y < z. (6) x < y y y ≤ z se abrevia x < y ≤ z. (7) x ≤ y y y ≤ z se abrevia x ≤ y ≤ z. Definición 2.4.1: Intervalo abierto El conjunto de los números reales mayores que a y menores que b se escribe (a, b) y se llama intervalo abierto, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. a b Ejemplo 2.4.1. Intervalo abierto Ilustre en la recta el intervalo (1, 2). Solución Se dibuja la recta real y se resaltan los puntos que se encuentran entre 1 y 2 como se muestra a continuación: 1 2 Definición 2.4.2: Intervalo cerrado El conjunto de los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b se escribe [a, b] y se llama intervalo cerrado, [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. a b 40 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.4. ORDENAMIENTO DE LOS NÚMEROS REALES Ejemplo 2.4.2. Intervalo cerrado Ilustre en la recta el intervalo [1, 2]. Solución Se dibuja la recta real y se resaltan los puntos que se encuentran entre 1 y 2 e incluidos el 1 y el 2 como se muestra a continuación: 1 2 Definición 2.4.3: Intervalo semiabierto a derecha El conjunto de los números reales mayores o iguales que a y menores que b se escribe [a, b) [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}. a b Ejemplo 2.4.3. Intervalo semiabierto a derecha Ilustre en la recta el intervalo [1, 2). Solución Se dibuja la recta real y se resaltan los puntos que se encuentran entre 1 y 2 e incluido solo el número 1 como se muestra a continuación: 1 2 Definición 2.4.4: Intervalo semiabierto a izquierda El conjunto de los números reales mayores que a y menores o iguales que b se escribe (a, b] (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. a b Ejemplo 2.4.4. Intervalo semiabierto a izquierda. Ilustre en la recta el intervalo (1, 2]. Solución Se dibuja la recta real y se resaltan los puntos que se encuentran entre 1 y 2 e incluye solo al número 2 como se muestra a continuación: 1 2 41 2.4. ORDENAMIENTO DE LOS NÚMEROS REALES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Definición 2.4.5: Intervalo abierto e infinito a derecha. El conjunto de los números reales x tales que x > a se escribe (a,∞). a Definición 2.4.6: Intervalo cerrado e infinito a derecha El conjunto de los números reales x tales que x ≥ a se escribe [a,∞). a Definición 2.4.7: Intervalo abierto e infinito a izquierda El conjunto de los números reales x tales que x < a se escribe (−∞, a). a Definición 2.4.8: Intervalo cerrado e infinito a izquierda El conjunto de los números reales x tales que x ≤ a se escribe (−∞, a]. a Con las anteriores representaciones gráficas y el conocimiento de los números po- sitivos y negativos, se puede presentar otra forma de la definición de valor absolutoa, si a es un número positivo. |a| = 0, si a es igual a cero. (2.1)−a, si a es un número negativo. Ejemplo 2.4.5. Determine el valor absoluto Si se sabe que x < y, halle |y − x|. Como x < y, se tiene que y − x > 0 y por tanto |y − x| = y − x. Ejemplo 2.4.6. Determine el valor de cada expresión 1. |5− 7| = | − 2| = 2 2. | − 2| − | − 7|+ |4| = 2− 7 + 4 = (2− 7) + 4 = −5 + 4 = −1 42 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.5. PROPIEDADES DE ORDEN Ejemplo 2.4.7. Verifique la siguiente condición Verifique que |a| = | − a| Se realizará la verificación considerando los diversos casos para a. 1. Si a = 0 entonces −a = 0 y |a| = |0| = 0 y | − a| = |0| = 0. Por tanto |a| = | − a|. 2. Si a es un número positivo, entonces −a < 0 y |a| = a y | − a| = −(−a) = a. Por tanto |a| = | − a|. 3. Si a es un número negativo, entonces −a > 0 y | − a| = −a y |a| = −a. Por tanto |a| = | − a|. 2.5. Propiedades de orden Cuando se trabaja con el orden de los números reales, es indispensable conocer sus propiedades y tener el dominio de las mismas, por lo que se listan a continuación con un ejemplo. 1. Propiedad de tricotomía. Para a y b números reales cualesquiera se verifica una y solo una de las tres relaciones a < b, b < a, a = b. Ejemplo 2.5.1. Tricotomía Compare el siguiente par de números: −2 y 5. Solución Dados los valores de a y b, esto es a = −2 y b = 5, este par de números solo puede cumplir una y solo una de las tres condiciones, en efecto −2 < 5. 2. Propiedad transitiva: si a < b y b < c entonces a < c. Ejemplo 2.5.2. Transitiva Compare los números −20 y 1, 1 y 8. Compare −20 con 8. Solución Se tiene que −20 < 1 y por otro lado se tiene que 1 < 8, se puede concluir que −20 < 8. 43 2.5. PROPIEDADES DE ORDEN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 3. Propiedad del múltiplo positivo: si a < b y c > 0 es ac < bc. Al multiplicar a ambos lados de una desigualdad por un número positivo los productos conservan el sentido de la desigualdad original. Ejemplo 2.5.3. Producto por un número positivo Multiplique por 3 la desigualdad 5 < 12. Solución Sea a = 5, b = 12 y c = 3 Observe que a < b y al multiplicar por c en ambos lados de la desigualdad, por ser este c > 0 se cumple que: 5 < 12 5 · 3 < 12 · 3 15 < 36. 4. Si a < b y c < 0, es ac > bc. Al multiplicar a ambos lados de una desigualdad por un número negativo, los productos tienen el sentido contrario de la desigualdad original. Ejemplo 2.5.4. Producto por un número negativo Multiplique a ambos lados por −3 en la desigualdad 5 < 12 y escriba la desigualdad resultante. Solución Sea a = 5, b = 12 y c = −3 Vemos que a < b y al multiplicar por c en ambos lados de la desigualdad, por ser este c < 0 se cumple que: 5 < 12 5 · (−3) > 12 · (−3) −15 > −36. 5. Si a 6= 0 es a2 > 0. El cuadrado de un número real distinto de cero siempre es positivo. Ejemplo 2.5.5. El cuadrado de un número distinto de cero es posi- tivo Tome el número −3 y verifique el signo de su cuadrado. 44 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.5. PROPIEDADES DE ORDEN Solución Sea a = −3, entonces (−3)2 = 9, el cual es positivo. Otra forma de verificar es usando las propiedades anteriores: −3 < 0 y multiplicando por un número c = −3 en ambos lados de la desigualdad y como este es negativo, se invierte el sentido de la desigualdad. Esto es: −3 < 0 (−3)(−3) > 0(−3) 9 > 0 6. Desigualdad de los opuestos. Si a < b, es −a > −b. En particular si a < 0, es −a > 0. Ejemplo 2.5.6. Comparación de opuestos de una desigualdad Como es la desigualdad del opuesto de 6 < 11. Solución Tomemos 6 < 11, con la propiedad anterior y tomando c = −1, se determina que es cierto. −6 > −11 7. El producto positivo de dos números. Si ab > 0 entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos. Ejemplo 2.5.7. El producto positivo de dos números Si el producto de dos números es 12, determine como son los signos de cada par de números que cumple con esta condición. Solución El 12 es un número positivo y existen muchos números cuyo producto es 12. Por ejemplo −3 y −4, 3 y 4, 12 y 1, −12 y 1. En general si a es número real que no es cero, los números a y 12/a así como −a y −12/a tienen producto 12. La condición que deben cumplir es que ambos números tengan el mismo signo. 8. El cociente positivo de dos números. Si a > 0 entonces a y b son ambos posi- b tivos o ambos negativos. Ejemplo 2.5.8. Cociente positivo ¿Qué signo le corresponden a los números que generan el siguiente co- ciente 3? 5 45 2.5. PROPIEDADES DE ORDEN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución Dada la fracción 3 la cual es positiva, y se escoge un par de números como 5 a = −3 y b = −5, así se tiene que −3 3= > 0, cualquier par de números que −5 5 generan a 3 , ambos deben tener el mismo signo. 5 9. La uniformidad si a < c y b < d entonces a + b < c + d. Al sumar una misma cantidad a ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdad se conserva. Ejemplo 2.5.9. Uniformidad bajo la suma Adicione las siguientes desigualdades 6 < 9 y 10 < 15. Solución Tomemos las siguientes desigualdades 6 < 9 y 10 < 15, al adicionar estas dos desigualdades en el respectivo orden, la desigualdad de mantiene, esto es: 6 + 10 < 9 + 15 16 < 24 10. El inverso multiplicativo de u número distinto de cero. Si a > 0 entonces 1/a > 0, si a < 0 entonces 1/a < 0. Ejemplo 2.5.10. Inverso multiplicativo Determine el signo del inverso multiplicativo de 5. Solución Sea a = 5, entonces la fracción 1 es mayor que cero, así es positivo. 5 11. Los inversos de dos números positivos. Si 0 < a < b entonces 0 < b−1 < a−1. Ejemplo 2.5.11. Los inversos multiplicativos Determine el orden de los inversos de 1 y 1 . 8 2 Solución Sea 1 y 1 , donde 1 1a = b = 0 < < , considere ahora los inversos de a y b, en 8 2 8 2 efecto a−1 = 8 y b−1 = 2, organizando los resultados se obtiene: 0 < 2 < 8. 46 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.5. PROPIEDADES DE ORDEN Otra forma es tomar un número mayor que cero para multiplicar la desigual- dad, se toma positivo con el objetivo de mantener la desigualdad. El número adecuado a la situación es 16, debido a que 16 es divisible por 8 y por 2. 1 1 0 < 16 · < 16 · 8 2 0 < 2 < 8 12. Propiedad transitiva. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. Ejemplo 2.5.12. Transitividad Si 5 ≤ 10 y 10 ≤ 10 ¿Cómo es 5 con respecto a 10? Solución Dado que 5 ≤ 10 y 10 ≤ 10 entonces 5 ≤ 10. La propiedad no se cumple si los dos números no son positivos. Observe que −4 < 2 pero 1 = 0.5 no es menor que 1 2 − = −0.25.4 13. Una característica de la propiedad de la tricotomía. Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b. Ejemplo 2.5.13. Propiedad de la tricotomía Determine los valores de a para que se cumpla a ≤ 10 y 10 ≤ a. Solución Dado que a ≤ 10 y 10 ≤ a, la única forma en la que se pueden cumplir esta dos condiciones, es que a = 10. 14. Suma del cuadrado de dos números. Para números reales cualesquiera a y b se tiene a2+b2 ≥ 0. Si alguno de los dos números no es cero entonces a2+b2 > 0. Ejemplo 2.5.14. Suma de cuadrados Determine el signo de 22 + (−3)2. Solución Dados los valores a = 2 y b = −3, sus cuadrados correspondientes son a2 = 4 y b2 = 9, cuya suma es 4 + 9 = 13. Este es un número mayor que cero. 15. Para a > 0: |x| < a si y solo si −a < x < a. 47 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Es decir, x satisface la condición |x| < a si y solo si x ∈ (−a, a). 16. Para a > 0: |x| ≤ a si y solo si −a ≤ x ≤ a. Es decir, x satisface la condición |x| ≤ a si y solo si x ∈ [−a, a]. Ejemplo 2.5.15. Valor absoluto Determine los valores de x, para los que se cumple |x| ≤ 2. Solución De acuerdo a la propiedad anterior |x| ≤ 2 si y solo si −2 ≤ x ≤ 2, por lo que los valores que puede tomar x están en el intervalo [−2, 2]. −2 x 2 17. Para a > 0 |x| > a si y sólo si x < a o x > a. 18. No existe ningún número real a tal que x ≤ a para todo real x. Es decir, no existe un número real que sea mayor que todos los números reales. 19. Si x tiene la propiedad que 0 ≤ x < h para cada número real positivo h, enton- ces x = 0. 2.6. Potenciación, logaritmación y propiedades 2.6.1. Potenciación Observe lo qué sucede cuando se toma un número a en los reales y se opera bajo la multiplicación varias veces. El uso de una represen- a · a tación simbólica para re- a · a = a 2 a · a · a sumir expresiones cortas a · a · a = a3 a · a · a · a y complejas, para este a · a · a · a = a4︸a · a · a ·︷a︷ · a · · · a︸ tipo de multiplicaciones ︸a · a · a︷︷· a · · · a︸ = an n−veces reiteradas, es: n−veces 48 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES Definición 2.6.1: Potenciación Cuando se mantiene el número que multiplica, el cual recibirá el nombre de base (a) y el número de veces que se multiplica a este número se reconoce como n, que se ubica en la parte superior derecha de a, el cual se denomina exponente an. Desarrollar las destrezas tanto del software como de las propiedades básicas de los números reales.(Dar click aquí o consulte el código QR al final del libro) Propiedades de la potenciación Sea a un número real, para un entero positivo n se define: an = an−1 · a = ︸a · a︷︷· · · a︸, n > 1 (2.2) n− veces 1 1 · 1 1 1 1= − = ︸ · ︷︷· · · ︸, n > 1 (2.3)an an 1 a a a a n− veces a0 = 1, a 6= 0 (2.4) 1 a−n = (an)−1 = , a =6 0 (2.5) an 1 √ an = n a, a > 0 (2.6) √ am/n = ( n a)m, a > 0 (2.7) −m/n 1a = , a > 0 (2.8) am/n (am)1/n = |a|m/n, m y n pares (2.9) √ n an = a, a > 0 (2.10) 1 √ (−a) = nn −a, a > 0, n impar (2.11) Algunos ejemplos. Ejemplo 2.6.1. Producto de potencias Simplifique la expresión a−3 · a3 Solución Partiendo de la expresión dada y al utilizar las propiedades se obtiene: 3 ( )3 a−3 · a3 1 · 3 a a= a = = = 13 = 1 a3 a3 a 49 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.6.2. Simplifique la expresión 3 · −5 3 · 1 a 3 a · a · a a · a · a 1 1 a a = a = = = · = 1 · = a−2 a5 a5 a · a · a · a · a a · a · a a · a a2 Cuando se realizan operaciones con potencias, es de considerar las siguientes pro- piedades. (I) am · an = am+n Ejemplo 2.6.3. Desarrolle el siguiente producto de potencias de igual base 35 · 38 = 35+8 = 313 (II) (ab)n = anbn Ejemplo 2.6.4. Desarrolle la potencia de un producto (3 · 5)15 = 315 · 515 (a)n n(III) a= b bn Ejemplo 2.6.5. Desarrolle la(po)tencia de un cociente15 3 315 = 5 515 (IV) a m = am−n. Si m < n debe ser a 6= 0. an Ejemplo 2.6.6. Desarrolle el cociente de potencias de igual base 68 = 68−2 = 66 62 Las propiedades anteriores√deben aplicarse con cuidado. Se deben verificar las con-diciones que establecen su validez. √ Es incorrecto concluir que 2 (−2)2 = −2 porque existe una regla que dice n an = a. Observe que la regla impone la condición que a debe ser mayor que cero. Sin embargo, existe una regla que establece que (am)1/n = |a|m/n si m y n son pares, por lo tanto √ ( ) 1 2 2(−2)2 = (−2)2 2 = | − 2| 2 = 2. 50 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES Observe que { n 1, si n es par(−1) = −1, si n es impar Por otro lado, (−a)n = ((−1)(a))n = (−1)nan si n es impar y que (−a)n = an si n es par. { an, si n es par (−a)n = −an, si n es impar Para hallar ma n cuando m ≥ n se hace la división de m entre n, si el residuo es r y el cociente es q entonces m = nq + r y entonces m nq+r nq r r a n = a n = a + = aqn n an . En conclusión cuandom ≥ n se tiene que m ra = aqn an donde q es el cociente al dividir m entre n y r es el residuo correspondiente. Ejemplo 2.6.7. √ Simplifique las siguientes expresiones (a) 23/2 (b) 48/5 (c) 5 314 Solución 3 2 (a) Como 1 1 entonces 3 = 2× 1 + 1 y por lo tanto √ 23/2 = 21 × 21/2 = 2 2. 8 5 (b) Como 3 1 entonces 8 = 5× 1 + 3 y por lo tanto √ 48/5 = 41 × 43/5 5= 4 43. √ 1 4 5 (c) Primero observe que 5 14314 = 3 5 . Como 4 2 entonces 14 = 5 × 2 + 4 y por lo tanto √ 314/5 = 32 × 34/5 5= 9 34. √ √ Así que 5 314 5= 9 34. Ver vídeo de potenciación Ejercicios 2. Potenciación Calcular el valor exacto de cada expresión: 51 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS [ ] 1. 25 0+ 32 5 511. 4 · 5 · (2/3) −5 (2 + 5)4 · ((23 · 32)5 + 24)4 2. 34 − 42 Hallar los resultados de las si- 3. (−8)3 − (−8)2 guientes expresiones: 4. (0.2)2 − (0.5)2 12. a8 · a4 · a10 5. (−3)1 + (−2)2 + (−2)3 + (−2)4 + 13. xa+3b · x5a−4b (−2)4 n+2m 4n−m n+m 5n+8m 6. 3 · 23 − − 14. y (y + y − y )(2 5)2 + 50 2n−3 n−2 3 7. 30 (x · y )+ 3−1 − 3−2 + 3−3 15. xn−8 · y3n−7 8. (0.00001)0 + (0.0001)2   9. 511 + 511 + 511 + 511 + 511  xp(+q16. ) p−q 10. (3 2)2 · (23)2 · 3 · 22 · 37  p−q  (xp−q)p+q · x (2 · 32)5 · (35 · 22)2 · 27 · 33 xp+q Desarrolle mediante WxMaxima los ejercicios anteriores, ver Guía de Potencias. 2.6.2. Coeficientes binomiales La idea básica es dar una fórmula para la expansión de (a + b)n cuando n es un número natural. Definición 2.6.2: Se define el factorial de 0, notado 0!, como 0! = 1. Para n > 1 se define el factorial como n! = 1× 2× 3× · · · × (n− 1)× n. Ejemplo 2.6.8. Factorial Determine los siguientes factoriales 1!, 2!, 3!, 4!, 5!. 6!, 7! Solución 1. 1! = 1, 2! = 1× 2 = 2, 3! = 1× 2× 3 = 6, 4! = 1× 2× 3× 4 = 24 Pueden usarse los factoriales previos para calcular el siguiente 2. 5! = 1︸ × 2 ︷×︷ 3× 4︸×5 = 4!× 5 = 24× 5 = 120 4! 52 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES 3. 6! = 1︸ × 2×︷3︷× 4× 5︸×6 = 5!× 6 = 120× 5 = 720 5! 4. 7! = 6!× 7 = 720× 7 = 5040 Los ejemplos quedan incluidos en la siguiente regla Teorema. 2.6.1: Factorial n! = (n− k)!(n− k + 1) · (n− k + 2) · · · (n− 1) · n Si k = 1 se tiene n! = (n− 1)!× n. Si se empieza en (n+ 1), con k = 1 se tiene (n+ 1)! = n!× (n+ 1). Ejemplo 2.6.9. Factorial Calcular 7! Pero esta no es la única forma de expresarlo. Por ejemplo 7! = (7− 1)!× 7 = 6!× 7 7! = (7− 2)!× (7− 1)× 7 = 5!× 6× 7 7! = (7− 3)!× (7− 2)× (7− 1)× 7 = 4!× 5× 6× 7 En general n! = (n− 1)!× n = (n− 2)!× (n− 1)× n = (n− 3)!× (n− 2)× (n− 1)× n (2.12) y así sucesivamente. En las calculadoras científicas el factorial puede calcularse usando la tecla con el símbolo ! . Definición 2.6.3: Combinatoria Se define p(ar)a los enteros no negativos n y k, con k ≤ n, el combinatorio de n y k notado n de la siguiente(ma)nerak n n! = . k (n− k)!k! 53 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.6.10. Combinatoria Calcular las siguientes co(mb)inatorias:( ) ( ) 3 3 6 1. , 2. , 3. 0 1 4 Soluc(ión) 1. 3 3!= . Como 0! = 1, 3! = 6, y (3− 0)! = 3! 0 (3− 0)!0! ( ) 3 3! 6 6 = = = = 1. 0 (3− 0)!0! 3!(1) 6 ( ) 2. 3 3!= . Como 1! = 1, 3! = 6, y (3− 1)! = 2! = 2 1 (3− 1)!1! ( ) 3 3! 6 6 = = = = 3. 1 (3− 1)!1! 2!1! (2)(1) ( ) 3. 6 6!= . Como 6! = 720, 4! = 24, y (6− 4)! = 2! = 2 4 (6− 4)!4! ( ) 6 6! 720 720 = = = = 15. 4 (6− 4)!4! 2!4! 48 En las calculadoras científicas el combinatorio puede calcularse usando la tecla con el símbolo nCp . En WxMaxima podemos ver la guía o consulte el código QR al final del libro Coefi- cientes binomiales. Teorema. 2.6.2: Propiedades de los combinatorios Para n(úm)eros naturales n y k con(k)≤ n ( ) ( ) 1. n n n n= 1 2. = n 3. = 0 1 n− k k Lo anterior puede usarse para simplificar cálculos. Por ejemplo si n = 10 y k = 4 entonces puede afirmarse qu(e ) ( ) ( ) 10 10 10 = = 3 10− 3 7 54 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES ( ) ( ) de modo que si calcula 10 se tiene inmediatamente el valor de 10 porque ambos 3 7 tienen e(l mi)smo(valo)r. Ot(ras )igual(dad)es pa(ra e)ste m(ism)o ca(so s)on ( ) 10 10 10 10 10 10 10 10 = 0 ( ) , = , = , = ,10 1 9 2 8 4 6 El cálculo de 6 puede hacerse de una manera más directa mediante una simplifi- 4 cación consideran(do)la fórmula dada en (2.12). Según esta fórmula 6! = 6× 5× 4! 6 6! 6× 5× 4! 6× 5 30 = = = = = 15. 4 (6− 4)!4! 4!2! 2! 2 Mediante combinatorios se pueden expandir binomios elevados a una potencia en- tera usando ( ) ( ) ( ) n n n (a+ b)n =( )anb0 + an−0 1 (1b1 + ) an−2b2 (+ · · ·2 ) (2.13) n n n + an−kbk + · · ·+ a1bn−1 + an−nbn. k ( ) n− 1 ( ) n (a− b)n − n n=((a+) ( b))n = an(−(b))0 + an−1(−b)1 + · · ·0 1 (2.14) n + an−k(−b)k + · · · n+ an−nbn. k n Se puede ver de la expresión anterior que para hallar el término que va en la posición j de la expansión de (a+ b)n, se(debe)calcular, n an−(j−1)bj−1. (2.15) j − 1 Ejemplo 2.6.11. Combinatorias Desarrolle usando combinatorios 1.(a+ b)2 2.(a− b)2 3.(a+ b)3 4.(a− b)3. Solución 1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (a+ b)2 = ( )a2−0b0 +( ) a2−1b(1 +) a2−2b20 1 2 2 = a2b0 2 + a1b1 2 + a0b2 0 1 2 = a2 + 2ab+ b2 55 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2. ( ) ( ) ( ) (a− b)2 2 2 2= ( )a2−0(−b)0 + a2−1(−b)1 + a2−2(−b)20 ( )1 ( ) 2 2 2 − 0 2 2= a ( b) + a1(−b)1 + a0(−b)2 0 1 2 = a2 − 2ab+ b2 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 (a+ b)3 = ( )a3−0 3 b0 +( ) a3−1b(1 3 3 +) a3−(2b2)+ a3−3b30 1 2 3 3 3 3 3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 0 1 2 3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 4. ( ) ( ) ( ) ( ) − 3 3 3 3(a b)3 = ( )a3−0(−b)0 +( ) a3−1(−b)(1 +) a3−2(−(b)2)+ a3−3(−b)30 1 2 3 3 3 3 3 = a3(−b)0 + a2(−b)1 + a1(−b)2 + a0(−b)3 0 1 2 3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 Ejemplo 2.6.12. Combinatorias Expandir usando combinatorios: ( )4 ( )4 1.(2x3 2 2 + y)4 2.(2x3 − y)4 3. 1 + 4. 1− y x Solución Primero calculemos todas las(co)m(bin)ac(ion)es(ne)ce(sar)ias 4 4 4 4 4 , , , , 0 1 2 3 4 y que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 = = 1, = = 4, = 6 0 4 1 3 2 56 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES 1. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 ( )4−0 4 ( )4−1 4 ( )4−22x + y =( ) 2x3 (y)0 +( ) 2x3 (y)1 + 2x3 (y)20 ( ) 1 24 4−3 4 ( )4−4 + ( ) 2x3 (y)3 +( ) 2x3 (y)3 ( ) 4 ( 4 ) 4 3 4 4 ( )3 4 ( )2=( ) 2x (y)0 +( ) 2x3 (y)1 + 2x3 (y)20 ( ) 1 24 3 1 3 4 ( )3 0+ 2x (y) + 2x (y)4 3 4 = (1)(16)x12 + 4(8)x9y + 6(4)x6y2 + 4(2)x3y3 + y4 = 16x12 + 32x9y + 24x6y2 + 8x3y3 + y4 2. ( ) ( )4 4 ( ) ( ) ( )3 − 3 4−0 4 ( )4−1 4 ( )4−22x + ( y) =( ) 2x (−y)0 +0 ( ) ( ) 2x3 (−y)1 + 2x3 (−y)2 1 2 4 3 4−3 − 3 4 ( )4−4 + ( ) 2x ( y) +( ) 2x3 (−y)43 4 ( ) 44 4 ( ) ( )3 4 ( )2 =( ) 2x3 (−y)0 + 2x3 (−y)1 + 2x3 (−y)20 4 ( ) (1) 21 ( ) + 2x3 (− 3 4 0y) + 2x3 (−y)4 3 4 = (1)(16)x12 + 4(8)x9(−y) + 6(4)x6(−y)2 + 4(2)x3(−y)3 + (−y)4 como (−y)2 = y2,((−y)3 =)−y3 y (−y)4 = y4, se tiene entonces 2x3 − 4y = 16x12 − 32x9y + 24x6y2 − 8x3y3 + y4 3. ( )4 ( ) ( )0 ( ) ( )1 ( ) ( )2 2 4 2 4 1 + = (1)4−0 + (1)4−1 2 4 + (1)4−2 2 y (0) ( y) (1) ( y3 ) 2 y4 4 4−3 2 4+ 4−4 2 ( (1) + (1)3) ( )y0 ( )4 ( ) y1 ( ) ( )2 4 4 2 4 2 4 2=( ) (1) ( ) +( ) (1) 3 ( ) + (1) 2 0 y 1 y 2 y 3 4 4 2 4 2 + (1)1 + (1)0 3 y 4 y 57 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS ( )2 ( )3 ( )4 Como 2 22 4 3 4= 2 = 2 , 2 = 2 = 8 , 2( ) 3 3 = 2 = 16 . y y y y y y y y4 y4 4 2 8 24 32 16 1 + = 1 + + + + y y y2 y3 y4 4.( ( ))4 ( ) ( )0 ( ) ( )1 ( ) ( )2 2 4 2 4 2 4 2 1 + − =( ) (1) 4−0 (− ) + (1) 4−1 − 4−2 y 0 y 1 y 3 ( ) ( ) + (1) −2 y4 4 4−3 −2 4 4−4 −2+ ( )(1)3 ( ) + (1)y 40 ( ) ( ) y1 ( ) ( )2 4 2 4 2 4 2 =( ) (1) 4 (− 3 ) +( ) (1) (− ) + (1) 2 − 0 y 1 y 2 y 3 4 4 2 4 2 + (1)1 − + (1)0 − 3 y 4 y 8 24 32 16 = 1− + − + y y2 y3 y4 Ejemplo 2.6.13. Término de un binomio Halle el término número 3 en la expansión de (2x3 − y)4. Solución Este ejercicio lo hicimos anteriormente y el término número 3 es 24x6y2. Lo haremos ahora nuevamente usando la fórmula en (2.15) donde ahora j = 3. Esto muestra que no es necesario hacer la expansión completa, para calcular los términos deseados. Observe que (2x3 + (−y))4. La f(órmula)para el término j es n an−(j−1)bj−1, j − 1 ( ) ( ) ( ) donde n = 4 j = 3, a(=)2x 3 y b = −y. Como n = 4 = 4 , se tiene que el j−1 3−1 2 término es 4 (2x3)2(−y)2 = 6(22x6)(−y)2 = 24x6y2. 2 Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro vídeo sobre binomios 01 y vídeo sobre binomios 02. Ejemplo 2.6.14. Término de un binomio Halle el término 25 en la expansión de (1 + x)200. 58 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES El término 25 viene dado p(or ) ( ) 200 200 (1)200−24x24 = x24. 24 24 Desarrolle usando WxMaxima el ejemplo anterior, ver guía Coeficientes binomiales. Ejercicios 3. Halle el término 15 de los siguientes binomios. 1. (1 + x)23 3. 2(3n− 2y)28 5. (x− t)31 2. (2x+ y)18 4. (1/3x− 5)50 6. (2− h)24 Expanda los siguiente binomios: ( ) 7. 5 9. 10 7(1 + 2y) (5h+ 6) 11. 24t+ x 8. (3y + x)9 10. (5− πx)12 12. (7−mt2)9 2.6.3. Logaritmos Anteriormente, se estudió la potenciación que consiste en hallar el resultado dada una base y el exponente. Por ejemplo, dada 23 se calcula 8. En lo que sigue se ilustra una operación que sigue el proceso inverso. Dada la base y el resultado, se debe calcular el exponente. Es decir, dado 2? = 8 se debe hallar el exponente al cual debe elevarse 2 para que la igualdad se cumpla. En este caso el número buscado es 3. Una forma sencilla de hallar la respuesta adecuada a esta igualdad es usando Wx- Maxima, ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Logaritmos. Abajo se muestra en azul la entrada correspondiente en WxMaxima y el resultado entre corchetes. (% i1) solve([2^x=8], [x]); Nos arroja como resultado [x = 3] Utilice software o su calculadora para determinar el exponente correspondiente de cada ecuación. 1. 3y = 9 3. 3a = 81 5. 11x = 121 2. 2x = 32 4. 5b = 1 6. 7k = 16807 Considere los resultados de las siguientes expresiones en WxMaxima, usando el comando log(). 59 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ver guía de logaritmos en WxMaxima. En forma simbólica determinemos el exponente de la expresión 2x = 8, como x = log2 8 a lo que corresponde cuantas veces se debe multiplicar el 2 para generar el número 8. Para calcular logaritmos en otras bases utilizando los logaritmos en una base conocida se utiliza un cambio en la base del logaritmo, esta técnica se estudiará mas adelante. −→ log(8)/log(2) (% i1) Ejercicios 4. Determine los siguientes logaritmos: (1) loge π (5) loge e (9) log10 10000 (2) log5 12 (6) log 2 8e e (10) log10 10 (3) log3 3 (7) log e5e (4) log4 8 (8) log e7e3 Buscar en cada caso el valor del exponente y que hace cierta la igualdad. 7. 2y = 32 11. 10y = 1 15. ay = 1 8. 3y = 9 12. ay = aπ 16. ay = am 9. 2y = 36 13. zy = 1. 10. 10y = 100 14. ey = 4 17. ay = a. Definición 2.6.4: Sea a un número real positivo y sea x > 0. Se dice que el logaritmo de base a de x es y si y solo si ay = x. loga x = y si y sólo si ay = x. La expresión log10 se abrevia como log y se lee logaritmo decimal. La expre- sión loge se abrevia ln y se lee logaritmo natural. 60 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES Figura 2.1: Número de Euler con 234 cifras decimales En algunos textos 1 y lenguajes de programación, la expresión log se utiliza exclusi- vamente para el logaritmo natural. Se debe consultar que tipo de notación usan los libros antes de usar sus fórmulas o funciones. Es importante verificar que la expresión a la cual se le calcula el logaritmo sea mayor que cero. Considere algunos ejemplos de logaritmos Ejemplo 2.6.15. Logaritmo vs potencia Muestre la equivalencia del logaritmo con la potenciación. Solución log2 32 = 5 si solo si 25 = 32. Ejemplo 2.6.16. Logaritmos Hallar los siguientes logaritmos: 1 √ 1. log5 125 2. log 1 3. log2 2 2 8 Solución 1. Se debe buscar un número y ∈ R tal que log5 125 = y. De acuerdo a la defini- ción esto ocurre si y sólo si 5y = 125. Si uno prueba entre los números 1,2,3,4 encuentra que el valor y = 3 es la soluc(ió)n. Esto es log5 125 = 3. 2. Se debe buscan un número yy tal que 1 = 1 . Por inspección se puede ver ( 2 8que)3 1 13 1 = = . Por tanto y = 3 satisface la condición y log 11 = 3. 2 23 8 2 8 1Calculus I, Tom M. Apostol 61 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS √ 3. Se debe busc√ar un número y tal√que 2 y = 2. Claramente y = 1 es la respuesta 2 ya que 12 2 = 2. Por tanto log 2 = 12 .2 Ejemplo 2.6.17. Logaritmos Hallar los siguientes logaritmos (a) log 103 (b) log n3 9 (c) logb b (d) logb 1 Solución (a) Primero observe que log 103 = log 310 10 .Por la definición de logaritmo log 10310 = y si y solo si 10y = 103. Analizando estas expresiones vemos que para y = 3 la expresión a la izquierda de la igualdad es igual a la de la derecha. Por tanto log 103 = 3. (b) Primero observe que log3 9 = log3 32. Por la definición de logaritmo log3 32 = y si y sólo si 3y = 32. Analizando estas expresiones vemos que para y = 2 la expresión a la izquierda de la igualdad es igual a la de la derecha. Por tanto log3 9 = 2. Un análisis similar da la respuestas a los otros ítems. Las calculadoras científicas tienen teclas especiales para el cálculo de logaritmos decimales y logaritmos naturales, otras tienen la capacidad de hallar logaritmos en cualquier base. Las teclas son log para el logaritmo decimal y ln para el logaritmo natural. Para el cálculo de otros tipos de logaritmos se debe utilizar el cambio de base, que se estudiará más adelante. Ver guía Logaritmos en WxMaxima. Propiedades Cuando aparezca un símbolo o una expresión como base de un logaritmo se asumirá que es mayor que cero y distinta de 1. Logaritmos básicos loga 1 = 0, loga a = 1, loga am = m. (2.16) log 0a 1 = 0, si solo si a = 1 62 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES Logaritmo del producto de dos números positivos loga(xy) = loga x+ loga y. (2.17) Si m = log x y n = log y entonces am = x y an = y. Se tiene entonces xy = amana a = am+n y por tanto loga(xy) = m+ n = loga x+ loga y. Ejemplo 2.6.18. Logaritmos Expresar como un solo logaritmo (a) log4 x+ log4(7y) (c) log 5 + log π (b) log2(x+ 1) + log2((z + y)4) (d) log 3 + log 4 Solución (a) log4 x+ log4(7y) = log4((x)(7y)) = log4(7xy) (b) log2(x+ 1) + log2((z + y)4) = log2((x+ 1)(z + y)4) (c) log 5 + log π = log(5π) (d) log 3 + log 4 = log(3× 4) Logaritmo de una potencia loga bm = m loga b. (2.18) Suponga que z = log b entonces aza = b y bm = (az) m = azm, de donde se concluye que log bma = mz = m loga b. Ejemplo 2.6.19. Expresar como un solo logaritmo log3(x2 + 1)− 1 log2 3 x Solución ( ) log (x2 13 + 1)− log3 x = log 1 3(x 2 + 1) + − log 2 2 3 x = log ((x2 13 + 1) + log3 x)− 2 1 = log ((x23 + 1))(x− 2 ) log x 2 + 1 = 3 1 x 2 63 2.6. POTENCIACIÓN, LOGARITMACIÓN Y PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Logaritmo del inverso multiplicativo Para x > 0 ( ) log 1a = − loga x. (2.19) ( ) x Sea m = log 1 m 1a , entonces a = . Se deduce entonces que xam = 1. Por tantox x loga(xam) = loga(1), log(x) + loga(am) = 0 loga(x) +m loga a = 0, loga x+m = 0 porque loga a = 1. De la última igual(dad)m = − loga x y reemplazando el valor de m log 1a = − logx a x. Logaritmo de un cociente Para x > 0 y y > 0 ( ) log xa = loga x− loga y. (2.20)y Si m = loga x y n = l(oga)y entonces am = x y an = y. Se tiene entonces x am=y an = am−n y por tanto log xa = m−(n. R)eemplazando los valores de m y n se obtieney log xa = loga x− loga y.y Cambio de base en logaritmos Para cualquier b > 0, b 6= 1 se tiene log logb xa x = . (2.21)logb a Considere y = log ya x, entonces a = x. Aplicando logb a ambos lados se tiene log (ayb ) = logb x. Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia y logb a = log Resolviendo para se obtiene logb xb x. y, y = . Reemplazando la expresión paralogb a y, log logb xa x = .logb a Potencia de un logaritmo aloga x = x, ax = ex ln a = e(ln a)x (2.22) 64 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.7. PLANO NUMÉRICO Considere y = loga x, entonces ay = x remplazando a y en esta ultima expresión se obtiene, aloga x = x Considere ax, aplicando ln se obtiene ln ax = ln ax · 1 = ln ax · ln e = ln eln ax = ln ex ln a, así finaliza: ax = ex ln a. Ver aquí o consulte el código QR al final del libro vídeo 01, vídeo 02 y vídeo 03 con respecto a los logaritmos. Ejercicios 5. Determine los siguientes logaritmos: 1. loge π 6. log 2e e 11. log10 100 16. log5 125 2. log5 12 7. loge e5 12. log10 1000 17. log(102.31) 3. log3 3 8. log 7e3 e 13. log10 10000 4. log 9. log 14. log 8 18. ln(3.19)4 8 100 10 10 5. loge e 10. log 106 15. log2(1/8) 19. ln(103) Determine el valor de x en cada expresión: 20. logx 32 = 5 22. log 1x 5 = −2 21. logx 81 = 2 23. logx 0.01 = −2 2.7. Plano numérico Anteriormente vimos que los números reales pueden ubicarse en una recta. Allí se pueden ilustrar algunas relaciones entre números reales, pero no es suficientes para ilustrar otras. 0 65 2.7. PLANO NUMÉRICO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Existen otras maneras de representar relaciones entre números. Una de ellas con- siste en tomar dos rectas reales y ubicarlas perpendicularmente, siendo su punto de corte el lugar correspondiente a 0 en ambas rectas. Este punto donde se cortan las dos rectas se llama origen del sistema de coordenadas. Tradicionalmente se le ha llamado eje y a la recta vertical y eje x a la recta horizontal. A cada recta se le da una orientación. Es común ubicar los números positivos en la parte superior de la recta vertical y números positivos a la derecha de cero en la recta horizontal, pero es posible cambiar por conveniencia la orientación de los ejes. A esta configuración de las rectas se le llama plano numérico o plano cartesiano. negativos positivos positivos negativos Un punto P del plano queda determinado por dos números. Uno ubicado en el eje x y otro ubicado en el eje y. Estos números se llaman coordenadas cartesianas del punto y se escriben (x, y). Para determinar estas coordenadas se trazan rectas perpendi- culares a los ejes que pasen por el punto dado. Las coordenadas son los puntos de intersección de las rectas perpendiculares trazadas con los ejes respectivos. Demanera recíproca, dadas un par de coordenadas (x, y) estas representa un punto. Para ubicar el punto, se ubica la coordenada x en el eje x y se levanta una recta perpendicular a dicho eje que pase por x. De igual manera se ubica la coordenada y en el eje y y se traza una recta perpendicular al eje y que pase por y. 66 negativos positivos positivos negativos CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.7. PLANO NUMÉRICO Ejemplo 2.7.1. Puntos en el plano Diga cuales son las coordenadas de los puntos P y Q ubicados en el plano. P 1 -1 1 -1 Q Puntos en el plano Solución P P P (1, 1.5) 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 Q Q Q(−1,−1) Ejemplo 2.7.2. Plano cartesiano √ Gr(afique)en el plano numérico los siguientes puntos P (0, 3), Q(2, 1), S( 2, π), T 2 ,−3 . 3 67 2.7. PLANO NUMÉRICO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución En el plano cartesiano se muestran los puntos correspondientes: S π P 1 Q -1 1√2 3 2 -1 T Ver guía aquí o consulte el código QR al final del libro plano numérico Ver video de plano númerico. Ejercicios 6. Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano. √ (1) A = (2, 3) (3) C = ( 3,−2.5) (5) E = (−4, 0) (2) B = (−1.5,−3.1) (4) D = (0,−4) (6) F = (2, π) Use WxMaxima para gráficar en el plano cartesiano. 7. Ubique diez puntos que se encuentren en una circunferencia de radio r = 2 y centrada en el origen. 8. Ubique tres puntos en una circunferencia de radio r = 1 y centrada en A = (1/2, 3.2) 9. Dados los siguientes puntos A = (0, 4), B = (−4, 0), C = (4, 0) y D = (0,−4) unirlos en el orden respectivo. ¿qué figura puede apreciar? 10. Ubique los siguientes puntos (1, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 3), (4, 2), (4, 1), (3, 0), (1, 0), (2, 5), (4, 5), (5, 4), (4, 4), (3, 5) si los une uno detrás del otro que figura se puede apre- ciar. 68 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.7. PLANO NUMÉRICO 11. Ubique los siguientes puntos: (3, 0), (6, 0), (6, 1), (7, 1), (8, 2), (8, 4), (9, 4), (8, 6), (10, 7), (1, 7), (1, 9), (7, 9), (8, 7), (1, 7), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (4, 5), (5, 4), (5, 7), (6, 7), (8, 6), (7, 3), (8, 3), (3, 4), (4, 3), (6, 5), (7, 5), (7, 6), (6, 5), (2, 4), (3, 1), (3, 0) Que figura puede apreciar si los une uno detrás del otro. 12. Grafica los puntos (a − h, k), (a + h, k), (h, k) , (h, b − k) y (h, b + k) para los siguientes valores a) a = 2, b = 1, h = 0, k = 0 b) a = 1, b = 3, h = 2, k = 3 √ c) a = 3, b = 1 , h = 3, k = e 2 4 2.7.1. Segmentos, longitud y punto medio Un segmento de recta queda determinado por su dos extremos. Si P y Q son los extremos del segmento, el segmento se denota por PQ. Para graficar el segmento en el plano numérico se ubican los puntos en el plano utilizando sus coordenadas y se traza el segmento de recta. Q y2 x1 x2 y1 P La longitud del segmento puede calcularse en término de las coordenadas de sus extremos. Más precisamente si P tiene coordenadas (x1, y1) y Q tiene coordenadas (x2, y2) entonces la distancia de P a Q denotada d(P,Q), viene dada por√ √ d(P,Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 = (x 21 − x2) + (y1 − y )22 . (2.23) 69 2.7. PLANO NUMÉRICO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Q √ y2 d(P,Q) = (x2 − x )21 + (y2 − y1)2 x1 x2 y1 P Si se invierte el orden de los puntos la distancia no varía, es decir, d(P,Q) = d(Q,P ). Ejemplo de segmento Q H P F Ejemplo 2.7.3. Segmento Para cada uno de los siguientes pares de puntos halle su posición en el plano, trace el segmento que determinan y halle la distancia entre ellos. 1. (0, 2) y (3, 0) 2. (−2,−3) y (0,−4) 3. (2, 500) y (2 , 300) 3 70 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.7. PLANO NUMÉRICO Solución Con la ecuación de distancia entre dos puntos se obtiene: (0, 2) (3, 0) Remplazando en la ecua√ción (1) resulta: √ √ d(A,B) = (0− 3)2 + (2− 0)2 = (−3)2 + (2)2 = 13 √ √ √ d(A,B) = (−2− 0)2 + (−3− (−4))2 = (−2)2 + (1)2 = 5 √ √ √24 · 22501 4√ d(A,B) = (2− 2/3)2 + (500− (300))2 = (4/3)2 + (200)2 = = 22501 32 3 Ejemplo 2.7.4. Distancia al origen Halle la distancia entre el origen y cualquier punto (a, b). Solución (a, b) b (0, 0) a Las coordenadas del origen son (0, 0) y el otro punto es (a, b). Así que la distancia entre los dos puntos son √ √ d((0, 0), (a, b)) = (a− 0)2 + (b− 0)2 = a2 + b2. 71 2.7. PLANO NUMÉRICO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Si los extremos del segmento tienen coordenadas P (x1, y1) y Q(x2, y2) y el punto medio del segmento es M(x̄, ȳ) entonces d(P,M) = d(M,Q) y d(P,Q) = d(P,M) + d(M,Q) = 2d(P,M) = 2d(M,Q). Para que las anteriores condiciones se cumplan entonces las coordenadas del punto medio deben ser Q = (x2, y2) y2 ȳ = y M 1+y2 2 P = (x1, y1) y1 x1 x̄ = x1+x2 x2 2 x1 + x2 y1 + y2 x̄ = , ȳ = . (2.24) 2 2 Ejercicios 7. Plano cartesiano Determine la longitud de los siguientes segmentos, cuyos extremos son: 1. (−1, 3) y (2,−2) 3. (2.5,−3) y (0.5, 4) 2. (2/3, 1/2) y (−5/3, 2/5) 4. (2a, 5a) y (−a, 8a) Determine el punto medio de los siguientes segmentos, cuyos extremos son los si- guientes: 5. (0, 0) y (5, 6) 8. (2.5,−3) y (0.5, 4) 6. (−1, 3) y (2,−2) 9. (2a, 5a) y (−a, 8a) 7. (2/3, 1/2) y (−5/3, 2/5) 10. (−5, π) y (3, 4) Para cada uno de los siguientes pares de puntos halle las coordenadas del punto medio, trace el segmento que determinan y ubique el punto medio calculado ante- riormente. 72 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS 11. (0, 2) y (3, 0) 12. (−2,−3) y (0,−4) 13. (2, 500) y (2 , 300) 3 Ver guía, click aquí o consulte el código QR al final del libro Plano numérico. Determine la longitud de los segmentos, cuyos extremos son: 14. (−1, 3) y (2,−2) 16. (2.5,−3) y (0.5, 4) 15. (2/3, 1/2) y (−5/3, 2/5) 17. (2a, 5a) y (−a, 8a) Determine el punto medio de los segmentos, cuyos extremos son los siguientes: 18. (0, 0) y (5, 6) 21. (2.5,−3) y (0.5, 4) 19. (−1, 3) y (2,−2) 22. (2a, 5a) y (−a, 8a) 20. (2/3, 1/2) y (−5/3, 2/5) 23. (−5, π) y (3, 4) 2.8. Números complejos √ Se define i de tal manera que i2 = −1 e i = −1. i se llama unidad imaginaria. Un número complejo es un número de la forma a + bi donde a y b son números reales. La parte real del número complejo a + bi es a y la parte imaginaria es b. En otras palabras, la parte imaginaria es la parte que aparece multiplicando a i. El número complejo a− bi puede escribirse como a+ (−b)i o (−b)i+ a = −bi+ a. Todo número real es complejo porque puede escribirse como a = a + 0i. Es decir, un número complejo con parte imaginaria cero es un número real. Por ejemplo, los números 2 y π son complejos porque 2 puede escribirse como 2 = 2+ 0i, y π puede escribirse como π = π+0i. El número 0 correspondiente a los números reales puede escribirse como 0 = 0 + 0i el cual es el cero complejo. Un número complejo con parte imaginaria distinta de cero se llama número imagina- rio. Un número imaginario con parte real igual a cero se llama imaginario puro. La parte imaginaria de 1 es cero. La parte imaginaria de 1i es 1 y la parte imaginaria 2 2 2 de −1i− 4 es −1 . 2 2 1. π, e, 1, 0 son números complejos que son reales. Su parte imaginaria es cero. 2. πi, 3 − 2i, 7i − 9, 8i son números complejos imaginarios, porque su parte ima- 5 ginaria no es cero 3. πi, 8i son números imaginarios puros porque su parte real es cero. Con el siguiente esquema se visualiza los tipos de número complejos. 73 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Números complejos Real si en a+ bi, b = 0. Imaginario si en a+ bi, b =6 0. Puro si en a+ bi a = 0 y b 6= 0. 2.8.1. Representación gráfica de un número complejo Un número complejo a + bi puede representarse gráficamente como un punto del plano numérico. El punto que le corresponde es (a, b). Los números reales que son de la forma a = a+0i corresponden a los puntos sobre el eje x que a su vez tienen la forma (a, 0) y los complejos que son imaginarios puros que son de la forma ib = 0+ib corresponden a puntos sobre el eje y que su vez tienen la forma (0, b). En general el número complejo a+ bi puede representarse como un punto del plano numérico con coordenadas (a, b). Ejemplo 2.8.1. Número complejo Ubique los siguientes números complejos en el plano: 5 2, , π, 2i, iπ, 3 + 2i, −4i+ 5 2 74 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS Solución Ubique en el eje horizontal el imaginario puro y en el eje vertical el número real. (0, π) (3, 2) (2, 0)(π, 0) (5, 4) Definición 2.8.1: Norma de un número complejo Se define la norma o módulo de un número complejo a + bi , notada |a + bi|, como √ |a+ bi| = a2 + b2. Observe que la norma de un número complejo es la distancia entre el origen y el número complejo√cuando se representa como punto en el plano, es decir, |a+ bi| = d((0, 0), (a, b)) = a2 + b2. 2.8.2. Operaciones con números complejos Definición 2.8.2: Suma de números complejos Se define la suma de los números complejos a+ bi y c+ di como (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (c+ di)i (a+ bi) + (c+ di) = (︸a︷+︷ b︸) + (︸b ︷+︷d︸) i suma partes reales suma partes imaginarias 75 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Definición 2.8.3: Producto de números complejos Se define el producto (a+ bi)(c+ di) como (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i. Ejemplo 2.8.2. Producto de números complejos Desarrolle los siguientes productos (2 + 3i)(7− i) y (a+ bi)(a− bi). Solución (2 + 3i)(7− i) = (2 + 3i)(7 + (−1)i) = (2)(7)− (3)(−1) + ((2)(−1) + (3)(7))i = 17 + 19i. (a+ bi)(a− bi) = (a+ bi)(a+ (−b)i) = (a)(a)− (b)(−b) + ((a)(b) + (a)(−b))i = a2 + b2. Definición 2.8.4: Conjugado de un número complejo El conjugado del número complejo a+ bi es el número complejo a− bi. Es decir el conjugado de un número complejo se consigue cambiando el signo a la parte imaginaria. El conjugado de 3 − 2i es 3 + 2i. El conjugado de −4i + 45 es 4i+45. El conjugado de un número real es el mismo número real porque si a es real a = a+ 0i = a− 0i = a. La multiplicación de un número complejo por su conjugado da como resultado un número real que es la suma del cuadrado de la parte imaginaria con la suma del cuadrado de la parte real, es decir, si el número complejo es a+ bi entonces puede verse que (a+ bi)(a− bi) = (aa− abi− abi+ (bi)(bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2. También observe que el producto de un número complejo y su conjugado es la norma al cuadrado, |a+ bi|2 = a2 + b2 = (a+ bi)(a− bi). Definición 2.8.5: División de números complejos Dados a+ bia+ bi y c+ di =6 0, la división se define por c+ di a+ bi (a+ bi)(c− di) = . c+ di (c+ di)(c− di) 76 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS Es decir, para dividir a+ bi se multiplica a+ bi por el conjugado de la expresión en c+ di c+ di el denominador. a+ bi (a+ bi)(c− di) (a+ bi)(c− di) 1 = = = (a+ bi)(c− di). c+ di (c+ di)(c− di) c2 + d2 c2 + d2 Ejemplo 2.8.3. Conjugado Hallar el conjugado del siguiente número complejo 1 . i Solución La expresión en el denominador es i y su conjugado es −i. Por tanto la división es 1 1(−i) −i −i = = = = −i. i i(−i) −i2 −(−1) Ejemplo 2.8.4. Cocientes de complejos Halle el siguiente cociente: (3 + 4i)÷ (i− 3) Solución Observe que la expresión en el denominador es i− 3 y su conjugado es −i− 3 (sólo se le cambia el signo a la parte imaginaria). Por tanto 3 + 4i (3 + 4i)(−i− 3) −15i− 5 −5− 15i − 5 − 15 1 3= = = = i = − − i. i− 3 (i− 3)(−i− 3) 12 + 32 10 10 10 2 2 Las raíces de índice par de números negativos son número√s imagina√rios. √ Más precisam√ente, s√i a es n√egativo√y n es par se tiene que n a como i n −a = n −a i. Por ejemplo −2 = 2 i y −4 = 4i = 2i. Para efectos algebraicos, un número complejo puede tratarse como un binomio y esta sujeto, en la mayoría de los casos, a las propiedades que se cumplen en los números reales, potenciación, radicación, etc. Por ejemplo, para la unidad imaginaria i se tiene que i0 = 1, i1 = i y i2 = −1. Para calcular las otras potencias puede escribirse i3 = i2 · i = (−1)i = −i i4 = i2i2 = (−1)(−1) = 1 i10 = i4×2+3 = i4×2i2 = (i4)2(−1) = (1)2(−1) = −1. 77 2.8. NÚMEROS COMPLEJOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Potencias de i En general para un número natural n se tiene que in = ir donde r es el residuo al dividir n entre 4. Es decir si n dividido 4 tiene cociente q y residuo r entonces n = 4q + r y in = i4q+r = i4qir = (i4)qir = (1)qir = ir. Ejemplo 2.8.5. Potencias de i Halle las siguiente potencias complejas: (a) i6 (b) i827 Solución (a) La división por 4 nos da 6 4 2 1 . Se observa que el residuo es 2, de modo que i6 = i2 = −1. (b) La división por 4 nos da 8 2 7 4 0 2 7 2 0 6 3 . Se observa que el residuo es 3, de modo que i827 = i3 = −i. Ver vídeo número complejo i. Ejemplo 2.8.6. Potencias complejas √ Expandir (a) (a+ bi)2 (b) (a− bi)2 (c) (2− 3i)2 (d) (4 + ( −2)3)2 Solución (a) (a+ bi)2 = a2 + 2abi+ (bi)2 = a2 + 2abi+ b2i2 = a2 + 2abi+ b2(−1) = a2 − b2 + 2abi (b) (a− bi)3 = (a+ (−b)i) = a3 + 3a2(−bi) + 3a(−bi)2 + (−bi)3 = a3 − 3a2bi+ 3a(−b)2i2 + (−b)3i3 = a3 − 3a2bi+ 3ab2(−1)− b3(−i) = a3 − 3ab2 − 3a2bi+ b3 = a3 − 3ab2 + (b3 − 3a2b)i 78 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES (c) (2− 3i)2 = 22 − 2(2)(3i) + (3i)2 = 4− 12i+ 32i2 = 4− 12i+ 9(−1) = 4− 9− 12i = −5− 12i (d) √ √ (4 + ( −2)3)2 = (4 + ( 2 i)3)2 √ √ = 42 + 2(4)( 2 i)3 + (( 2 i)3)2 √ √ = 16 + 8( 2)3i3 + ( 2 i)6 √ √ = 16 + 8( 2)3i3 + ( 2)6i6. √ √ √ √ √ Teniendo en cuenta que 3 1 6( 2) = ( 2)2 2 = 2 2, que ( 2)6 = (2 6 32 ) = 2 2 = 2 = 8, i3 = −i y que i6 = −1 entonce se concluye que √ √ √ (4 + ( −2)3)2 = 16 + 8(2 2)(−i) + 8(−1) = 16− 8− 16 2i √ = 8− 16 2i Guía de números complejos, click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejercicios 8. Halle el valor de cada expresión algebra√ica para los valores dados.√ √ 1. 3i+ 1 13 + 5x = − , x2 + x+ 1 4. y = √ , y2(y2 − 5) 2 √ 2√ 2. 3i− √ 1 5 t = , t2 + t+ 1 5. y = − √− 13 , −y2(5− y2) √2 √ 2√ √ 3. y = − √13 + 5 5− 13, y4 − 5y2 6. y = √ , −5y2 + 4 2 2 2.9. Aplicaciones de propiedades Recordemos que los símbolos que se usan son contenedores y que podemos com- binar las diversas expresiones para obtener cosas interesantes. Ejemplo 2.9.1. Factorización Expresar 24x3 + 18y2x9 como producto de factores. 79 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución Observe que 24 = 23 × 3 y 18 = 2 × 32. Las potencias con base común son las po- tencias con base 2, base 3 y las potencias con base x. De las potencias de base 2 la que tiene menor exponente es 2 = 21.De las potencias de base 3, la que tiene menor exponente es 3 = 31 y las de base x la que tiene menor exponente es x3. Por tanto para determinar el factor común se usa (2)(3)(x3) = 6x3. Es decir, la multiplicación es de la forma 6x3(· · ·+ · · · ), en donde los puntos deben reemplazarse por las cantidades adecuadas. Para determinar estas cantidades, se divide cada sumando original por el factor co- mún. Así, 3 sumando original = 24x3 24x, división = = 4x3−3 = 4x0 = 4(1) = 4 6x3 2 9 sumando original = 18y2x9, división 18y x= = 3y2x9−3 = 3x6y2. 6x3 Por tanto 24x3 + 18y2x9 = 6x3(4 + 3x6y2). Como se puede observar a la derecha, se obtiene la forma inicial del ejercicio, por lo que extraer el factor común es aplicar la propiedad distributiva de forma inversa. Resolver los siguientes ejemplos en forma paralela con las guías que están diseña- das en WxMaxima, para este tema consultar Guia de factorización. Ejemplo 2.9.2. Factorización Factorizar (x+ 1)1/2 − x(x+ 1)−1/2. 2 Solución Se observa que el factor común es (x + 1) y la potencia de menor exponente es (x+ 1)−1/2. Por tanto se divide cada sumando entre el factor común 1 (x+ 1) 2 1 = (x+ 1) −(− 1) 12 2 = (x+ 1) + 1 1 2 2 1 = (x+ 1) = x+ 1 (x+ 1)− 2 x 1(x+ 1)− 2 2 x 1 1 x 1 1 x x 1 = (x+ 1) − − 2 (− 2) = (x+ 1)− +2 2 = (x+ 1)0 = . (x+ 1)− 2 2 2 2 2 80 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES De modo que ( ) (x+ 1)1/2 − x(x+ 1)−1/2 = (x+ 1)−1/2 xx+ 1− 2 2 ( ) = (x+ 1)−1/2 2− x −1/2 2x+ 2− x((x+ ) ) = (x+ 1)2 2 x+ 2 1 = (x+ 1)−1/2 = (x+ 1)−1/2(x+ 2) 2 2 1√x+ 2= . 2 x+ 1 Ejemplo 2.9.3. Factorización Factorizar 1 1 (3x+ 1)−2/3(3)(2x− 3)1/2 − (3x+ 1)1/3[ (2x− 3)−1/2(2)]. 3 2 Solución Usando las propiedades fundamentales de la potenciación se obtiene: 3 (2x− 3)1/2 2 (3x+ 1)1/3− (2x− 3) 1/2+1/2 − (3x+ 1)2/3+1/3 = 3 (3x+ 1)2/3 2 (2x− 3)1/2 (3x+ 1)2/3(2x− 3)1/2 2x− 3− 3x− 1 = (3x+ 1)2/3(2x− 3)1/2 −x− 4 = (3x+ 1)2/3(2x− 3)1/2 = −(x+ 4)(3x+ 1)−2/3(2x− 3)−1/2. Algunas veces el factor común no aparece inmediatamente. Una agrupación ade- cuada o reescritura de los términos puede llevar a tener un factor común. Ejemplo 2.9.4. Factorización Factorizar la siguiente expresión: 6x2 − 7x+ 2. Solución Observe que 6x2 − 7x + 2 puede reescribirse como 6x2 − 4x − 3x + 2, se expandió de tal manera que la adición de estos dos términos de variable x genere a −7x y el producto de los coeficientes genere a 6 · 2 = 12 81 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 6x2 − 7x+ 2 = 6x2 − 4x− 3x+ 2 = (6x2 − 4x) + (−3x+ 2). De los grupos formados se extrae un factor común 6x2 − 7x+ 2 = 2x(3x− 2) + (−1)(3x− 2). Se puede notar cuenta que el factor común ahora es (3x− 2) y 6x2 − 7x+ 2 = 2x(3x− 2) + (−1)(3x− 2) = (3x− 2)(2x− 1). Ejemplo 2.9.5. Factorizar agrupando términos Factorizar la siguiente expresión x4 − x2 + x3 − x. Solución x4 − x2 + x3 − x = (x4 − x2) + (x3 − x) = x2(x2 − 1) + x(x2 − 1) = (x2 − 1)(x2 + x) = (x2 − 1)x(x+ 1) = x(x2 − 1)(x+ 1). La expresión x2 − 1 también puede factorizarse si se suma cero de una manera conveniente, es decir si se le suma y se resta la misma expresión. En este caso conviene sumarle y restarle x x2 − 1 = x2 + (−x+ x)− 1 = (x2 − x) + (x− 1) = x(x− 1) + (x− 1) = (x− 1)(x+ 1). Así que la factorización completa es, x4 − x2 + x3 − x = (x2 − 1)x(x+ 1) = (x+ 1)(x− 1)x(x+ 1) = x(x− 1)(x+ 1)2. Ejemplo 2.9.6. Expandir Expanda las potencias (a+ b)2 y (a− b)2 usando la propiedad distributiva. 82 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES Solución (a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = (a+ b)a+ (a+ b)b = a(a+ b) + b(a+ b) = aa+ ab+ ba+ bb = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2. Por tanto (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2. En forma análoga se hace la otra potencia. (a− b)2 = (a− b)(a− b) = (a− b)a− (a− b)b = a(a− b)− b(a− b) = aa− ab− ba+ bb = a2 − ab− ab+ b2 = a2 − 2ab+ b2. Por tanto (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 Resumiendo (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2. Ejemplo 2.9.7. Expansión Expandir el producto (a+b)(a−b). Verifique que se obtiene el mismo resultado al hacer (a− b)(b+ a). Solución (a+ b)(a− b) = (a+ b)a− (a+ b)b = a(a+ b)− b(a+ b) = aa+ ab− ba− bb = a2 + ab− ab+ b2 = a2 − b2 (a+ b)(a− b) = a2 − b2. Lo anterior significa que el producto de la suma de dos números por la diferencia entre ellos está dado por la diferencia de los cuadrados de los números. El orden de la diferencia esta dado por la expresión que tiene el signo menos. 83 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.9.8. Expansión √ √ Expandir (a) (3−x)(3+x) (b) (7x+12yz)(7x−12yz) (c) ( 2+x)(− 2+ x). Solución (a) (3− x)(3 + x) = 32 − x2 = 9− x2. (b) (7x+ 12yz)(7x− 12yz) = (7x)2 − (12yz)2 = 72x2 − 122y2z2 = 49x2 − 144y2z2. √ √ √ √ √ (c) ( 2 + x)(− 2 + x) = (x+ 2)(x− 2) = x2 − ( 2)2 = x2 − 2. Ejemplo 2.9.9. Factorizar Expresar como producto (a) x2 − 42 (b) x2z2 − 81 (c) 16y4 − 5. Solución (a) x2 − 42 = (x+ 4)(x− 4). (b) x2z2 − 81 = (xz)2 − 92 = (xz + 9)(xz − 9). √ √ √ (c) 16y4 − 5 = (4y2)2 − ( 5)2 = (4y2 − 5)(4y2 + 5). Ejemplo 2.9.10. Expansión Expandir usando la propiedad distributiva (i) (a− b)(a2 + ab+ b2) (ii) (a+ b)(a2 − ab+ b2). Solución (I) (a− b)(a2 + ab+ b2) = (a− b)a2 + (a− b)ab+ (a− b)b2 = aa2 − ba2 + aab− bab+ ab2 − bb2 = a3 − a2b+ a2b− ab2 + ab2 − b3 = a3 − b3. (II) (a+ b)(a2 − ab+ b2) = (a+ b)a2 + (a+ b)(−ab) + (a+ b)b2 = aa2 + a2b+ a(−ab) + b(−ab) + ab2 + bb2 = a3 − a2b+ a2b− ab2 + ab2 + b3 = a3 + b3. 84 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.9. APLICACIONES DE PROPIEDADES Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro Guía en WxMaxima sobre expansión. Ejemplo 2.9.11. Determine el valor de x Hallar el valor de x en los reales, tal que x+ 2/5 = 3/4. Solución Sume a ambos lados el opuesto de 2/5 x+ 2/5 + (−2/5) = 3/4 + (−2/5) x+ 0 = ((3)(5) + (4)(−2))/20 x = 7/20, Ejemplo 2.9.12. Simplificar Simplificar la siguiente expresión 20/6. Solución Se descompone cada número en factores. 20 10 · 2 10 = = . 6 3 · 2 3 Ejemplo 2.9.13. Multiplicación de binomios Aplique la propiedad distributiva 1. (x+ a)(x+ b). 2. (ax+ b)(cx+ d). Solución 1. (x+ a)(x+ b) = (x+ a)x+ (x+ a)b = xx+ ax+ xb+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab. 2. (ax+ b)(cx+ d) = (ax)(cx) + (ax)d+ b(cx) + bd = acx2 + adx+ bcx+ bd = acx2 + (ad+ bc)x+ bd. 85 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro Guia de factorización y ver los vídeos . Ejercicios 9. Factorice las siguientes expresiones algebraicas: 1. P 4 − 2P 8 11. 25p4 − 2p3 3 4 2. xyz − xyz3 + xyz 12. 9a(n+m)+15b(n+m)−5ab(n+m) 3. 24a+ 32b− 22c+ 14d 13. 49ab(x + 2y) − 35ab(x + 2y) − +56b(x+ 2y)− 7b(x+ 2y) 4. ac+ ad+ bc+ bd 5. − 14. 12(p + 3) − 4q(p + 3) − r(p + 3) +6a(c 2) + 9b(c− 2) 18(p+ 3) 6. −14m2 + 29m4 − 12 15. 3p− 27p3 + 6 p2 4 12 12 7. p3 + 3p+ 2p+ 5 16. (r2 + 3)4 + (r2 + 3)56− 6(r2 + 3) + 8. −4n7 + 36n3 − 24n4 + 12n3 − 16n5 1(r2 + 3) 9. 20m3n+ 35m2n3 + 10mn+ 5m4 17. −15c2 + 24c4 − 3c2 + 51c3 − 6c2 10. −34m5 + 11m3 + 23m4 + 19m2 −m 18. m5 −m7 +m9 Multiplique las siguientes expresiones algebraicas 19. (2a− 3b)(a2 + 6) 21. x+ 1(2y − 3x5) x 20. 2/3(xy3 + z)(x+ y) 22. (a+ b)(a− 2b)(x+ y) 2.10. Completación de cuadrados Amenudo(es nece)sario(com)pletar un binomio de la forma ax2+bx para convertirlo en2 2 la forma a x+ ? − ? donde el signo de interrogación se reemplaza por una cantidad adecuada. Primero se trabajará el caso x2+ bx y luego el caso ax2+ bx+ c. (I) Caso x2 + bx. Se ordena(en) potencias descendentes respecto a x. Se suma y se le resta la expresión b 2 , es decir, la mitad del coeficiente de la variable 2 con exponente 1. ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 2 bx + bx+ − b b b= x+ − . 2 2 2 2 86 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS ( )2 ( )2 2 b − bx + bx = x+ . 2 2 Ejemplo 2.10.1. Completado cuadrado Complete el cuadrado para x2 + 4x. Solución Observe que el coeficient(e d)e la potencia con exponente 1 es 4, es decir, b = 4. La mitad al cuadrado es 4 2 = (2)2 = 4. Así se obtiene, 2 x2 + 4x = x2 + 4x+ (2)2 − 22 = (x+ 2)2 − 4. Ejemplo 2.10.2. Completando cuadrado Caso de la forma ax2 + bx. Solución (II) Caso ax2 + bx. Para trabajar este caso, primero se convierte al primer caso factorizando a. ︷(com︸p︸leta)r︷ b ax2 + bx = a(x2 + x m(itad b 1 b a )de a2 (es )2 a)2 b b b = a 2(x + x+ −( a ) 2a( ) )2a2 2 ( )2 ( )2 b − b b b= a( x+ = a x+ − a2)a 2a 2a 2a2 b 2 = a(x+ ) − b a 2a 4a2 2 b 2 = a(x+ ( − b 2a ))4a2 2 = a x− − b − b . 2a 4a EnWxMaxima se puede programar una fórmula para que determine automáticamen- te el término adecuado y necesario para completar el cuadrado, ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro guía Completando cuadrado. 87 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.10.3. Completando cuadrados Complete el cuadrado en las siguientes expresiones a) 3 14x2 + 12x b) x2 − x 4 2 Solución a) 4x2 + 12x = 4(x2 + 3x) ( ( )2 ( ) )2 4(x2 3 3 + 3x) = 4 2(x + 3x+ −( ) 22 ( ) )22 3 = 4( x+) − 3 2 2 ( 2)2 3 3 = 4(x+ 2) − 4 22 3 = 4 x+ − 3 2 b) 3x2 − 1x = 3(x2 − 2x) 4 2 4 (3 ) ( ( ) ( ) )2 2 3 2 − 2 3 2 − 2 2 − 2x x = x x+ 4 3 4 ( 3 (6)2 (6) )2 3 2 1 1 = (x 2 − x+ − 4 ( 3 ) 3( ) ) 32 2 3 − 1 1= ( x ) −4 3 32 ( )2 3 − 1 − 3 1= (x4 3) 4 32 3 = (x− 1 − 3 1 4 3) 4 92 3 − 1 1= x − 4 3 12 Ejemplo 2.10.4. Completando cuadrados Escriba la expresión x2 − 2x+ 4 en la forma a(x− h)2 + k, en donde h y k son constantes que se debe elegir de forma adecuada. 88 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Solución Puesto que el resultado debe tener un término de la forma (x− h)2 esto sugiere que podría completarse el cuadrado sin alterar la expresión. Como el término al cuadrado tiene coeficiente 1 se procede a completar el cuadrado en la variable x sumando la mitad del coeficiente de la variable con exponente 1. x2 − 2x+ 4 = x2 − 2x+ 12 − 12 + 4 = (x− 1)2 + 3. Así que x2 − 2x+ 4 = a(x− h)2 + k con a = 1, h = 1 y k = 3. Ejemplo 2.10.5. Completando cuadrados Escriba la expresión 3x2 + x− 4 en la forma a(x− h)2 + k, en donde h y k son constantes que se debe elegir de forma adecuada. Solución Puesto que hay un término de la forma (x−h)2 esto sugiere que podría completarse el cuadrado sin alterar la expresión. Siguie(ndo las r)ecomendaciones, se factoriza 3de 3x2 + x 1 3x2 + x− 4 = 3 x2 + x − 4. 3 Luego se completa el cuadrado dentro del paréntesis, sumando y restando la mitad del coeficiente de x al cuadrado, ( ( ) ( ) )2 2 3x2 − 2 1 1 1+ x 4 = 3 x + x+ − − 4. 3 ( ) 6 6 Dentro del paréntesis no se necesita, a − 1 2, así que se utiliza la propiedad distri- 6 butiva para extraer como factor c(omún, ( ) )2 ( )2 1 1 1 3x2 + x− 4 = 3 x2 + x+ − 3 − 4 (3 )6 ( ) 62 3x2 + x− 1 14 = 3(x+ ) − 3 − 46 362 ( ) 1 1 = 3(x+ − − 46) (122 ) 1 1 = 3x+ −  − 46 12 2 ( )− −1 = 3 x ︸ ︷︷ ︸ −6 ︸︷ 4 1︷92︸ . h k 89 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Es decir 3x2 + x− 4 = a(x− h)2 + k, donde a = 3, h = −1 y k = −49 . 6 12 Ejemplo 2.10.6. Completando cuadrado Complete el cuadrado en x y y para la expresión y2 − 8y + x2 − 4x+ 20 = 9 y póngala en la forma (x−h)2+(y−k)2 = r2 eligiendo h, k, r en forma adecuada. Solución Se asocian los términos en x y y a un lado de la igualdad y se completan los cuadra- dos en los paréntesis (x2 − 4x) + (y2 − 8y) = 9− 20 = −11 (x2 − 4x+ 22 − 22) + (y2 − 8y + 42 − 42) = −11. Dentro de los paréntesis no se necesitan los términos −22 y −42 así se sacan del paréntesis usando la propiedad distributiva y se suman al otro lado con signo opuesto para balancear la igualdad (x2 − 4x) + (y2 − 8y) = 9− 20 = −11 (x2 − 4x+ 22 − 22) + (y2 − 8y + 42 − 42) = −11 (x2 − 4x+ 22) + (y2 − 8y + 42) = −11 + 22 + 42 (x− 2)2 + (y − 4)2 = −11 + 4 + 16 = 9 = 32. Puede verse que (x− 2)2 + (y − 4)2 = 32 tiene la misma estructura que (x− h)2 + (y − k)2 = r2 donde h = 2, k = 4 y r = 3. Ejemplo 2.10.7. Completando cuadrado Complete el cuadrado en x y y para la expresión 4y2 + 32y + 9x2 − 36x+ 100 = 36 2 2 y póngala en la forma (x− h) (y − k)+ = 1 eligiendo h, k, a y b en forma a2 b2 adecuada. 90 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.10. COMPLETACIÓN DE CUADRADOS Solución 9x2 − 36x+ 4y2 + 32y = 36− 100 9(x2 − 4x) + 4(y2 + 8y) = −64 9(x2 − 4x+ 22 − 22) + 4(y2 + 8y + 42 − 42) = −64 9(x2 − 4x+ 22)− 9(22) + 4(y2 + 8y + 42) = −64 9(x− 2)2 + 4(y + 4)2 = −64 + 9(22) + 4(42) = −64 + 36 + 64 = 36 9(x− 2)2 + 4(y + 4)2 = 36. Puesto que debe haber un 1 al lado derecho, se divide por 36 toda la expresión, y se simplifica a 9(x− 2)2 4(y + 4)2 36 + = 36 36 36 (x− 2)2 (y + 4)2 + = 1 4 9 (x− 2)2 (y − (−4))2 + = 1. 4 9 Entonces h = 2, k = −2, a2 = 4 de donde a = 2 y b2 = 9 de donde b = 3. Ejemplo 2.10.8. Completando cuadrado Escriba la expresión ax2 + bx + c donde a 6= 0 en la forma a(x − h)2 + k, en donde h y k son constantes que debe elegir en forma adecuada. Solución ( ) 2 bax + bx+ c = a x2 + x( +a )c2 ( )2 2 b b b bx + x = x2( + xa a )+ 2(a )− 2a2 2 b b = x+ − a 2a 91 2.11. FACTORIZACIÓN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS (( )2 ( ) )2 ax2 b b + bx+ c = a( x+) −a 2a2 ( ) + c 2 b b = a(x+ ) + c− aa 2a2 b ab2 = a(x+ a) + c− 4a22 b 4ac− b2 = a x+ + . a 4a ( )2 2 Así se observa que −b y b 4ac− bh = k = c− = a 2a 4a Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro Guia completando cua- drados y ver vídeo 001 y vídeo 002. Ejercicios 10. Complete el cuadrado de las siguientes expresiones 1. x2 + 6x+ 5 4. 1 + 8x4 7. 9x12 + 23x6 + 144 2. x2 + 4x+ 3 5. x12 + 64 8. t2 − 10t− 24 3. x4 + x2y2 + y4 6. (x−2)2−4(x−2)−5 9. g2 − 6g + 8 2.11. Factorización Se quiere descomponer x2 + 3x+ 2 en dos factores de la forma (x+ n1)(x+ n2) de tal manera que x2 + 3x+ 2 = (x+ n1)(x+ n2) = x 2 + (n1 + n2)x+ n1n2. Se deben elegir n1 y n2 tal que 2 = n1n2 (términos constantes)) y 3 = n1 + n2 (coefi- ciente de la variable con exponente 1). Vemos que 2 y 1 son dos números cuyo producto es dos y su suma es tres por lo tanto (x+ 3)(x+ 1) = x2 + 3x+ 2. Ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Factorización. En general, para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx+ c, observe que el coefi- ciente del término cuadrado es 1, se buscan dos números n1 y n2 tal que n1 · n2 = c y n1 + n2 = b. La factorización es entonces x2 + bx+ c = (x+ n1)(x+ n2). 92 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.11. FACTORIZACIÓN Aprendimos a factorizar un trinomio de la forma x2 + bx+ c buscando números n1 y n2 tal que n1 · n2 = c y n1 + n2 = b. Cuando este no es el caso, es decir cuando el coeficiente del término de orden dos ax2+bx+c donde a 6= 1, se usan estrategias alternativas. Antes que nada, se sugiere ordenar el trinomio en orden descendente, de las potencias en la variable de interés. Una de ellas es transformar el problema en otro equivalente donde el coeficiente sea 1. Esto se hace mediante un cambio de variable; se escribe: a(ax2 + bx+ c) ax2 + bx+ c = a a2x2 + b(ax) + ac = a (ax)2 + b(ax) + ac = . a Al hacer el reemplazo u = ax en esta última expresión nos queda 2 ax2 u + bu+ ac + bx+ c = a que se reduce al caso anterior en el numerador, pero ahora con la variable u. Se continúa el ejercicio buscando dos números cuyo producto es ac y cuya suma es b y luego se simplifica. Ejemplo 2.11.1. Factorización Factorizar la siguiente expresión 6x2 − 14x+ 4. Solución Hacemos la sustitución u = 6x en 6(6x2)− 14(6x) + (6)(4) 6x2 − 14x+ 4 = 6 62x2 +−14(6x) + (6)(4) = 6 (6x)2 − 14(6x) + 24 = 6 (6x)2 − 14(6x) + 24 u2 − 14u+ 24 = . 6 6 Dos números que multiplicados dan 24 y sumados dan −14 son −12 y −2 así 93 2.11. FACTORIZACIÓN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS u2 − 14u+ 24 (u− 12)(u− 2) = 6 6 (6x− 12)(6x− 2) = 6 6(x− 2)2(3x− 1) = 6 = 2(x− 2)(3x− 1). En conclusión 6x2 − 14x+ 4 = 2(x− 2)(3x− 1). Ver vídeo con click aquí o consulte el código QR al final del libro . Ejemplo 2.11.2. Factorización Factorizar 2x2 − 3x+ 1. Solución Se hará el cambio de variable u = 2x. 2 2 − 2(2x − 3x+ 1) 2 2x2 − 3(2x) + (1)(2)) 2x 3x+ 1 = = 2 2 (2x)2 − 3(2x) + 2) u2 − 3u+ 2 = = 2 2 (u− 1)(u− 2) (2x− 1)(2x− 2) = = 2 2 (2x− 1)2(x− 1) = = (2x− 1)(x− 1). 2 Ejemplo 2.11.3. Factorización Factorizar la siguiente expresión 8− 4t2 − 14t. Solución Primero se ordenan las variables en orden descendente, 8− 4t2 − 14t = −4t2 − 14t+ 8. La idea es hacer el cambio de variable u = −4t 94 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.11. FACTORIZACIÓN −4(−4t2− 2 − − 14t+ 8) (−4) 2t2 − 14(−4t) + (8)(−4) 4t 14t+ 8 = = −4 −4 (−4t)2 − 14(−14t)− 32 u2 − 14u− 32 = = −4 −4 (u− 16)(u+ 2) (−4t− 16)(−4t+ 2) = = −4 −4 −4(t+ 4)(−2)(2t− 1) = = −2(t+ 4)(2t− 1). −4 Otra estrategia equivalente para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c consiste en descomponer el término bx en dos términos semejantes de tal manera que el producto de sus coeficientes numéricos coincida con el producto ac, generando así una expresión de cuatro términos ax2 + Mx + mx + c, con M + m = b y Mm = ac esto garantiza que se pueda factorizar por agrupación (ax2 +Mx) + (mx+ c). Ejemplo 2.11.4. Factorización Factorice la siguiente expresión 6x2−14x+4, por descomposición y agrupación de términos. Solución Se descompone el término del medio de tal manera que el producto sea 24 y la suma sea -14 6x2 − 14x+ 4 = 6x2 − 12x− 2x+ 4 Esto es: 6x2 − 14x+ 4 = 6x2 − 12x− 2x+ 4 = (6x2 − 12x) + (−2x+ 4) se agrupan en par = 6x(x− 2)− 2(x− 2) se aplica factor común = (x− 2)(6x− 2) = 2(x− 2)(3x− 1). Ejemplo 2.11.5. Factorización Factorizar la siguiente expresión 8− 4t2 − 14t. Solución Descomponer el término del medio (después que esté ordenado), de tal manera que la descomposición cumpla lo siguiente: el producto corresponda −4 ∗ 8 y la suma 95 2.11. FACTORIZACIÓN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS efectivamente sea la del centro −14 esto es: −16 y 2, con estas condiciones se ob- tiene: −4t2 − 14t+ 8 = −4t2 − 16t+ 2t+ 8 = (−4t2 − 16t) + (2t+ 8) = −4t(t+ 4) + 2(t+ 4) = (t+ 2)(−4t+ 2) = −2(t+ 2)(2t− 1). Ejemplo 2.11.6. Factorización Factorice usando factor común por agrupación. 2x2 − 3x+ 1. Solución 2x2 − 3x+ 1 = 2x2 − 2x− x+ 1 = (2x2 − 2x)− (x− 1) = 2x(x− 1)− (x− 1) = (x− 1)(2x− 1). Factorización de expresiones de la forma x2 − b2 Una forma sencilla de memorizar, pero que tiene sus raíces con las propiedades fundamentales de los números reales, el método consiste en expandir para luego recurrir al factor común, esto es: convirtiendo este binomio en un cuatrinomio x2−b2 = x2+0+b2 = x2+bx−bx+b2 = (x2+bx)−(bx+b2) = x(x+b)−b(x+b) = (x+b) ·(x−b) en lo que se resume a la forma x2 − b2 = (x− b) · (x+ b). Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro vídeo 001 vídeo 002 vídeo 003 vídeo 004 . Ejercicios 11. Factorice las siguientes expresiones algebraicas, usando WxMaxima, ver guía Fac- torización. 1. P 4 − 2P 8 6. −14m2 + 29m4 − 12 2. xyz − xyz3 + xyz 7. p3 + 3p+ 2p+ 5 3. 24a+ 32b− 22c+ 14d 8. −4n7 + 36n3 − 24n4 + 12n3 − 16n5 4. ac+ ad+ bc+ bd 9. 20m3n+ 35m2n3 + 10mn+ 5m4 5. 6a(c− 2) + 9b(c− 2) 10. −34m5 + 11m3 + 23m4 + 19m2 −m 96 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.11. FACTORIZACIÓN 11. 25p4 − 2p3 25. 5opq − 15opq + 10opq3 + 25o2pq 3 4 12. 9a(n+m)+15b(n+m)−5ab(n+m) 26. 4r2 + 11r3 − 8r5 + 7r8 − r4 13. 49ab(x + 2y) − 35ab(x + 2y) − 27. 9ab3 − 6na2b3 + 3na3b3 − 15n2a4b3 +56b(x+ 2y)− 7b(x+ 2y) 6 1 2 8 14. 12(p + 3) − 4q(p + 3) − r(p + 3) + 28. xp+ xm− yp− ym12 2 4 16 18(p+ 3) 29. 9m6+12m3+27m5−36m3−21m2+ 15. 3 − 27 3 6 2 15m+ 24m4p p + p 4 12 12 16. (r2 + 3)4 + (r2 + 3)56− 6(r2 + 3) + 30. 3 lm− 6rm+ 5 ln− 9rn 4 7 6 8 1(r2 + 3) 31. x3−4x5+6x3−8x2+19x4−13x2− 17. −15c2 + 24c4 − 3c2 + 51c3 − 6c2 22x3 18. m5 −m7 +m9 32. 1pq − 4p− 8q + 3pq + 13p− 1q 2 3 2 2 19. (a+ b)(r − 1) + (a− b)(r − 1) 33. 16n + 22nx − 12n + 13nx − 34n + 20. 3x3 + 9x2 − 6x5 65n+19nx+19n+17nx+36n+11nx 21. 3lm+ 27nl + 15mr − 12nr 34. 7n(m+ 13) + (7m+ 8) 22. −36abn3 + 12a2n3 − 4a3bn− 8abn 35. 8(ab+ c) + 3(4ab+ 9) 23. (m+ n− 1)(m2 + 1)−m2 36. p2 − 2p− 48 24. (3a+1)(a+ b+ c)− (3a+1)− (a+ b+ 1)(3a+ 1) 37. a2 + 9a+ 20 Factorice las siguientes expresiones algebraicas, usando WxMaxima. 38. m2 + 9m+ 18 47. 16b2 + 12b− 18 39. x2 + 13x+ 40 48. 49f 2 − 28f − 5 40. n2 + 9x+ 14 49. 4y2 + 2y − 12 41. x2 + 6x+ 8 50. 16x2 + 40x+ 9 42. q2 + 2q − 63 51. 49p2 + 56p+ 15 43. a2 − a− 6 52. 9y2 + 15y − 24 44. 81x2 + 63x+ 12 53. −4t2 − 14t+ 8 45. 9p2 + 21p+ 10 54. p4 + 12p2 + 25 46. 25t2 + 30t+ 8 55. x8 + 14x4 + 45 97 2.12. RACIONALIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 56. m4 + 11m2 + 24 68. 4y6y4 − 49c2p16 57. a2 − b2 69. 3p2 + 5k3p2 − 5k 58. a3 + b3 70. 7r4z2 + 4a7r4z2 − 4a 59. 9m2p4 − 16k8r2 71. 8c2d4 + 2x2y8c2d4 − 2x2y 60. 36p2 − 25k6 72. 5p+ 7r5p− 7r 61. 4x4 − 9r2b8 73. 2xy + 9r2c2xy − 9r2c 62. 64a2 − 16k2 74. 11op3 − 2k11op3 + 2k 63. 49n2 − 25r4 75. {3m2n− 7ab3}{3m2n+ 7ab3} 64. 81x4 − 16p2 76. {9p2q − 5cd3}{9p2q + 5cd3} 65. 4m6n8 − 36p4 77. {4k + 6mp4}{4k − 6mp4} 66. 25a2b4 − 81c8d6 78. 81x8y2z10 − 144a6b12c4 67. 121x6 − 9y12c4 79. x5 − 5x4 + 10x3 − 10x2 + 5x+ 9 2.12. Racionalización y simplificación A menudo en los cálculos conviene multiplicar y dividir por una expresión adecuada con el ánimo de convertir la expresión dada en una expresión más simple. Otras veces conviene hacer una factorización para simplificar. Ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Simplificación. La expresión que generalmente se escoge es una que complemente cierta estructura conocida. Por lo general se escogen las cantidades teniendo en cuenta las siguientes directrices 1. Para completar la estructura a2−b2 dada (a+b) se multiplica por (a−b) porque (a+ b)(a− b) = a2 − b2. 2. Para completar la estructura a2−b2 dada (a−b) se multiplica por (a+b) porque (a+ b)(a− b) = a2 − b2. 3. Para completar la estructura a3 − b3 dada (a− b) se multiplica por (a2 + ab+ b2) porque a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2). 4. Para completar la estructura a3 − b3 dada (a2 + ab+ b2) se multiplica por (a− b) porque a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2). 98 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.12. RACIONALIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Ejemplo 2.12.1. Simplificación Simplificar la siguiente expresión x2 −√2 . x− 2 Solución Observe que en el numerador aparece una expresión cuadrada menos otra √expre- sión. Esto sugiere que podría ser una diferencia de cuadrados x2 − 2 = x2 − ( 2)2 y por tanto √ √ √ x2 −√2 x 2 − (√2) 2 (x+ 2)( √ = = √x− 2) = x+ 2. x− 2 x− 2 x− 2 Ejemplo 2.12.2. Simplificación Simplificar la siguiente expresión √ 7− 2x . 8x3 − 7 Solución Observe que en el denominador aparecen dos términos, una expresión al cubo me- nos otra expresión lo que sugiere que podría ser un√a diferencia de cubos. Se tiene por un lado que 8x3 = 23x3 = (2x)3. Por el otro 7 = ( 3 7)3. Así √ √ 7− 2x −(2x− = √7) 8x3 − 7 (2x)3 − ( 3 7)3 √ √ −(2x− 7)= √ √ (2x− 7)((2x)2 + (2x)( 3 7) + ( 3 7)2) √−1= √ . 4x2 + 2 3 7x+ ( 3 7)2 Ejemplo 2.12.3. Simplificación Simplificar la siguiente expresión x2 − 2 . x3 − 23/2 99 2.12. RACIONALIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución √ x2 − 2 x2 − ( 2)2 = √ x3 − 23/2 x3 − ( 2)3√ √ √(x− 2)(√x+ 2)= √ (x− 2)(x2√ + 2x+ ( 2) 2) x+√ 2= . x2 + 2x+ 2 Ejemplo 2.12.4. Racionalización Eliminar los radicales en el numerador de la expresión √ √ x+ h− x h y simplificar. Solución √ √ Observe que al ser raíces cuadradas las cantidades x+ h y x elevadas al cua- drado eliminan los√radicales.√Se puede entonces multiplicar en el numerador y el denominador por ( x+ h + x). Aprovechando que a2 − b2 = (a + b)(a − b), se escribe √ √ √ √ √ √ x+ h− x ( x+ h−√ x)( x+ h+ x)= √ h √ h( x+ h+ x)√ ( x 2√+ h) − ( x) 2 √x+ h− x= = h( x+ h+ x) h( x+ h+ x) √ h 1= = √ . h( x+ h+ x) x+ h+ x Ejemplo 2.12.5. Simplificación Simplifique la siguiente expresión (x4 − b8)(a− b) . (x2 + a4)(a3 − b3) Solución En la expresión podemos identificar que es posible expandir x4− b8 y a3− b3, de esta forma podemos expresarla así: (x2 − b4)(x2 + b4)(a− b) x2 − b4 = . (x2 + a4)(a− b)(a2 + ab+ b2) a2 + ab+ b2 100 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.12. RACIONALIZACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN Ejemplo 2.12.6. Racionalización Racionalizar el numerador √ √ 3 x+ h− 3 x . h Solución √ Observe√que al elevar las raíces cúb√icas al cub√o se simplifican los términos a ( 3 x+ h)3 = x+ h y ( 3 x)3 = x. Por tanto,√dado 3 x+ h√− 3 x se busca una expresión que multi- plicada con este término de ( 3 x+ h)3 − ( 3 x)3. Esta expresión buscada se obtiene de √ √ √ √ √ √ √ √ 3 3 − 3 3 3 3 3x+ h) ( x) = ( x+ h− 3 x)((︸ x+ h)2 + x︷︷+ h 3 x+ ( 3 x)︸2) buscada √ √ √ √ √ √ √ √ 3 x+ h− 3 x ( 3 x+ h− 3√ x)( 3 x+ h)2 3√ + x+ h 3 x+ ( 3 x)2 = √ √ h h( 3√x+ h) 2 + 3 x+ h 3 x+ ( 3 x)2) √ ( 3 x+ h)3 − ( 3 x)3 = √ √ √ √ h( 3 x+ h)2 + 3 x+ h 3 x+ ( 3 x)2) √ x√+ h− x= √ √ h( 3 x+ h)2 + 3 x+ h 3 x+ ( 3 x)2) h = √ √ √ √ h( 3 x+ h)2 + 3 x+ h 3 x+ ( 3 x)2) √ √ 1= √ √ . 3 x+ h)2 + 3 x+ h 3 x+ ( 3 x)2 Usar guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Simplificación. Ejercicios 12. Racionalice cada una de las siguientes expresiones: x 1. 3√ 3. √2 5. √ 1− 3 3 5 1− x 2. 1√ 4. √2 6. √1 5 + 3 7 2 3 x Racionalizar la siguiente fracción con parámetros: √ √ 2 7. a 2 √ a+ b 2− 8. √ √2 a 2 a+ b− 2 a− b 101 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS √ √ √ 9. a√ b√ 12. 4a 2cd+ 8abcd+ 4b2cd √ + √ a+ b a− b √ 13. √ 1 √ m− 4 n 10. (a+ b+ a2 + b2) √ √ 11. 14. 1 √ (3 + a)(3− a) √4 a+ 4 b Realice las siguientes divisiones 3 3 2 15. −15x 20. 3x − x + 2x+ 2 5x x2 + x+ 1 xn+2yn+116. 2 xn+1yn 21. x + x− 12 3 2 − − x− 317. x + 3x 38x 10 x− 5 b3 − 8 18. x 5 − 2x4 − 4x2 − 3x− 1 22. b− 2 x3 + 2x− 1 x319. + x 2 + x+ 1 223. 6m −m− 30 x2 + 1 2m− 5 2.13. Ecuaciones Definición 2.13.1: Ecuación Una ecuación esta constituida por dos expresiones relacionadas mediante el signo “=”. Ejemplo 2.13.1. Ecuaciones A continuación se presentan algunas ecuaciones. Solución 1. 8 = 5 + 3 3. 8x+ 2 = x(x+ 5) 2. (x+ 3)2 = x2 + 6x+ 9 4. 3x+ a = a2 + 4 Una variable es la representación de un elemento cualquiera dentro de un conjunto dado. Consideremos dos tipos de ecuaciones algebraicas, unas denominadas identidades y las otras ecuaciones condicionadas. 102 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES Definición 2.13.2: Identidad Una identidad es una ecuación que siempre es cierta para todos los valores posibles que tome la variable, como por ejemplo 5x = 2x+3x, (3x+15)/3−x = 5. Una ecuación condicional, es una ecuación algebraica que puede ser verdadera o falsa, de acuerdo a los valores que tome la variable dentro de conjunto dado. Ejemplo 2.13.2. Ecuaciones Estime el valor que puede tomar x para que sea cierta la ecuación: (a). 2x+ 4 = 10 (b). x2 + 2 = 6 Solución (a). 2x+4 = 10 es verdadera si x toma el valor de 3 y falsa para cualquier otro valor de x en el conjunto de los reales. (b). x2 + 2 = 6 es cierta si x toma los valores de 2 o −2, y es falsa para cualquier otros valores de x. Así podemos definir como conjunto solución de la ecuación al conjunto de todas las x que hacen que la ecuación sea cierta. La solución de una ecuación a menudo se le llama raíz de la ecuación y a la variable algunas veces se le denomina incógnita. Cuando nos referimos a resolver una ecuación, significa que hay que hallar el con- junto solución de la ecuación. Es decir, hallar todos los posibles valores de la variable que hacen cierta la ecuación. Ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ecuaciones. Ejemplo 2.13.3. Ecuaciones Determine el valor de x para el cual la ecuación 1 + 3x = 7 es cierta. Solución 1+3x = 7 cuando el número 2 se sustituye por la x, la ecuación original se transforma en una identidad numérica 1 + 6 = 7. Ejemplo 2.13.4. Ecuación Analice la ecuación 1 = 0 y determine el valor que puede tomar x para x+ 2 que sea cierta. 103 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución La ecuación 1 = 0 no presenta solución, ya que no existe ningún valor para x x+ 2 que haga que la ecuación sea cierta. 2.13.1. Propiedades fundamentales de las ecuaciones Si a losmiembros de una ecuación se le suma o resta unamisma cantidad la igualdad se mantiene. Teorema. 2.13.1: si a = b entonces a+ c = b+ c o a− c = b− c. Si a los dos miembros de una ecuación semultiplican o dividen por unmismo número (diferente de cero), la igualdad se mantiene. Teorema. 2.13.2: Si a = b entonces a ∗ c = b ∗ c o bien a/c = b/c con c distinto de cero. Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia la igualdad se mantiene. Teorema. 2.13.3: Si a = b y n un número entero distinto de cero, entonces an = bn Ejemplo 2.13.5. Ecuación Determine el valor de x, para 3x− 5 = x+ 7 Solución Usando las propiedades correspondientes a las ecuaciones se obtiene: 3x− 5 = x+ 7 Usando la propiedad de adicionar en ambos lados una misma cantidad. 3x− x− 5 + 5 = x+ (−x) + 7 + 5 Adicionando términos semejantes, se obtiene: 2x = 12 Multiplicando por el inverso de 2, este es 1 , en ambos lados de igualdad. 2 1 1 2x = 12 2 2 104 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES y así: x = 6 Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro vídeo de Ecuaciones. Nota: No puede concluirse que si an = bn entonces a = b. Por ejemplo (−2)2 = 22, sin embargo −2 =6 2. Ejercicios 13. Determine la solución de cada una de las siguientes ecuaciones lineales. 1. 5 + 6x = 2 7. 5x− 9 = 3x+ 5 13. x− 6 = 18− 7x 2. 5y + 1 = 6 8. 2k + 7 = 12− 3k 14. 3x− 1 = x− 11 3. b+ 1 = −18 9. 2 + 3x = 8− x 15. 3x− 4 = x+ 6 4. 5− 2x = 9 10. −3x+ 5 = 4− x 16. 3x− 7 = 5x+ 2 5. −2− 5x = 0 11. x+ 8 = 3x+ 1 17. (5/2)x+ 6 = 20 6. x = 6− x 12. 2x− 6 = 3x+ 1 18. ax+ 5 = 2 UseWxMaxima y compare sus resultados en los ejercicios anteriores (Click aquí). 2.13.2. Ecuaciones lineales en una variable Una ecuación de una variable x es lineal si la ecuación puede tomar la forma ax+ b = 0 (2.25) en donde a 6= 0.  La linealidad hace referencia a que el máximo exponente de la variable es 1.  El símbolo a representa a la constante que multiplica a la variable.  El símbolo b representa el término independiente o constante.  La variable no tiene que ser necesariamente x, puede ser cualquier símbolo que se designe como variable.  Una vez definida la variable todos los demás símbolos son constantes.  Es posible que b sea cero.  Es posible que la ecuación inicialmente no tenga la forma en (2.25), pero des- pués de una simplificación puede llevarse a esta forma. 105 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Para resolver la ecuación en la forma ax+ b = 0 se procede así ax = −b x = − b . a Ejemplo 2.13.6. En cada caso diga si la ecuación dada es lineal en la variable señalada, cuando lo sea indique el valor de a y el valor de b. 1. Variable t, 3t+ 2 = 0 5. Variable x, 2(x− 5) = x− 4. 2. Variable s, xs+ 1 . 2 6. Variable y, y(y − 2) = 0. 3. Variable α, βα + γ. 4. Variable x, 3x2 − x = 0. 7. Variable z, x(z + p) = x+ 3z. Solución 1. La ecuación es lineal y ya está en la forma ax+ b con a = 3 y b = 2. 2. La ecuación es lineal y ya está en la forma ax+ b. Como la variable es s, a = x y b = 1 . 2 3. La ecuación es lineal y ya está en la forma ax + b = 0. Como la variable es α se tiene que a = β y b = γ. 4. No es lineal, porque el máximo exponente de la variable es 2. 5. La expresión puede simplificarse a 2(x− 5) = x− 4 2x− 10 = x− 4 2x− x− 10 + 4 = 0 x− 6 = 0 Lo anterior indica que si es lineal y que a = 1 y b = −6. 6. Al simplificar se obtiene que y(y − 2) = 0 es equivalente a y2 − y = 0. Como la variable es y y su máximo exponente es 2. La ecuación no es lineal. 7. Si es lineal, la variable z tiene exponente uno. xz + px = x+ 3z xz − 3z + px− x = 0 (x− 3)z + px− x = 0 106 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES a = x− 3 y b = px− x. Usar guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ecuaciones lineales. Ejercicios 14. Determine la solución de cada una de las siguientes ecuaciones lineales: 1. 5 + 6x = 2 16. 3x− 7 = 5x+ 2 2. 5y + 1 = 6 17. (5/2)x+ 6 = 20 3. b+ 1 = −18 18. ax+ 5 = 2 4. 5− 2x = 9 19. 2x− 2 = x+ 1 5. −2− 5x = 0 20. 4(x+ 1)− (2− x) = 5(x− 2)− 4 6. x = 6− x 21. 3x− 8 = 10 7. 5x− 9 = 3x+ 5 22. −7x = 15 + 2x 8. 2k + 7 = 12− 3k 23. 5x+ 13 = −12− 5x 9. 2 + 3x = 8− x 24. 1/x = 1/a+ 1/b 10. −3x+ 5 = 4− x 11. 25. x+ 1 = 8x+ 8 = 3x+ 1 12. 2x− 6 = 3x+ 1 26. 0 = x− 10 13. x− 6 = 18− 7x 27. −x+ 15 = 20 14. 3x− 1 = x− 11 28. 2x− 15 = 50 15. 3x− 4 = x+ 6 29. 5x+ 14 = 35 2.13.3. Ecuaciones lineales en dos variables Las ecuaciones lineales con dos variables se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano y originan una linea recta. Ejemplo 2.13.7. Hallar la representación gráfica de la ecuación y = 2x− 3. 107 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS x y = 2x− 3 0 -3 (2,1) 2 1 (0,-3) Ver vídeo de la gráfica. Un conjunto de ecuaciones lineales reciben el nombre de sistema de ecuaciones lineales y la solución del sistema es el par ordenado que satisface todas las ecua- ciones lineales. Click aquí o consulte el código QR al final del libro guía de Simplificación. Ejercicios 15. Simplifique cada expresión y grafique: 1. 5y − 3 = x 12. 2− 2m+ [2m− (2− p)] = 2 2. 2 = 2y + 2x 13. 8− 2(x− 3) = 4 + 2(y − 3) 3. 48y − 13 + 12y = 72y − 3− 24x 14. 10x− 4(x+ 1) = 13 + 3y 4. 6x+ 12x− 9− 8x+ 10 + y = 0 15. 2x = 7y 5. 2(3x− 1) + 7 = 8x− (3− 2y) 3 6. −(4y − 6) + 9 = 7x− (1− 6x) 16. 3y xx+ = − 1 2 2 7. 3x− 1 = 2(y − 1) 17. x+ 38. y + = 1− x7− 6(x− 1) = 7 + 2(7y − 4) 5 9. 3[2− (3x− 6)]− 4(1− 2x) = 4− 5y 18. 3x− 5 − x− 6 = y 4 12 10. 2(x+ 2)− 5(2y − 3) = 3 x− 2 x− 2(x− 4) y 11. 21− [5x− (3x− 1)] = 5y − 12 19. + =2 6 3 108 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de dos, tres o más ecuaciones lineales con sus respectivas variables, donde se busca una solución común, se considera resolver el sistema. Un sistema dos por dos, se consid{era de la siguiente forma: ax+ by = c dx+my = p Donde a, b, c, d,m y p son números reales fijos. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales dos por dos (dos ecuaciones con dos variables), consiste en hallar el par de valores (x, y), que satisfacen ambas ecuaciones. Considere el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.13.8. Sistemas lineales Verificar que para el sistema d{e dos ecuaciones con dos variables 2x+ 3y = 14 3x+ 4y = 19. Tiene como par solución a (1, 4). Solución Dado que el par solución es (x, y) = (1, 4), es decir x = 1 y y = 4, Para saber si es solución del sistema dos por dos, basta remplazarlas en cada una de las ecuaciones ya que debe satisfacer cada{una de ellas. 2(1) + 3(4) = 2 + 12 = 14 3(1) + 4(4) = 3 + 16 = 19 Efectivamente, satisface las dos ecuaciones, por lo que se considera solución del sistema. Cada ecuación lineal representada en el plano cartesiano, le corresponde el trazo de una recta, si se usa un sistema de ecuaciones dos por dos es de analizar que son dos rectas en el plano cartesiano, por lo que se consideran todas las posibilidades de compartir soluciones. Los posibles casos para la existencia de soluciones son: 1. Una única solución, en tal caso las rectas se cortan en un único punto. 2. Infinitas soluciones, en tal caso las rectas se superponen. 3. No tenga solución, en tal caso las rectas son paralelas en el plano. 109 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 1. 2. 3. 2.13.4. Resolver sistemas de ecuaciones dos por dos Considere el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.13.9. Método de eliminación de variables Dado el siguiente sistema de e{cuaciones lineales 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 Determine la solución en caso que exista. Solución Para eliminar una variable combinando las dos ecuaciones, estas deben tener el mismo coeficiente y signo contrario, para que el caso se de, se multiplica la segunda ecuación por −3 y se eje{cuta la suma correspondiente. 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 ⇒ −3x+ 6y = −3 Generando un nuevo sistema eq{uivalente. 3x+ 4y = −7 −3x+ 6y = −3 Sumando estas dos ecuaciones se obtiene como resultado: 10y = −10 y = −1 por otro lado podemos eliminar la variable y, pero en este caso se multiplica la se- gunda ecuación por 2, esto es: 110 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES { 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 ⇒ 2x− 4y = 2 Generando un nuevo sistema de{ecuaciones lineales, así: 3x+ 4y = −7 2x− 4y = 2 Sumando estas dos ecuaciones se obtiene el siguiente resultado. 5x = −5 x = −1 Como conclusión se tiene el par solución (x, y) = (−1,−1), en otras palabras la solución es x = −1 y y = −1. Definición 2.13.3: Método de eliminación de variables El método consiste en eliminar una variable adicionando dos ecuaciones. Ele- gida una variable, se multiplican las ecuaciones por un número que convierta en inversos aditivos los coeficientes de la variable elegida. Ejemplo 2.13.10. Método de sustitución de variables Dado el siguiente sistema de e{cuaciones lineales 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 Determine la solución en el caso que exista. Solución En la segunda ecuación se despeja la variable x, con el fin de sustituir en la primera ecuación { 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 ⇒ x = 1 + 2y 3(1 + 2y) + 4y = −7 3 + 6y + 4y = −7 3 + 10y = −7 10y = −10 111 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS y = −1 Con y = −1 se sustituye en la ecuación que se despejó a x, esto es x = 1 + 2y x = 1 + 2(−1) x = −1 Cuya solución es x = −1 y y = −1. Usar con click aquí o consulte el código QR al final del libro guía para solucionar los ejemplos anteriores. Definición 2.13.4: Método de sustitución de variables Este método consiste en despejar una de las variables en una ecuación y sus- tituirla en la segunda, generando una ecuación con una variable para resolver. Ejemplo 2.13.11. Método de igualación de variables Dado el siguiente sistema de e{cuaciones lineales 3x+ 4y = −7 x− 2y = 1 Determine la solución en caso que exista. Solución En ambas ecuaciones seelige la misma variable para despejar, como se muestra acontinuación: 3x+ 4y = −7 ⇒ −7− 4y x = 3 x− 2y = 1 ⇒ x = 1 + 2y De esta forma se igualan las expresiones que se encuentran a la derecha de la variable x, así: −7− 4y = 1 + 2y 3 −7− 4y = 3(1 + 2y) −7− 3 = 6y + 4y −10 = 10y y = −1 112 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES Se sustituye el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones que tienen despejada la variable x. x = 1 + 2y = 1 + 2(−1) = 1− 2 = −1− Por tanto la solución es x = −1 y y = −1. Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libroguía Definición 2.13.5: Método de igualación de variables Este método consiste en escoger la misma variable en ambas ecuaciones para despegar y posteriormente se igualan los resultados obtenidos, para generar una ecuación con una variable y resolver. 2.13.5. Sistemas de ecuaciones tres por tres Usando losmismos argumentos de los sistemas dos por dos, se procede a solucionar los sistemas tres por tres. Considere los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.13.12. Usando el método de eliminación Solucione el sistema x+ y + z = 30 (1) x+ y − 2z = 0 (2) x+ 3y − 2z = 30 (3) por el método de eliminación de variables. Solución Se observa en el sistema de ecuaciones que la variable x, es candidata para la eliminación, solo basta multiplicar la ecuación por −1. Eliminemos la variable x con la ecuación (1) y (2). { x+ y + z = 30 (1) x+ y − 2z = 0 ⇒ −x− y + 2z = 0 (2) x+ y + z = 30 −x− y + 2z = 0 −−−−−−−−−− 3z = 30 z = 10 En este caso se eliminaron dos variables x y y de tal forma que se obtiene el valor de z = 10. 113 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Luego se toma la ecuación (2) y (3), con el mismo objetivo de eliminar a la variable x. { x+ y − 2z = 0 (2) x+ 3y − 2z = 30 ⇒ −x− 3y + 2z = −30 (3) Sumando estos dos resultados se genera: x+ y − 2z = 0 −x− 3y + 2z = −30 −−−−−−−−− −2y = −30 y = 15 Ocurre que se eliminan dos variables x y z, generando el valor de y = 15. Con estos dos valores se halla la tercera variable faltante solo con remplazar en cualquiera de las tres ecuaciones lineales originales. x+ y − 2z = x+ (15)− 2(10) = x− 5 = 0 y así x = 5. El conjunto solución es {5, 15, 10}. Ejemplo 2.13.13. Usando el método de eliminación Solucione el sistema 5x+ 4y + 3z = 60 (1) 4x+ 3y + 5z = 50 (2) 3x+ 5y + 4z = 46 (3) por el método de eliminación de variables. Solución Se escoge la variable x para eliminar con las dos primeras ecuaciones, las cuales se multiplican por 4 y −5 respectivamente, con el fin de tener el coeficiente de la variable x como{inversos aditivos. 5x+ 4y + 3z = 60 ⇒ 20x+ 16y + 12z = 240 (1) 4x+ 3y + 5z = 50 ⇒ −20x− 15y − 25z = −250 (2) Al adicionar estas ecuaciones se obtiene: 20x+ 16y + 12z = 240 114 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES −20x− 15y − 25z = −250 −−−−−−−−−−−−− y − 13z = −10 (4) Se obtiene una ecuación con dos variables, eliminemos a la variable x con (2) y (3) ecuación lineal{, multiplicándolas por 3 y −4 respectivamente. 4x+ 3y + 5z = 50 ⇒ 12x+ 9y + 15z = 150 (2) 3x+ 5y + 4z = 46 ⇒ −12x− 20y − 16z = −184 (3) Adicionando estos resultados se obtiene: 12x+ 9y + 15z = 150 −12x− 20y − 16z = −184 −−−−−−−−−−−−−−−−− − 11y − z = −34 (5) Con la ecuación (4) y (5) se elimina la variable y, con solo multiplicar por 11 la ecua- ción (4) y adicionar a{la ecuación (5). y − 13z = −10 ⇒ 11y − 143z = −110 −11y − z = −34 ⇒ Adicionando resulta: 11y − 143z = −110 −11y − z = −34 −−−−−−−−−−−− −144z = −144 z = 1 Este valor z = 1, se reemplaza en la ecuación (4) para determinar a la variable y. y − 13z = y − 13(1) = y − 13 = −10 y = 3. Con estos dos valores z = 1 y y = 3, se hace la sustitución en (1), esto es: 5x+ 4y + 3z = 5x+ 4(3) + 3(1) = 5x+ 12 + 3 = 5x+ 15 = 60 5x = 45 x = 9 115 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS La solución del sistema es {9, 3, 1 }. Ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Sistemas de ecua- ciones lineales. Ejemplo 2.13.14. Aplicaciones La diferencia de dos número es de 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Halla dichos números. Solución Se definen las variables que intervienen en el problema, estas son los dos números que se están solicitando que cumpla con dos condiciones. Sea x y y los dos números que se requiere, con las condiciones dadas, que se re- presentarán como sigue: La diferencia de los dos números es 14, que corresponde a x− y = 14. La cuarta parte de su suma es 13, le corresponde la siguiente expresión: Generando así el siguiente sistema lineal de ecuaciones: x+ y = 13  4x− y = 14x+ y = 13 4 Resolviendo para las variables x y y, por el método de eliminación de variables.x− y = 14x+ y = 13 ⇒ x+ y = 52 4 Adicionado estas ecuaciones, resulta: x− y = 14 x+ y = 52 −−−−−−−−−−− 2x = 66 x = 33 A x le corresponde el valor de 33, esto es x = 33. Se remplaza este valor en cualquiera de las ecuación iniciales para hallar y, así: 116 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES x− y = 33− y = 14 −y = 14− 33 = −19 y = 19 Por tanto los números buscados son 33 y 19, para que cumpla con las condiciones dadas. Ejemplo 2.13.15. Aplicación Un estanque tiene dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y el grifo B durante 1 minuto, salen en total 501 litro de agua. Si en cambio abrimos el grifo B durante 2 minutos y el A durante 1 minuto, entonces salen en total 401 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto? Solución Determínese la cantidad de agua que arroja cada grifo en el estanque, identifiquemos la cantidad de agua con A y B respectivamente en un minuto. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y el grifo B durante 1 minuto, salen en total 501 litro de agua. 3A+B = 501 Si en cambio abrimos el grifo B durante 2 minutos y el A durante 1 minuto, entonces salen en total 401 litros de agua. A+ 2B = 401 Planteadas las ecuaciones de cada situación, se constituye el sistema de ecuaciones siguientes: { 3A+B = 501 A+ 2B = 401 Usando el método de eliminación para la variable B, recurrimos a multiplicar la pri- mera ecuación por -2.{ 3A+B = 501 ⇒ −6A− 2B = −1002 A+ 2B = 401 Al adicionar estas dos ecuaciones se obtiene: −6A− 2B = −1002 A+ 2B = 401 −−−−−−−−−−−−−− 117 2.13. ECUACIONES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS −5A = −601 Así, se tiene el valor de la variable A: −601 A = = 601/5 = 120.2 −5 Con este valor de A, se remplaza en la ecuación A+ 2B = 401, en efecto: 601 + 2B = 401 5 − 601 401 · 5− 601 2005− 601 14042B = 401 = = = 5 5 5 5 1404 B = = 140.4 10 El grifo A arroja 120.2 litros de agua en un minuto y el grifo B arroja 140.4 litros de agua en un minuto. Ejercicios 16. Re{suelva los siguientes sistemas lineales:  y − 13z = 10 x+ 6y − 13z = 20 2(x+ 4) y 91. − = {8y + z = 34 7. 2x− 8y − 12z = 4 13.  3 2 21 4x+ y + z = 10 x+ 2y − (3x− 2) = −3 32y − 13z = 0 2. 6y − 13z + w = 20  {−21y − 2z = −4 8.    2x− 1 y − 3 118y − 12z + 5w = 4  + =2 3 6 − {4y − z + w = 0 14.5y 13z = 13.  2x y − 1 6 {−11y − z = −34 5x+ 2y = 1 − + = − 9. 5 10 5 −3x+ 3y = 5 3y − 13z = 5  4. { 3x− 2y 13− − 5x− y = 3 + 4y ={ 3y 4z = 3 10. 3 3{−2x+ 4y = −12 15. − 2(−2y + x) − 3x −138y 13z = 75. 3x+ 5y = 15 =11. 3 2 6 {−5y − z = −9 {2x− 3y = −9 2(x+ 1) 6y − 13z = 20 −2x+ 3y = 14 − y = −3 6. 12. 16. 3 8y − 12z = 4 3x− y = −14 3(x+ 5− y) + 3x = 12 118 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.13. ECUACIONES Resuelva los siguientes problemas: 17. Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calor es determinar la distribución de la temperatura en estado estable sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presente alrededor de los bordes. Suponga que la placamostrada en la figura representa la sección transversal de una viga de metal, con un flujo de calor insignificante en la dirección perpendicular a la placa. Sean T1, ..., T4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de la malla que se muestra en la figura. En un nodo, la temperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos más cercanos —a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo-. Por ejemplo, (5 + 25 + T2 + T4) T1 = o 4T1 − T2 − T4 = 30 4 20o 20o o 2 35 30o o 1 45 30o 25o 25o Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solución proporcione un esti- mado para las temperaturas T1, ..., T4 y resuelva el sistema. Ejercicio tomado del libro [6] Pag. 100. 18. Buscar dos números que sean solución de la ecuación 5x− 4y = 1. 19. Determine un número de dos cifras cuya suma de sus dígitos es 10; y que, si se invierte el orden de sus cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial. 20. En un triangulo rectángulo, uno de sus ángulos es 12 grados mayor que el otro. ¿Cuánto miden sus tres ángulos? 21. La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años de diferencia. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos? 22. Se mezclan dos tipos de líquido; el primero de 0.64 de ácido por cada litro y el segundo de 0.80 ácido por litro, obteniendo 50 litros de mezcla de 0.72 ácido por litro. ¿Cuántos litros se utilizó de cada liquido? 119 2.14. ECUACIONES CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.14. Ecuaciones cuadráticas La ecuación cuadrática en la variable x tienen la forma ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0. Los números b o c pueden ser cero, pero el número que acompaña a la variable con exponente 2 no puede ser cero. Un número r es solución o raíz de la ecuación cuadrática si al reemplazarlo por la variable se obtiene la igualdad, es decir, si ar2 + br + c = 0. Si b = 0 entonces la ecuación es de la forma ax2 + c = 0 y si c = 0 la ecuación es de la forma ax2 + bx = 0. La expresión D = b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación, y el tipo de las soluciones de la ecuación cuadrática dependen del signo de D. (a) Si D = b2 − 4ac = 0 la ecuación tendrá una sola raíz real. (b) Si D = b2 − 4ac > 0 la ecuación tendrá dos raíces reales distintas. (c) Si D = b2 − 4ac < 0 la ecuación tendrá dos raíces imaginarias conjugadas. Para resolver una ecuación cuadrática se usan básicamente tres técnicas: (I) Factorización. Se agrupan todos los términos a un lado de la igualdad de tal manera que quede una expresión igual a cero. Luego se factoriza y se aplica el teorema del factor cero. (II) Completación de cuadrado. Se agrupan a un lado del signo igual los términos que involucran la variable y del otro lado las constantes. Luego se completa el cuadrado en la variable y se despeja. (III) Fórmula general Se usan la expresiones √ √ −b+ b2 − 4ac −b− b2 − 4ac r1 = , r2 = 2a 2a para calcular las raíces de la ecuación. De aquí se puede observar que √ √ −b+ b2 − 4ac+ (−b− b2 − 4ac −2b b r1 + r2 = = = − . 2a 2a a 120 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.14. ECUACIONES CUADRÁTICAS ( √ )( √ ) −b+ b2 − 4ac −b− b2 − 4ac r1r2 = ( 2a ) ( 2a√ √ ) −b+ b2 − 4ac −b− b2 − 4ac r1r2 = 4a2 √ (−b)2 − ( b2 − 4ac)2 b2 − (b2 − 4ac) b2 − b2 + 4ac r1r2 = = = . 4a2 4a2 4a2 4ac c r1r2 = = . 4a2 a Es decir, la suma de las raíces es b cr1 + r2 = − y su producto es r1r2 = . a a Ejemplo 2.14.1. Ecuaciones Resolver las siguientes ecuaciones a) 2x2 − 5 = 0 b) x2 + 1 = 0 c) ax2 + b = 0, a 6= 0. Solución a) 2x2 − 5 = 0 2x2 = 5 5 x2 = 2√ ± 5x = √ 2 √ Se tienen entonces dos soluciones r1 = 5 y r2 = − 5 .2 2 b) x2 + 1 = 0 x2 = −1 √ x = ± −1 = ±i Se tienen entonces dos soluciones r1 = i y r2 = −i. 121 2.14. ECUACIONES CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS c) ax2 + b = 0 ax2 = −b x2 = −√ba ± bx = √ a √ Se tienen entonces dos soluciones − b y br = r b1 2 = − − . Si es positivo, a a a entonces − b es negativo y las soluciones son imaginarias conjugadas. Si b es a a negativo, entonces − b es positivo y las soluciones son reales. a Ejemplo 2.14.2. Ecuación cuadrática Resuelva por factorización 6x2 − 14x+ 4 = 0. Solución Se factoriza la expresión 6(6x22 − )− 14(6x) + (6)(4)6x 14x+ 4 = 6 62x2 − 14(6x) + 24 = 6 (6x)2 − 14(6x) + 24 = 6 (6x− 12)(6x− 2) = 6 6(x− 2)2(3x− 1) = 6 = 2(x− 2)(3x− 1). Resolver la ecuación original es equivalente a resolver la ecuación factorizada 2(x− 2)(3x− 1) = 0. Aplicando el teorema{del }factor cero se tiene x − 2 = 0 o 3x − 1 = 0. De x − 2 = 0se concluye que x = 2. De 3x− 1 = 0, se concluye que 3x = 1 o x = 1 . Por tanto el3 conjunto solución es 1 , 2 3 Ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ecuaciones cuadrá- ticas. 122 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.14. ECUACIONES CUADRÁTICAS Ejemplo 2.14.3. Ecuación cuadrática Resuelva completando cuadrado 6x2 − 14x+ 4 = 0. Solución 6x2 − 14x+ 4 = 0 x2 − 14 4x+ = 0 6 6 2 − 7 2( x )x = −3 32 ( )2 2 − 7 7 2 7x x+ = − + 3 (2)(3) 3 (2)(3) ( )2 ( )2 − 7 −2 7 2 49(x = + = − +6) 3 6 3 362 − 7 −(2)(12) 49 −24 49(x = + = +6) (3)(12) 36 36 362 − 7 −24 + 49 25x = = 6 36 36. Por tanto ( )2 − 7 25x = 6 36√ √ − 7 25 25x = ± √ = ±√6 36 36 7 ± 25 7 ± 5x = = 6 36 6 6 7± 5 x = 6 y las soluciones vienen dadas por 7 + 5 y 7− 5 1x1 = = 2 x2 = = . 6 6 3 Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro video 001. y video 002. Ejemplo 2.14.4. Ecuación cuadrática Resuelva usando la fórmula general, 6x2 − 14x+ 4 = 0. 123 2.14. ECUACIONES CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución La fórmula general viene dada por √ −b± b2 − 4ac x = . 2a Para este ejercicio a = 6, b = −14 y c =√4. Por tanto −(−14)± (−14)2 − 4(6)(4) x = 2(6) √ √ 14± 196− 96 14± 100 x = = 12 12 14± 10 x = 12 14 + 10 24 y 14− 10 4 1x1 = = = 2 x2 = = = . 12 12 12 12 3 Ejemplo 2.14.5. Ecuación cuadrática Dada la ecuación x2 = −x − 1 determine la naturaleza de sus raíces usando el discriminante. Halle las soluciones. Solución La ecuación x2 = −x − 1 es equivalente a la ecuación x2 + x + 1 = 0. Para esta ecuación cuadrática a = 1, b = 1 y c = 1. Por lo tanto el discriminante es D = b2 − 4ac = (1)2 − 4(1)(1) = −3. De modo que las soluciones son imaginarias conjugadas y son: √ √ −1 + 12 − 4(1)(1) −1 + 3 i x1 = √ =2(1) 3√ −1− 12 − 4(1)(1) −1− 3 i x2 = = . 2(1) 3 Puede consultar la guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Dis- criminante. Puede encontrar la solución resolviendo la ecuación en máxima. Ejercicios 17. Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. x2 + 15x+ 56 = 0 4. x2 − 37x = 0 7. x2 − 23x+ 120 = 0 2. x2 + 3x− 88 = 0 5. 5x2 + 12x = 0 8. x2 + x− 72 = 0 3. x2 − 4x− 45 = 0 6. x2 − 81 = 0 9. 6x2 − 19x+ 10 = 0 124 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.15. ECUACIONES QUE INVOLUCRAN VALOR ABSOLUTO 10. x2 + 3x− 88 = 0 14. x2 + x− 72 = 0 18. (5x − 3)(2x + 1) = 46− x 11. x2 − 4x− 45 = 0 15. 6x2 − 19x+ 10 = 0 19. 5x(x− 6) = x− 30 12. 5x2 + 12x = 0 16. 39x2 − 83x = 56 20. 6x(x+ 6) = x+ 30 13. x2 − 81 = 0 17. 7x2 − 13x− 1 = 0 21. 5x(x− 6) = x2 − 20 2.15. Ecuaciones que involucran valor absoluto Recordar que el valor absoluto se define como −x si x < 0 |x| =  0 si x = 0 x si x > 0 Si a y b son dos números reales, la distancia entre ellos es |a− b|. Para resolver ecuaciones que involucran el valor absoluto, se aplican las propieda- des del valor absoluto, caso por caso y luego se eligen las respuestas que satisfagan cada una de ellas. La solución es la unión del conjunto de soluciones de cada caso. Como práctica se le recomienda ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Valor absoluto. Ejemplo 2.15.1. Valor absoluto Hallar el conjunto solución de |x− 2| = 4. Solución Por la propiedad |y| = ϵ si y solo si y = ϵ o y = −ϵ | x︸ ︷−︷ 2︸ | = ︸︷4︷︸ si y solo si x− 2 = 4 o x− 2 = −4 y ϵ Caso i) Para el caso que x− 2 = 4 se tiene x = 4 + 2 = 6. Caso ii) Para el caso que x− 2 = −4, se tiene x = −4 + 2 = −2. Por tanto las soluciones son x = 6 y x = −2, o alternativamente, el conjunto solución es {−2, 6}. Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro video. 125 2.15. ECUACIONES QUE INVOLUCRAN VALOR ABSOLUTO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.15.2. Valor absoluto Hallar el valor de t tal que |t− 5|+ |t− 4| = 8. Solución (1) Si t− 5 ≥ 0 y t− 4 ≥ 0 entonces |t− 5| = t− 5 y |t− 4| = t− 4. La ecuación se convierte en | ︸t−︷︷5︸ |+ | ︸t−︷︷4︸ | = t− 5 + t− 4 = 8. ≥0 ≥0 Al ser t − 5 ≥ 0 se tiene que t ≥ 5 y la solución encontrada debe ser mayor o igual a 5. También al ser t− 4 ≥ 0 se tiene t ≥ 4 y la solución encontrada debe ser mayor o igual a 4. t− 5 + t− 4 = 8 2t− 9 = 8 2t = 8 + 9 = 17 17 t = 2 (2) Si t − 5 ≤ 0 y t − 4 ≤ 0 entonces |t − 5| = −(t − 5) y |t − 4| = −(t − 4). La ecuación se convierte en | ︸t−︷︷5︸ |+ | ︸t−︷︷4︸ | = −(t− 5) + (−(t− 4)) = 8. ≤0 ≤0 Al ser t − 5 ≤ 0 se tiene que t ≤ 5 y la solución encontrada debe ser menor o igual a 5. También al ser t− 4 ≤ 0 se tiene t ≤ 4 y la solución encontrada debe ser menor o igual a 4. −(t− 5)− (t− 4) = 8 −t+ 5− t+ 4 = 8 −2t+ 9 = 8 −2t = 8− 9 = −1 −1 1 t = = . −2 2 (3) Si t− 5 ≤ 0 y t− 4 ≥ 0 entonces |t− 5| = −(t− 5) y |t− 4| = t− 4. La ecuación se convierte en | t︸−︷︷5︸ |+ | ︸t−︷︷4︸ | = −(t− 5) + t− 4 = 8. ≤0 ≥0 126 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.15. ECUACIONES QUE INVOLUCRAN VALOR ABSOLUTO Al ser t − 5 ≤ 0 se tiene que t ≤ 5 y la solución encontrada debe ser menor o igual a 5. También al ser t− 4 ≥ 0 se tiene t ≥ 4 y la solución encontrada debe ser mayor o igual a 4. −(t− 5) + (t− 4) = 8 −t+ 5 + t− 4 = 8 1 = 8. Como 1 no puede ser igual a 8, la ecuación no tiene solución en este caso. (4) El último caso no es posible porque al ser t − 5 ≥ 0 y t − 4 ≤ 0 se debe tener t ≤ 4 y t ≥ 5 y no existe ningún número real que pueda ser menor que 4 y mayor o igual a 5 al mismo tiempo. Por tanto las soluciones de la ecuación son t = 17 y t = 1 . 2 2 { } De manera alternativa se puede decir que el conjunto solución es 1 , 17 . 2 2 Operaciones con el valor absoluto Si x y y son dos números reales y n es un entero se cumple que: √  |xy| = |x||y|  |x| = x2  |x/y| = |x|/|y| con y distinto de 0  |xn| = |x|n Dados dos puntos en la recta real a y b, se desea determinar la distancia que los separa, podemos pensar que esta se puede hallar de a hacia b o de b hacia a, de igual forma esta debe dar la misma medida, por lo que se requiere expresarla en forma positiva. Para hacer esto se usa el valor absoluto. Definición 2.15.1: Distancia entre dos puntos en la recta real Dados dos puntos a y b en la recta real, se define la distancia entre a y b como d(a,b) = |a− b| = |b− a|. Considere los puntos a y b en la recta real, la distancia entre estos puntos es la longitud del segmento trazado desde a hasta b o desde b hasta a. La distancia de −2 a 5 es d = | − 2 − 5| = |5 − (−2)| = 7. El segmento puede verse en la siguiente figura 127 2.15. ECUACIONES QUE INVOLUCRAN VALOR ABSOLUTO CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS d = 7 −2 5 Definición 2.15.2: Punto medio Dados dos puntos en la recta real a y b, el punto medio (m) entre estos dos puntos se define como: a+ b m = . 2 Ejemplo 2.15.3. Punto medio Determine el punto medio entre −2 y 10. Solución Usando la definición de punto medio se tiene: −2 + 10 8 m = = = 4 2 2 −2 4 10 Ejercicios 18. Hallar la distancia entre a y b: 1. 2 y 6 5. −2 y 6 9. −20 y 3 2. 5 y 10 6. 12 y 6 10. −7 y 30 3. 3 y 8 7. −3 y −1 11. −7 y 3 4. 1 y 7 8. −5 y 0 12. 2/3 y 6 Determine el punto que se encuentra en el centro de: 13. 2 y 6 17. −7 y −2 21. 0 y 200 14. 0 y 10 18. −50 y 60 22. −1/3 y 2/5 15. 5 y 9 19. 225 y 634 16. −4 y 6 20. −5 y 2 128 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.16. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES O CUADRÁTICAS Determine la solución de cada ecua∣ción. ∣ 23. |x+ 2| = 5 ∣28. ∣∣3− x ∣∣− 2 = 0 32. |3x+ 1|+ 1− x = 03 ∣ 24. |3x+ 1| = 5 ∣x ∣ 25. |1 − | − | | 29. | ∣ ∣ x+ 1| = 2x+ 1 33. ∣ + 2∣ = 7x− 5 2 x+ 2 = 0 4 2 26. |x− 2| = −3 30. |x2 − 9| = 0 ∣∣∣34. ∣ ∣1 ∣27. |x+ 2|+ 7 = 0 31. |x2 + 6x+ 4| = 4 9x+ ∣∣ = |x− 3|3 2.16. Ecuaciones que se reducen a lineales o cuadrá- ticas Existen ecuaciones que originalmente no son lineales o cuadráticas pero que pueden transformarse a una lineal o cuadrática mediante transformaciones algebraicas o cambios de variable adecuados. A esta ecuación transformada se le puede hallar la solución más fácilmente. No obstante, cuando se hacen estas transformaciones la solución de las ecuaciones transformadas pueden no ser soluciones de la ecuación original y por lo tanto se debe hacer la verificación en la ecuación inicial. Ecuaciones con fracciones algebraicas Ejemplo 2.16.1. Ecuaciones fraccionarias Hallar las soluciones de 1 − 1 = 0 x+ 1 2x− 3 Solución 1 − 1 2x− 3− 1(x+ 1) 2x− 3− x− 1= = = 0 x+ 1 2x− 3 (x+ 1)(2x− 3) (x+ 1)(2x− 3) x− 4 = 0. (x+ 1)(2x− 3) La expresión anterior es cero solo si el numerador es cero, es decir, si x− 4 = 0. Así que x = 4. Como este valor de x no hace cero ningún denominador, es la solución. La verificación es como sigue, reemplazando x = 4. 1 − 1 1 − 1= x+ 1 2x− 3 4 + 1 2(4)− 3 1 − 1= = 0. 5 5 129 2.16. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES O CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Usando WxMaxima de forma similar a las guías de ecuaciones puede resolverlas de forma fraccionarias. Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ecuaciones. y ver video. Ecuaciones con radicales En este caso intervienen términos radicales. Para resolverla, se despeja uno de los radicales, se eleva cada lado a la potencia indicada por el índice del radical y se simplifica. Este paso se repite hasta que no queden radicales en la ecuación trans- formada. Luego se resuelve la ecuación que queda y se verifican las soluciones en la ecuación original. Ejemplo 2.16.2. Ecuaciones con radicales √ √ Hallar la solución de x+ 1− 2x+ 9 = −2. 130 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.16. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES O CUADRÁTICAS Solución √ √ x+ 1− 2x+ 9 = −2 √ √ x+ 1 + 2 = 2x+ 9 √ √ ( x+ 1 + 2)2 = ( 2x+ 9)2 √ √ ( x+ 1)2 + 2(2)( x+ 1) + 22 = 2x+ 9 √ x+ 1 + 4 x+ 1 + 4 = 2x+ 9 √ 4 x+ 1 = 2x+ 9− x− 1− 4 √ 4 x+ 1 = x+ 4 √ (4 x+ 1)2 = (x+ 4)2 16(x+ 1) = x2 + 8x+ 16 16x+ 16 = x2 + 8x+ 16 0 = x2 + 8x+ 16− 16x− 16 0 = x2 − 8x 0 = x(x− 8). De donde x = 0 o x = 8. Ahora se prueban las posibles soluciones en la ecuación original. Para x = 0, √ √ √ √ √ x+ 1− 2x+ 9 = 0 + 1− 2(0) + 9 = 1− 9 = −2, es decir x = 0 es solución. Para x = 8, √ √ √ √ √ x+ 1− 2x+ 9 = 8 + 1− 2(8) + 9 = 3− 25 = −2, x = 8 es solución. El conjunto solución es entonces {0, 8}. Ejemplo 2.16.3. Ecuaciones con radicales √ Hallar la solución x− 2− 3x = −16. Solución De la ecuación se nota enseguida que la cantidad bajo el signo radical debe ser 131 2.16. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES O CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS mayor o igual a cero. Es decir, x− 2 ≥ 0, o x ≥ 2. √ x− 2− 3x = −16 √ x− 2 = 3x− 16 √ ( x− 2)2 = (3x− 16)2 x− 2 = 9x2 − 96x+ 256 9x2 − 96x+ 256 + 2− x = 0 9x2 − 97x+ 258 = 0 (x− 6)(9x− 43) = 0. Las soluciones de la√ecuación transformada son x = 6 y x = 43 . Se debe verificar en 9 la ecuación original x− 2− 3x = −16. √ √ √6− 2−( 3(6)) =√4− 18 = −16 ( 6 es solución ) 43 − − 43 252 3 = − 43 38= − 6= −16 ( 43 no es solución ). 9 9 9 3 3 9 Ejemplo 2.16.4. Ecuaciones con radicales √ Hallar las soluciones de 3 x+ 1− 3 = 0. Solución √ 3 x+ 1− 3 = 0 √ 3 x+ 1 = 3 √ ( 3 x+ 1)3 = 33 x+ 1 = 27 x = 26. Ecuaciones lineales o cuadráticas por cambio de variable Existen ecuaciones cuadráticas que se pueden evidenciar con un cambio de variable adecuado que aplique. Observar los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.16.5. Ecuación cuadrática Hallar el conjunto solución de t4 − 5t2 + 6 = 0. 132 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.16. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A LINEALES O CUADRÁTICAS Solución Observe que los exponentes son enteros positivos y la variable conmenor exponente es t2, si se cambia la variable, poniendo z = t2, entonces, (z2)2 = (t2)2 = t4 y la ecuación puede reescribirse como ︸︷t4︷︸−5 ︸︷t2︷︸+6 = 0 z2 z z2 − 5z + 6 = 0 la cual puede resolverse fácilmente para z (z − 3)(z − 2) = 0 que tiene soluciones z = 3 y z = 2. Como z = t2, esto es e√quivalente a√tener t2 = z = 3 o t2 = z = 2. De aquí se obtiene que t = ± 3 o t = ± 2. De estos cuatro posibles valores de t debemos verificar cuáles son respuestas de la ecuación original. √ √ ( 3)4 − 5( 3)2 + 6 = 9− 5(3) + 6 = 0 √ √ (− 3)4 − 5(− 3)2 + 6 = 9− 5(3) + 6 = 0 √ √ ( 2)4 − 5( 2)2 + 6 = 4− 5(2) + 6 = 0 √ √ (− 2)4 − 5(− 2)2 + 6 = 4− 5(2) + 6 = 0. Ejemplo 2.16.6. Ecuación cuadrática Hallar la solución de y−4 − 6y−2 + 9 = 0. Solución Haga u = y−2, entonces u2 = (y−2)2 = y−4 y la ecuación se transforma en ︸y︷−︷4︸−6 ︸y︷−︷2︸+9 = 0 u2 u u2 − 6u+ 9 = 0, de( d)onde (u− 3)(u− 3) = 0.2 Así u = 3. Como −2 13 = u = y = 1(y2)= , entoncesy2 1 1 √ = 3, y = ± 3. y y √ Se tiene por un lado 1 = 3 lo que implica y = √1 . y 3 √ Por otro lado 1 = − 3 lo que contempla y = −√1 . Ir con click aquí o consulte el y 3 código QR al final del libro Ecuaciones. 133 2.17. DESIGUALDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejercicios 19. Ecuaciones Hallar la solución de las siguientes ecuaciones. 1. 2 5 √ 2 + = 0 9. 3 x2 + 1 + = 0 x− 2 x+ 5 x− 3 2. −4 1 √ + = 0 − 10. 3 x− 1 = 2 2x 3x 5 x 3. 2 3 11. 2x 4 − 2x+ 2 = 0 + = 0 x2 5x− 1 √ 12. x4 + x2 = 4 4. x+ 1 + 8 = 0 √ 13. x8 − x4 − 6 = 0 5. 3 x+ 1− 3 = 0 √ √ 6. − − 14. 1 − 4 + 3 = 0 x+ 1 2 3 x = 0 (x+ 4)2 (x+ 4) √ √ 7. 3 x+ 1− 3 2x+ 1 = 0 15. x8 + 5x4 + 6 = 0 8. y−4 + 6y−2 + 5 = 0 16. (x+ 4)4 − 4(x+ 4)2 + 3 = 0 2.17. Desigualdades En la sección 1.1.1 se presentaron las desigualdades y sus propiedades con el fin de escribir el orden de los números reales. Por ejemplo, si x esta en la recta numérica, a la izquierda de 3, o si x es cualquier número real menor que 3, escribimos x < 3. 2.17.1. Desigualdades lineales Una desigualdad lineal es una expresión matemática del tipo ax+ b ≥ 0, ax+ b > 0, ax+ b ≤ 0, o ax+ b < 0. Una manera de visualizar las desigualdades, es relacionándolas con una balanza, en donde se interpreta el lado demayor valor o demenor valor, que al colocar objetos en los extremos de la balanza, podemos identificar que el cuerpo de mayor masa se encuentra en la parte más baja y el de menor masa en la parte superior. = > 134 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.17. DESIGUALDADES Para dar solución a las desigualdades que se puedan plantear, se hace necesario el uso de sus propiedades. Considere el siguiente ejemplo: Ejemplo 2.17.1. Desigualdad ¿Cuál es el conjunto de los números reales que hace que la siguiente des- igualdad sea cierta? 5x+ 2 < 12 Solución 5x+ 2− 2 < 12− 2 5x < 10 5x 10 < 5 5 x < 2 Por tanto las solución es el conjunto de todos los números reales menores a 2. S = {x ∈ R : x < 2} Ver video. 2 Ejemplo 2.17.2. Desigualdad ¿Cuál es el conjunto de los números reales que hace que la siguiente des- igualdad sea cierta? 2x+ 1 < 0 Solución 2x+ 1− 1 < 0− 1 2x < −1 2x −1 < 2 2 −1 x < 2 135 2.17. DESIGUALDADES CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS −1 2 Ejemplo 2.17.3. Desigualdad ¿Cuál es el conjunto de los números reales que hace que la siguiente des- igualdad sea cierta? −3x+ 9 < 0 Solución −3x+ 9− 9 < 0− 9 −3x < −9 −3x −9 > −3 −3 x > 3 3 Así el conjunto que hace que la desigualdad sea cierta es, el conjunto de todos los números reales mayores que 3. Ejemplo 2.17.4. Desigualdad ¿Cuál es el conjunto de los números reales que hace que la siguiente des- igualdad sea cierta? −3x+ 9 ≤ 0 Solución −3x+ 9− 9 ≤ 0− 9 −3x ≤ −9 −3x ≥ −9 −3 −3 x ≥ 3 3 136 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.17. DESIGUALDADES Así el conjunto que hace que la desigualdad sea cierta es, el conjunto de todos los números reales mayores e iguales a 3. Ejercicios 20. Determine las solución de cada una de las siguientes desigualdades, usando las propiedades de la sección 1.1.1: 1. 2x+ 6 < 4x+ 2 5. 7x+ 8 ≤ x− 6 9. 2x+ 1 > 4 2. 6x− 5 ≤ 2x+ 6 6. 5x+ 9 ≥ 2x+ 6 10. 7x+ 6 > 25 3. 5x− 5 < 4x+ 6 7. 5 ≥ 2x+ 3 11. 4x− 3 > 4x+ 5 4. 3x+ 6 < x− 1 8. 9x+ 7 ≥ x− 4 12. 2x+ 7 ≤ 4x+ 14 Grafique en la recta real la solución de cada desigualdad: 13. x+ 1 < 8 16. 2x ≤ −3 19. 3x < x− 1 4 14. 4x+ 1 > 0 17. 5x+ 9 ≤ 5 15. 2x+ 1 < 0 18. 3x+ 1 < 6x− 7 20. x − x < 8 2 3 Diseñe una desigualdad lineal que tenga como solución, las siguientes representa- ciones gráficas: 21. −2 22. −5 23. 1 Determine la solución de cada desigualdad : 24. 2x− 3 < 4− 2x 29. a+ 2 ≤ a− 1 4 3 25. 5 + 3x ≤ 4− 2x 26. − − 30. 5x− 6 3x− 12 ≤ 4 2t > t 5 4 27. x(+ 8 ≤ 3)x+ 1 31. 3(4− x) > 18x+ 5 28. − 12 x > 3x 2 32. x x x + > 5− 3 2 6 137 2.18. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS ( CA)PÍTULO 2. SIST(EMAS NUMÉR)ICOS 33. −x − ≤ 5x − 1 36. − 1 − −1 74 2 x ( 3) + 4 x+ > 4 3 6 3 2 4 0 34. 5x− 2 − x− 8 x+ 14> − 2 3 4 2 35. x x+ 1+ − √x+ 2 < 0 2 7 37. x− 2 > 0 La solución de las anteriores desigualdades compárelas con los resultados que arro- ja en WxMaxima, ver guía con click aquí o consulte el código QR al final del libro Desigualdades. 2.18. Desigualdades cuadráticas Para solucionar una desigualdad cuadrática como por ejemplo ax2 + bx + c < 0, se contempla solucionar primero la igualdad ax2+bx+c = 0 con el fin de determinar los valores donde surge el cambio de signo, esto es de positivo a negativo o de negativo a positivo, en nuestro caso actual nos interesa los que son negativos, es decir los que se encuentran por debajo de cero, ax2 + bx+ c < 0. Nota: El estudiante debe dominar la factorización, con el objetivo de hacer uso de las propiedades del producto para números reales. Considere los siguientes ejemplos: Ejemplo 2.18.1. Desigualdad Halle los valores de t tal que (t− 1)(t+ 3) > 0 Solución Se aplica la propiedad a · b > 0 si y sólo si (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0) Donde t− 1 hace las veces de a y t+ 3 hace las veces de b ︸(t−︷︷1︸) ︸(t ︷+︷3︸) > 0 a b (I) t− 1 > 0 y t + 3 > 0. La primera parte implica que t > 1, es decir t debe estar en el intervalo (1,∞) y la segunda parte implica t > −3, es decir debe estar en el intervalo (−3,∞). La intersección de estos conjuntos de números es la respuesta buscada. 138 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.18. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS (t− 1) > 0 −3 1 −3 1 Se ve de la gráfica que ambos factores son mayores que cero si t > 1, es decir, el conjunto solución para el caso en que ambos factores es mayor que cero es (1,∞). (II) t− 1 < 0 y t + 3 < 0. La primera parte implica que t < 1, es decir t debe estar en el intervalo (−∞, 1) y la segunda parte implica t < −3, es decir debe estar en el intervalo (−∞, 3). La intersección de estos conjuntos de números es la respuesta buscada (t− 1) < 0 −3 1 −3 1 (t+ 3) < 0 Se observa de la gráfica que ambos factores son menores que cero si t < −3, es decir, el conjunto solución para el caso en que ambos factores son menores que cero es (−∞,−3). La solución total es la unión del caso (i) con el caso (ii) por tanto (t−1)(t+3) > 0 tiene por solución al conjunto (−∞,−3) ∪ (1,∞). El análisis anterior puede hacerse un poco más resumido, solo basta colocar los signos que toma cada expresion en cada intervalo. ⊕ (t− 1) −3 1 ⊕ ⊕ (t+ 3) −3 1 ⊕ ⊕ (t− 1)(t+ 3) Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro vídeo. Click aquí 139 2.18. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ejemplo 2.18.2. Desigualdades Halle el conjunto solución de x2 − x > 0. Solución Se aplicar la propiedad ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0) Para ello se necesita expresar x2 − x como el producto de dos expresiones. Facto- rizando se tiene x2 − x = x(x− 1) > 0. Se hace entonces el análisis de signo de los factores x y x+ 1 en el siguiente esquema. ⊕ ⊕ x > 0 0 1 ⊕ x− 1 > 0, x > 1 0 1 ⊕ ⊕ x(x− 1) 0 1 Se deduce entonces que los valores posibles para x, que generan un producto po- sitivo, es en (−∞, 0) ∪ (1,∞). Ver con click aquí o consulte el código QR al final del libro vídeos. Click aquí Click aquí para ver guía Ejemplo 2.18.3. Desigualdades Hallar el conjunto solución de x− 1 ≤ 3 x+ 2 Solución Primero observe que resolver la desigualdad anterior es equivalente a resolver x− 1 − 3 ≤ 0 x+ 2 y el lado izquierdo puede simplificarse a x− 1 − x− 1 − 3 (x− 1)(1)− 3(x+ 2) x− 1− 3x− 6 −2x− 73 = = = = . x+ 2 x+ 2 1 (x+ 2)(1) x+ 2 x+ 2 De modo que hallar el conjunto solución de la expresión original es equivalente a hallar el conjunto solución de la desigualdad −2x− 7 ≤ 0 x+ 2 140 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.18. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Aplicaremos la propiedad a ≤ 0 si y solo si (a ≥ 0 y b < 0) o (a ≤ 0 y b > 0) b donde ︷ ︸a︸ ︷ −︸2x︷︷−︸ 7 ≤ 0x+ 2 b Se hace el análisis de signo ⊕ −2x− 7 ≥ 0, x ≤ −7 −7 −2 2 2 ⊕ x+ 2 > 0, x > −2 −7 −2 2 ⊕ −2x− 7 −7 −2 x+ 2 2 ( ] El conjunto solución es −∞,−7 ∪ (−2,∞). 2 Ejemplo 2.18.4. Desigualdades Hallar el conjunto solución de −3x3 + 4x2 − x > 0. Solución Factorizando la expresión se obtiene −3x3 + 4x2 − x = x(−3x2 + 4x− 1) = (−3x+ 1)(x− 1)x > 0 Haciendo el análisis de signo para los factores 1 0 3 1 ⊕ ⊕ −3x+ 1 > 0, x < −1− = 1 3 3 ⊕ x− 1 > 0, x > 1 ⊕ ⊕ ⊕ x > 0 ⊕ ⊕ (−3x+ 1)(x− 1)x 141 2.18. DESIGUALDADES CUADRÁTICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Las soluciones reales de la desigualdad están en (−∞, 0) ∪ (1 , 1). 3 Ejemplo 2.18.5. Desigualdades Halle todos los posibles valores de k para que la ecuación x2 + kx + 1 = 0 tenga soluciones reales. Solución El discriminante de la ecuación es D = k2 − 4(1)(1) = k2 − 4. Las soluciones son reales cuando el discriminante es mayor o igual a cero, es decir, D ≥ 0 lo cual es equivalente a k2 − 4 ≥ 0. Las soluciones de esta inecuación en la variable k es (k − 2)(k + 2) ≥ 0 −2 2 ⊕ ⊕ k + 2 ⊕ k − 2 ⊕ ⊕ (k − 2)(k + 2) Así k2 − 4 ≥ 0. si k está en el intervalo (−∞,−2] ∪ [2,∞). Por lo tanto la ecuación cuadrática tiene solución en los reales si k cumple con esta condición. k ∈ {x : x ∈ R− (−2, 2)} Ejercicios 21. Determine la solución de cada desigualdad cuadrática: 1. (x+ 2)(2x+ 5) < 0 7. x2 − x+ 8 ≥ 2x2 − 2 2. x(x+ 5)(6x− 12) ≥ 0 8. 3x2 + 5x− 1 ≤ 5x2 − 6 3. (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) < 0 9. 2x2 − x+ 8 > 9x− 2 4. x < 2 10. 3x2 + x− 1 ≤ x2 − 9 3x+ 8 5. 3x2 − x+ 8 ≤ x− 2 11. x2 − x+ 3 < x− 2 6. 4x2 + 7x− 1 ≤ x2 − 6 12. 4x2 + 7x− 1 ≤ 6x2 − 1 142 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.19. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO 13. 5x2 − x+ 8 ≥ 2x2 − 2 15. 8x2 − x+ 8 > 2x− 9 14. 3x2 + 7x− 1 ≤ x2 − 8 16. x2 − x− 6 < 0 2.19. Desigualdades con valor absoluto Ejemplo 2.19.1. Desigualdad Hallar los valores de x tales que |x− 2| < 4. Solución Se usará la propiedad |y| < ϵ si y solo si − ϵ < y < ϵ. Sustituyendo los datos correspondientes se obtiene: | x︸ ︷−︷ 2︸ | < ︸︷4︷︸ si y solo si − 4 < x− 2 < 4 y ϵ sumando 2 a cada término en la desigualdad −4 + 2 < x− 2 + 2 < 4 + 2 si y solo si − 2 < x < 6. El conjunto solución es el intervalo (−2, 6). Ejemplo 2.19.2. Desigualdad Hallar el conjunto solución de |3x− 5| > 25. Solución Se usará la propiedad |y| > ϵ si y solo si y > ϵ o y < −ϵ. Realizando la sustitución correspondiente se obtiene: | 3︸x︷−︷ 5︸ | > ︸2︷5︷︸ si y solo si − 25 > 3x− 5 o 3x− 5 > 25 y ϵ −25 + 5 > 3x− 5 + 5 o 3x− 5 + 5 > 25 + 5 −20 > 3x o 3x > 30 −20 30 > x o x > = 10 3 3 El conjunto solución es entonces (−∞,−20) ∪ (10,∞). Ver con click aquí o consulte 3 el código QR al final del libro video. 143 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Operaciones con el valor absoluto Si x y y son dos números reales y n es un entero positivo, entonces las si- guientes expresiones son verdaderas: 1. −|x| ≤ x ≤ |x| x ≤ −n 2. |x| ≤ n si y solo si −n ≤ x ≤ n 4. Desigualdad triangular: |x+y| ≤ 3. n ≤ |x| si y solo si n ≤ x o |x|+ |y| Ejercicios 22. Desigualdad con valor absoluto. Utilice las propiedades de valor absoluto para resolver cada desigualdad: 1. |5x− 8| < 5 6. |3− x| > −2 2. |x+ 3| > 4 7. |x− 4|+ 3 ≤ 0 3. |2x+ 1| < 3 1 4. 1 ∣∣∣∣ − 2|x∣ + 1| ≤ 0 8. − |3− 2x|+ 3 ≥ 15 3 5. 2− x ∣∣∣ ∣ ∣− 1 ≥ 0 9. ∣∣x ∣4 − 5∣ ≤ 04 2.20. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 2.20.1. Ecuaciones exponenciales Para resolver las ecuaciones exponenciales, se agrupan las expresiones que tienen las potencias, se factorizan las potencias y se aplican las propiedades de logaritmo para despejar x : Ejemplo 2.20.1. Ecuación Hallar el valor de x en ex+1 = 2. Solución 144 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ex+1 = 2 ln(ex+1) = ln(2) x+ 1 = ln(2) x = ln(2)− 1 Ver vídeo. dando click aquí o consulte el código QR al final del libro y Ver guía click aquí Ejemplo 2.20.2. Ecuación Resuelva para x cuando sea posible. (a) 22x −2x+5 = 5 (b) e x − e−x 3 = . 2 Solución (a) x22 −2x+5 = 5 x2 − 2x+ 5 = log2 5 x2 − 2x+ 5− log2 5 = 0 esta es una ecuación cuadrática con soluciones √ −(−2)± (−2)2 − 4(1)(5− log x = 2 5) 2(1) lo cual da dos soluciones imaginarias conjugadas porque (−2)2 − 4(1)(5 − log2 5) < 0. (b) 145 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ponga u = ex entonces la ecuación queda en la forma u2−6u−1 = 0. Las soluciones − vienen dadas por(2)(3) = ex − e x √ x − 1 −(−6)± (−6) 2 − 481)(−1) 6 = e x u =e 2(1) (ex)2 − 1 √ √ 6 = 6± 40 6± (4)(10) ex = =2 2 6ex = (ex)2 − 1 √ √ 6± 2 10 2(3± 10) 0 = (ex)2 − 6ex − 1. = = √2 2 = 3± 10 √ √ Entonces ex = 3 + 10 o ex = 3− 10. Observe que la segunda opción no es posible ya que se tendría un valor de la√exponencial negativo. De la primera opción se tiene entonces que x = ln(3 + 10). Verificando √ √ ex − e−x eln(3+ 10) − e−ln(3+ 10) = 2 2 √ − 13 + 10 √ 3 + 10 = √ 2 (3+ 10)2√ −1 = 3+ 10 2√ 9 + 6 10 = √+ 10− 1 2(3√+ 10) √ 18 + 6√ 10 6(3 + 10)= = √ = 3 2(3 + 10) 2(3 + 10) Ejemplo 2.20.3. Ecuación Hallar el valor de t si: 10e−0.5ta) b) 10e rt 2 = − 5 =10 + 51(e 0.5t − 1) 10 + 10(ert − 1) 146 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Solución a) 10e−0.5t 2 = 10 + 51(e−0.5t − 1) 2(10 + 51(e−0.5t − 1)) = 10e−0.5t 20 + 102(e−0.5t − 1) = 10e−0.5t 20 + 102e−0.5t − 102 = 10e−0.5t 102e−0.5t − 10e−0.5t = −20 + 102 e−0.5t(102− 10) = 82 e−0.5t92 = 82 e−0.5t 82 4 = = 92( 4)16 − 410.5t = ln 46 ( ) ( ) 1 t = ln 41 − ln 41= 2 ≈ 0.2301 −0.5 46 46 b) 10ert 5 = 10 + 10(ert − 1) ert 5 = 1 + ert − 1 ert 5 = ert 5 = 1 Debido a que se tiene una inconsistencia, se concluye que no existe solución. Ver vídeo con click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 2.20.4. Ecuación Hallar el valor de t 100 = P ekt 1 0 + (e kt − 1) k 147 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Solución 1 100 = P kt0e + (e kt − 1) k 1 100 = P e(kt + ekt)− 10 k k 1 1 100 = ekt(P0 + −k) k 1 100 + = ekt 1 P0 + k k kt 100k + 1e = kP(0 + 1 ) ln kt ln 100k + 1(e ) = ( kP0 + 1 ) ln 100k + 1(ekt) = ln( kP0 + 1 ) 100k + 1 kt = ln (kP0 + 1 ) 1 ln 100k + 1t = k kP0 + 1 Ver vídeo con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ejemplo 2.20.5. Ecuación Hallar el valor de x, e2x + 2 = 3ex. Solución e2x + 2 =3ex e2x − 3ex + 2 =0 Ahora se reemplaza ex por y, esto es y = ex y y2 = (ex)2 = e2x generando una nueva ecuación y2 − 3y + 2 = 0. Resolviendo para y, se tiene: y2 − 3y + 2 =0 (y − 2)(y − 1) =0 148 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Así, se tiene las dos opciones y − 2 = 0 o y − 1 = 0, de donde y = 2 o y = 1. Reto- mando la sustitución inicial de y = ex se puede determinar el valor correspondiente de x. Si ex = 2 entonces x = ln(2). Si ex = 1 entonces x = 0. 2.20.2. Ecuaciones logarítmicas Ejemplo 2.20.6. Ecuación Hallar el valor de x tal que log(x+ 1) = 2. Solución Primero note que se debe tener que x+ 1 > 0 y que por tanto el valor de x debe ser mayor que −1. Por otro lado como no se indica base del logaritmo, se entiende que la base es 10, es decir, log(x+ 1) = log10(x+ 1). Como log(x+ 1) = 2 se debe tener que x+ 1 = 102 es decir x+ 1 = 100 de donde se concluye que x = 100− 1 = 99. Este valor de x es solución de la ecuación porque es mayor que −1. Ver vídeo con click aquí o consulte el código QR al final del libro Ejemplo 2.20.7. Ecuación Halle el valor de x tal que ln(x2 − x) = 1 . 2 Solución Primero observe que x2 − x debe ser mayor que cero, es decir, x2 − x > 0. Lo cual produce una desigualdad que debemos resolver para hallar los valores plausibles de x. x2−x = x(x−1) > 0. Se hace entonces el análisis de signo de los factores x y x+1. ⊕ ⊕ x > 0 0 1 ⊕ x− 1 > 0, x > 1 0 1 ⊕ ⊕ x(x− 1) 0 1 149 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Se deduce entonces que los valores posibles para x están en la unión de los inter- valos (−∞, 0) y (1,∞). Por otro lado, la ecuación ln(x2 − x) = 1 implica 2 x2 1 − x = e 2 . Como 1e 2 = 1.64.87 se obtiene la ecuación cuadrática x2 − x − 1.6487 = 0 que puede resolverse usando la fórmula general con a = 1, b = −1 y c = −1.6487. √ √ −b± b2 − 4ac −(−1)± (−1)2 − 4(1)(−1.6487) x = = 2a 2(1) de donde se obtienen dos soluciones x = −0.8779, x = 1.87793. Ambas soluciones de la ecuación cuadrática caen en el conjunto (−∞, 0) y (1,∞) y por tanto ambas son soluciones de la ecuación original ln(x2 − x) = 1 . 2 Ejemplo 2.20.8. Ecuación Hallar el conjunto de posibles soluciones reales para la ecuación √ log(−3x3 + 4x2 − x) = 2. Solución Primero se hallan los valores posibles para x. Se debe cumplir que−3x3+4x2−x > 0. Factorizando la expresión se obtiene −3x3 + 4x2 − x = x(−3x2 + 4x− 1) = (−3x+ 1)(x− 1)x > 0. Haciendo el análisis de signo para los factores 150 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1 0 3 1 ⊕ ⊕ − , −1 13x+ 1 > 0 x < = −3 3 ⊕ x− 1 > 0, x > 1 ⊕ ⊕ ⊕ x > 0 ⊕ ⊕ (−3x+ 1)(x− 1)x Las posibles soluciones reales de la ecuación están en (−∞, 0) ∪ (1 , 1). 3 Ejemplo 2.20.9. Ecuación Hallar las soluciones reales de la ecuación log(2x+ 1) + log(−3x+ 4) = −1. Solución Primero se halla el conjunto de las posibles soluciones. Se debe cumplir que 2x+1 > 0 y −3x+ 4 > 0. De la primera restricción De la segunda restricción 2x+ 1 > 0 −3x+ 4 > 0 2x > −1 −3x > −4 −1 −4 4 x > x < = 2 −3 3 −1 4 2 3 (Se conc)luye entonces que las posibles soluciones están en −1 4, . 2 3 151 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Ahora procederemos a resolver la ecuación. Expresando todo como un solo logarit- mo se tiene log(2x+ 1) + log(−3x+ 4) = log((2x+ 1)(−3x+ 4)) = −1. Lo que en notación exponencial significa (2x+ 1)(−3x+ 4) = 10−1. Debemos resolver entonces la ecuación −6 x2 + 5 x+ 4 = 0.1 o − 6 x2 + 5 x+ 3.9 = 0. Resolviendo la ecuación anterior usando la fórmula general se obtienen las solucio- nes x = −0.49086355933747, x = 1.324196892670799. Vemos que las dos soluciones caen en el intervalo de soluciones posibles, por tanto estos dos valores son soluciones de la ecuación original. Ejemplo 2.20.10. Ecuación Resolver 7log7(5) − 6log3(2) = 5log5 x−log5 x2 . Solución 7log7(5) − 3log3(2) 2= 5log5 x−log5 x log ( x5− 2 = 5 5 x2 ) x 1 3 = = x2 x 1 = x. 3 Ejercicios 23. Determine los siguientes logaritmos: 152 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.20. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 1. log2(4) 4. log(1000) 7. log 1 (100) 3 2. log3(9) 5. log √ 2(0.8) 8. log 33 81 √ 3. log2(32) 6. log7( 7) 9. log3 log5 125 Usando las propiedades de los logaritmos, solucione cada ecuación: 10. log x+ log 20 = 3 14. log(4x− 1)− log(x− 2) = log 5 11. log(x+ 1) = log(x− 1) + 3 15. log(2x2 + 3) = log(x2 + 5x− 3) 12. log x− log(x+ 6) = 0 16. log(16− x 2) 13. 2 log x− log(x+ 6) = 0 = 2log(3x− 4) Determina el valor de las variables en las siguientes expresiones: 10. log x = log 5− log 2 16. log(2x) = log 32− log x 11. 1 + 2 log x = 3 17. 4 log3(2x− 5) = log3 81 12. ln(x) = 2 ln(3) 18. log (x22 + x+ 2) = 2 13. 23 log x = −9 19. log 3x + 53 2 = 3√ 2x+ 1 14. log 23(3 3) = x 20. log x+ log y = 3 15. log x+ log 30 = 1 x− 3y = 70 Resuelva las siguientes ecuaciones y verifique: 21. a2x+1 = a3x+2 31. 22xx −1 = 8 22. 33x = 2187 32. 3x9x = 93 23. 25x−7 = 512 33. 25−x2 = 1 16 24. −81 = (−3)3x−5 √34. 5x+3 = 125 25. 3x = 27 35. 3x+1 + 3x + 3x−1 = 39 26. 7x+1 = 1 36. 2x+1 + 2x + 2x−1 = 28 27. 5x−1 = 25 37. 2x + 4x = 80 28. 2x = 1 8 38. 2x 1+ x− = 52 29. 2x+1 + 2x + 2x−1 = 14 2 3 30. 62x x−1= 1296 39. 5 = 2 + 5x−2 153 2.21. INTERPRETACIÓN DE TEXTOS MATEMÁTICOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS Use WxMaxima para la solución de los ejercicios anteriores y compárela con sus resultados. Dar click aquí o consulte el código QR al final del libro. 2.21. Interpretación de textos matemáticos En nuestra interacción con el mundo se usan descripciones verbales y escritas de las cosas. Las escritas pueden estar descritas en el lenguaje cotidiano, de manera sim- bólica o gráfica o una combinación de ellas. Parte del éxito en las ciencias radica en la capacidad de poder moverse fluida- mente entre estas maneras de expresar nuestros pensamientos. Adquirir la competencia lectora en Ciencias Exactas y Naturales implica ha- ber adquirido la capacidad de expresar el mismo pensamiento de las diversas maneras señaladas anteriormente. En este curso se abusará un poco del lenguaje. Se dirá, por ejemplo, que un enun- ciado está en forma verbal si está escrito en su mayoría en lenguaje usual. Para tener en cuenta Para tener éxito en la solución de problemas es “ necesario” tener la capaci- dad de expresar enunciados descritos en forma verbal a la forma simbólica y viceversa. ¡Hay que dedicarle tiempo al desarrollo de esta habilidad!. Expresar en forma simbólica: El producto de tres números naturales consecutivos. El cubo de un número natural menos su cuadrado. La diferencia de dos números naturales multiplicada por su suma. El precio de una mezcla de 200Kg donde m kilogramos son de un producto A a 55000 pesos por kilogramo y el resto son de un producto B a 40000 pesos por kilogramo. El uso que se hace de las funciones en las ciencias tiene, por lo general, como finali- dad establecer relaciones cuantitativas de los diversos componentes que intervienen en un fenómeno o proceso. Por ejemplo El número de individuos de una población puede crecer o decrecer en el tiem- po. ¿De qué factores depende? ¿Puede estimarse en número de individuos en el tiempo dado? 154 CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 2.21. INTERPRETACIÓN DE TEXTOS MATEMÁTICOS Dos sustancias químicas se combinan para generar un producto. ¿Cómo es la dependencia de la cantidad de producto generado de las sustancias que reac- cionan?¿Puede determinarse la cantidad de producto conociendo la cantidad de las sustancias que reaccionan? Se tienen dos estructurasmatemáticas. ¿Existe alguna relación entre ellas?¿Puede determinarse su similitud? Sean a, b, x números. Escribir en forma algebraica las siguientes expresiones. Expresión Forma algebraica El número siguiente de a a+ 1 El número anterior a a a− 1 Seis veces el número b 6b El cuadrado del número x x2 El cubo de x mas el doble de b x3 + 2b Cinco veces a más tres veces b menos ocho 5a+ 3b− 8 La mitad de a más tres veces el cuadrado de b menos ax + 3b2 − x 2 Doce veces x disminuido en cinco 12x− 5 El producto de a y siete veces x a(7x) x dividido entre el doble de a más un tercio de x 1b + b 2a 3 Cuadro 2.1: Expresión vs álgebra Ejercicios 24. La edad actual de Humberto es x y la edad de Juan es a, expresar en forma alge- braica: 1. Las suma de las edades de Humberto y Juan. 2. La diferencia de las edades de Humberto y Juan. 3. Tres veces la edad que tendrá Humbero durante cinco años. 4. Tres veces la edad de Humberto hace 10 años. 5. Cinco veces la edad de Humberto y Juan. Exprese en forma algebraica los siguientes enunciados: 6. El área a de un cuadrado de lado l. 7. El área de un rectángulo, de base b y altura h. 155 2.21. INTERPRETACIÓN DE TEXTOS MATEMÁTICOS CAPÍTULO 2. SISTEMAS NUMÉRICOS 8. El área de un triángulo, de base b y altura h. 9. Los días que hay en k semanas. 10. Los huevos que hay en m docenas. 11. Los días que hay en m años. 12. Los kilómetros recorridos en t horas a una velocidad de 10 kilómetros por hora. 13. Las horas que hay en p minutos. 14. El precio de un artículo si a artículos cuestan b pesos. 15. La suma de las cinco primeras potencias de x. 16. El producto de las cinco primeras potencias de a. 17. Los metros que hay en k kilómetros. 18. La diferencia del producto de a y b, y x. 19. El cociente entre a y la diferencia entre b y x. 20. El duplo del cuadrado de la suma de a y b. 21. El cociente del cuadrado de la suma de a y b, y x. 22. El doble de a más b. 23. El doble de a, más b. 24. La suma de los cuadrados de a, b y x. 25. El cuadrado de x menos el cuadrado de la suma de b y x. 156 Capítulo 3 Relaciones y funciones 3.1. Relaciones definidas en los reales Enmatemáticas las funciones tienen importancia por el mero hecho de ser funciones, mientras que en las aplicaciones su importancia se clasifica de acuerdo a la utilidad que prestan como herramienta de modelación. Una misma función puede utilizarse para describir diversos fenómenos. El cálculo es uno de los logros supremos del intelecto humano. Esta disciplina mate- mática deriva principalmente de las investigaciones hechas por Isaac Newton (1642- 1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) alrededor del siglo XVII. Sin embargo, algunas de sus ideas datan de la fecha de la época de Arquímedes (287-212 a.c.) y se originó en culturas tan diversas como las de Grecia, Egipto, Babilonia, India, China y Japón. Muchos de los descubrimientos científicos que han dado forma a nuestra civilización durante los últimos tres siglos habría sido imposible sin el uso del cálculo. El principal objetivo del cálculo es el análisis de los problemas de cambio (de mo- vimiento por ejemplo) y de contenido (el cálculo del área y el volumen, por ejem- plo). Estos problemas son fundamentales, ya que vivimos en un mundo de cambio incesante, lleno de cuerpos en movimiento y fenómenos de flujo y reflujo. En con- secuencia, el cálculo sigue siendo un tema vibrante, y hoy este cuerpo de técnica computacional continúa sirviendo como el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia y la tecnología. La palabra “función” fue introducida en Matemáticas por Leibniz, que utilizaba este término para designar cierto tipo de fórmulas matemáticas. Más tarde se vio que la idea de función de Leibniz tenia un alcance muy reducido, y posteriormente el significado de la palabra función fue experimentando generalizaciones progresivas. La mayoría de las aplicaciones del cálculo implican el uso de los números reales o variables para describir el cambio de cantidades. La clave para el análisis matemá- 157 3.1. RELACIONES DEFINIDAS EN LOS REALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES tico de una situación geométrica o científica es típicamente el reconocimiento de las relaciones entre las variables que describen la situación. Tal relación puede ser una fórmula que expresa una variable como una función de otra. Por ejemplo: + El áreaA de un círculo de radio r está dada porA = πr2. El volumen V y el área superficial S de una esfera de radio r están dadas por V = 4πr3 y S = 4πr2, 3 respectivamente. + Después de t segundos (s) un cuerpo que ha sufrido una caída desde el reposo ha caído a una distancia s = 1gt2 en pies (ft) y tiene una velocidad v = gt pies 2 por segundo (ft / s), donde g = 32ft/s es la aceleración gravitacional. + El volumen V (en litros, L) de 3 gramos (g) de dióxido de carbono a 27◦C se da en términos de su presión p en atmósferas (atm) por V = 1, 68/p. + Las equivalencias entre las dos escalas de medir temperaturas viene dadas por Fahrenheit a Celsius : ◦C = (◦F − 32)÷ 1.8 Celsius a Fahrenheit : ◦F = (◦C × 1.8) + 32. Definición 3.1.1: Relación Una relación real R definida en un subconjunto D de números reales es una regla que asigna a un número x en D un número real en un conjunto D′ de números reales, que se denota por R(x) = {(x, y) : x se relaciona con y}. Ejemplo 3.1.1. Relación Sea el conjunto A = {a, b, c, d} y el conjunto B = {1, 2, 3}, establezca cuatro relaciones del conjunto A al conjunto B. Solución R(x) = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} R(x) = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)(d, 1)} R(x) = {(a, 1), (b, 2)} R(x) = {(c, 1), (c, 2), (b, 2)}. También podemos definir relaciones como: un número real con su cuadrado, es decir R(x) = {(x, y) : y = x2}. √ Algunos elementos de este conjunto son (2, 4), ( 2, 2), (4, 16), ... El papel que juegan las representaciones en la construcción del conocimiento es fundamental, por lo que una relación puede tener distintas representaciones; esta puede ser verbal, algebraica, tablas y gráficos. 158 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.1. RELACIONES DEFINIDAS EN LOS REALES a) Forma verbal: Se describe la relación en el lenguaje común lo más preciso posible, como por ejemplo “un número real es igual al cuadrado de otro más cinco”. b) Forma algebraica: Tomando la expresión anterior, le corresponde la ecuación algebraica siguiente: y = x2 + 5. c) Forma en tabla:Se organiza un arreglo rectangular ya sea vertical u horizontal, en donde en el primer arreglo se ubican algunos valores para x y en el segundo arreglo se ubican los valores de y. Téngase presente que una tabla solo nos proporciona algunos valores de la relación y tomando la relación inicial se tiene: x y = x2 + 5 -2 9 -1 6 x -2 -1 0 1 2 0 5 y = x2 + 5 9 6 5 6 9 1 6 2 9 d) Forma gráfica: Aprovechando las dos formas anteriores y localizando en el plano cartesiano los puntos de la tabla y uniendo con lineas continuas cada punto en el orden secuencial de las x, se bosqueja la relación. 159 3.2. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES y 9 6 x -2 -1 0 1 2 y = x2 + 5 9 6 5 6 9 5 y = x2 + 5 1 −2 −1 0 1 2 x Nota 1. Entre mayor sea el número de puntos calculados en la tabla el gráfi- co sera mejor, algunas veces esta forma puede conducir a errores si no son elegidos adecuadamente los puntos. H D R(x) D′ a b c z 3.2. Funciones y sus gráficas Una función es una regla que describe un tipo de relación que existe entre dos can- tidades en la cual una depende del comportamiento de la otra, como por ejemplo, el espacio que recorre una piedra cuando se deja caer de cierta altura, vemos que 160 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.2. FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS esta guarda una relación con el tiempo, que a mayor tiempo que demore en el aire, mayor será la distancia que recorre en el descenso. Cuando se plantean problemas que involucran cantidades que guardan alguna re- lación y se requiere construir una representación simbólica matemática, con el fin de representar las relaciones pertinentes, estas pueden ser gráficos, curvas, tablas, fórmulas, entre otras. El realizar estas interpretaciones es de vital importancia para tomar decisiones ante la predicción de resultados. El concepto de función es muy importante en las matemáticas por ser una forma muy natural de describir los fenó- menos de la realidad, por tal motivo podemos decir que las funciones nos rodean en nuestro vivir diario, desde la relación que existe en el consumo del agua con respecto al valor a cancelar, la edad de cada persona, su estatura o su número de identificación, los códigos de barra de los diferentes productos en un centro comer- cial, la velocidad promedio con que se transporta en un servicio de bus urbano, el crecimiento de una planta con respecto a los nutrientes, la tasa de interés anual con respecto a los años transcurridos, y asi se pueden citar múltiples ejemplos de nuestro vivir. Definición 3.2.1: Función Dados dos conjunto A y B cualesquiera, una función es una regla que asig- na a cada elemento x del conjunto A un único elemento y del conjunto B. Al elemento y se le llama imagen de x y al elemento x se le llama preimagen de y. Al conjuntoA se le llama conjunto de partida o dominio de la función y al conjun- to B se le llama conjunto de llegada o codominio. Al conjunto de las imágenes de elementos de A se le llama rango. Si f es una función definida de un conjunto A a un conjunto B, entonces a la imagen de x también se le llama f(x) y se usan las siguientes notaciones para la función f de A en B, x 7→ ff(x) , A → B o y = f(x). Ejercicios 25. Funciones Gráficar las siguientes funciones: 1. x = 0 3. y = x 5. 1y = − 1 2 2. x = −5 4. y = −2x− 1 6. y = 2x Representa las siguientes funciones lineales sabiendo que: 7. Tiene pendiente −3 y ordenada en el origen −1. 8. Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (−3, 2). 9. Pasa por los puntos A(−1, 5) y B(3, 7). 161 3.3. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 10. Pasa por el punto P(2,−3) y es paralela la recta de ecuación y = −x+ 7. Ver guía de Gráfica de funciones, con click aquí o consulte el código QR al final del libro. 3.3. Dominio y rango de funciones reales El conjunto D de todos los números para los que f(x) se define recibe el nombre de dominio (o dominio de definición) de la función f. El número f(x), lee “f de x”, se denomina valor de f en el número (o punto) x. El conjunto de todos los valores de y = f(x) se llama el rango de f. Es decir, el rango de f es el conjunto {y : y = f(x)} para algún x en D. En esta sección nos ocuparemos más del dominio de una función que de su rango. Cuando se describe la función f escribiendo una fórmula y = f(x), a x se le llama variable independiente y a y variable dependiente porque el valor de y depende, a través de f , de la elección de x. A medida que la variable independiente x, cambia o varía, lo mismo podría ocurrir con la variable dependiente y. La forma en que se y varía depende de la regla de asignación de la función f. La idea de función se puede ilustrar esquemáticamente de muchas maneras. Por ejemplo, en la figura 3.1a los conjuntos D e Y son sendos conjuntos de puntos, y una flecha indica cómo se asocia un punto arbitrario x deD con su punto imagen f(x) de Y. Otro esquema es el de la figura 3.1b donde la función f se imagina como una máquina en la cual los objetos del conjunto X se transforman para producir objetos del conjunto Y. Cuando un objeto x es transformado por la máquina. El resultado final es el objeto f(x). x • f • y x D Y f(x) (a) (b) Figura 3.1: Esquema de representación de una función Dominios e intervalos 162 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.3. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES La función f y el valor o la expresión f(x) son diferentes en el mismo sentido que una máquina y su salida no son lo mismo. Es decir, la maquina tiene incorporada el conjunto de instrucciones necesarias para hacer la transformación pero necesita que se le incorporen los insumos necesarios para que haga su trabajo y produzca la salida. Sin embargo, es común el uso de una expresión como “la función f(x) = x2” para definir una función meramente escribiendo una expresión que la define. En esta situación no se especifica el dominio de la función. Entonces, por convención, el dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales para los que la expresión f(x) tiene sentido y produce un número real y, por ejemplo, el dominio de la función f(x) = 1/x es el conjunto de todos los números reales no nulos (porque 1/x se define precisamente cuando x =6 0). Ejemplo 3.3.1. Dominio de una función √ Determine el dominio de la siguiente función: f(x) = 3x(2− 2x). Solución El dominio son todos los números reales, cualquier número puede ser evaluado en la función generando un y. Ejemplo 3.3.2. Dominio de una función Determine el dominio de la siguiente función xf(x) = . x2 − 9x Solución En este caso vemos que el denominador contiene a x, por lo que debemos buscar que valores generan cero en el denominador, esto es x2 − 9x = 0, factorizando se tiene x(x− 9) = 0. Así, se genera cero si x = 0 o x = 9, de donde se concluye que estos valores no los puede tomar x, por tanto el dominio de f son todos los números reales a excepción de x = 0 y x = 9. Ejemplo 3.3.3. Dominio de una función √ 2 Determine el dominio de la siguiente función x − 5f(x) = . x2 − 16 Solución En primera instancia se contempla que el denominador x2 − 16 no puede ser cero y como toda la fracción esta dentro de una raíz, esta debe ser mayor que cero: x2 − 5 ≥ 0. x2 − 16 163 3.3. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Resolviendo esta desigualdad se obtiene: √ ⊕ ⊕ x− 5 √ ⊕ ⊕ ⊕ x+ 5 ⊕ x− 4 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ x+ 4 √ √ −4 − 5 5 4 ⊕ ⊕ ⊕ f(x) De tal manera que el dominio de f(x)[es√ √ ] (−∞,−4) ∪ − 5, 5 ∪ (4,∞). Una función puede estar definida a trozos. Es decir dependiendo del valor de x en un intervalo la función puede estar definida de diferente manera. Ver vídeo con click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 3.3.4. Función por parte−3− 2x, si − 4 ≤ x < 0. 1, si x = 0f(x) = √3, si 0 < x < 2 x− 2, si x ≥ 2. Aquí el dominio se encuentra especificado a la derecha de cada parte definida de la función f(x). Algunas reglas de la función están dadas por una descripción verbal, antes que una fórmula. Función parte entera Se define la parte entera de x, notada bxc, como el mayor entero que es menor o igual que el número x. Otra notación alternativa para la función parte entera es [[x]]. Halle b−1.5c, b−2c, b2c, b1.2c. La gráfica ilustra los enteros que son menores o iguales a −1.5 164 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.3. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES −1.5 −4 −3 −2 −1 Se puede observar que del conjunto de todos los enteros que son menores o iguales a −1.5, es decir, {· · · ,−4,−3,−2} el mayor es −2. Así, b−1.5c = −2. La gráfica ilustra los enteros que son menores o iguales a −2 −2 −4 −3 −1 Se puede observar que del conjunto de todos los enteros que son menores o iguales a −2, {· · · ,−4,−3,−2}, el mayor de estos números es −2. Así, b−2c = −2. La gráfica ilustra los enteros que son menores o iguales a 2 2 −4 −3 −2 −1 0 1 3 Se puede observar que del conjunto de todos los enteros que son menores o iguales a 2, {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2}, el mayor de estos números es 2. Así, b2c = 2. La gráfica ilustra los enteros que son menores o iguales a 1.2 1.2 −3 −2 −1 0 1 Se puede observar que de todos los enteros que son menores o iguales, {· · · ,−4,−3,−2,−1, 0, 1}, el mayor es 1. Así, b1.2c = 1. En general si x es un número entero, la parte entera de x es el mismo número. Si el número es positivo y tiene parte decimal, simplemente réstele la parte decimal y el resultado es la parte entera. Si el número es negativo, la parte entera es el entero negativo que está antes del número dado. La función parte entera también se conoce como la función piso. 165 3.3. DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Función cielo Análoga a la función piso se define la función cielo, notada dxe, y es el menor entero “que no es menor que” el número x. Ejemplo 3.3.5. Función cielo Determine el cielo de d1.2e. Solución La representación gráfica de 1.2 en la recta real es la siguiente: 1.2 1 2 3 4 Se puede observar que de todos los enteros que no son menores a 1.2, los cuales son, {2, 3, 4, 5, · · · }, el menor es 2. Así, d1.2e = 2. Función de franqueo postal En 1997 el costo de una carta en correo de primera clase en Estados Unidos era de 32 centavos para la primera onza y 23 centavos por cada onza adicional o fracción. Para una carta que pese w > 0 onzas el número de onzas adicio- nales (incluyendo fracciones de onzas como una) es dwe − 1. Por lo tanto el precio de envió de la carta es s(w) = 32 + 23(dwe − 1) = 9 + 23dwe. En el cálculo elemental se estudian funciones cuyos dominios son subconjuntos de números reales y sus valores son números reales. Ejercicios 26. Determinar dominio y rango de las siguientes funciones : 1. 3 2f(x) = x+ 3 6. x− 1f(x) = − 10. x + 3x + 2x f(x) = 2x 3 x2 + 3x+ 2 2. f(x) = x2 + 2x− 3 2 7. x − 1f(x) = 11. f(x) = log(x+ 2) 3. f(x) = −x2 +5x− 4 x− 1 4x2 + 4 12. f(x) = log(x 2 − 4) 4. f(x) = x3−6x2+8x 8. f(x) = 2x2 − 8 13. f(x) = [[2x− 5]]. 5. x+ 2 4x 2 + 4 f(x) = − 9. f(x) =x 3 2x2 + 8 14. f(x) = [[x 2]]x. 166 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES Desarrolle las gráficas de los casos anteriores y compare en la guía de gráficas de funciones. Click aquí 3.4. Gráfica de funciones Una manera de visualizar funciones es mediante su gráfica. Gráfica de una función Si f es una función con dominio D ⊆ R, su gráfica consiste en los puntos del plano cartesiano cuyas coordenadas son los pares de entrada-salida de f , es decir, es el conjunto de puntos (x, f(x)) para x en el dominio de f, graficados en el plano. La gráfica de una función es un dibujo muy útil que describe su comportamien- to. Si (x, y) es un punto de la gráfica, entonces y = f(x) es la altura de la gráfica por encima del punto (x, 0) si f(x) es positivo o por debajo de (x, 0) si f(x) es negativo.. Usando la guía15 de WxMaxima podemos avanzar de forma fácil en los trazos de algunas funciones, dejando como ejercicio al estudiante de indagar mas sobre el tema. Guía de Gráficas de funciones. click aquí o consulte el código QR al final del libro y = 4e−x 2 y = x+ 1 1 1 f(x) −1 −1 x Haga una tabla de valores escogiendo valores x y calculando los respectivos valores de y. Los valores de x deben tomarse en el dominio de la función. ¿Cuántos pun- tos se eligen? Los suficientes para tener una idea de la forma de la gráfica. Entre más puntos mejor. Luego trace una curva suave a través de los puntos gráficados. Identifique la curva con su ecuación. 167 ︸ ︷︷ ︸ 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 3.4.1. Gráfica de funciones √ Grafique f(x) = 3x(2− 2x). Solución x 0 0.5 1 1.5 2 y ( ) ( )( √ ( )) (f 0 ) = 3( 0 )2(− 2 (0 )) f(0) = 0√ f (0.5 ) = 3( 0.5)( 2− (2 0).)5 f(0.5) = 1.9394√ (f 1 ) = 3( 1 )2(− 2 (1 )) f(1) = 1.75736√ f (1.5 ) = 3( 1.5)( 2− (2 1).)5 f(1.5) = −0.54594√ f 2 = 3 2 2− 2 2 f(2) = −4.97056 Grafique los puntos (x, y) x f(x) = y 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2 0 0 0.5 1.93934 1 1.75736 1.5 -0.54594 2 -4.97056 168 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES A manera de ilustración se hará la tabla de valores con más puntos. x y 0 0 0.25 1.2348 0.5 1.93934 0.75 2.1135 1 1.75736 1.25 0.87087 1.5 -0.54594 1.75 -2.4931 2 -4.97056 (a) Tabla (b) Puntos (c) Unión de puntos √ Figura 3.2: Gráfica de la función f(x) = 3x(2− 2x). Cuando una función está definida a trozos, la gráfica se intenta hacer por partes tomando valores representativos en cada subintervalo en que se divide la función teniendo en cuenta los puntos de división de los subintervalos. Para asegurarnos del comportamiento cerca de los puntos de división se aconseja tomar valores cercanos a dichos puntos. Ver vídeo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro Ejemplo 3.4.2. Gráfica de funciones Haga la gráfica de la función siguiente: −3− 2x, si − 4 ≤ x < 0.1, si x = 0 f(x) = 3√, si 0 < x < 2 x− 2, si x ≥ 2. Solución Observe que para los x que son mayores o iguales a −4 pero menores que cero (−4 ≤ x < 0) la función se define como f(x) = −3 − 2x. Para x = 0 la función está definida como f(x) = 1. Para todos los x mayores que cero pero menores que 2 (0 < x < 2) la función se define como f(x) = 3 y para los x mayores o iguales a 2 169 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES √ (x ≥ 2) la función se define como f(x) = x− 2. Lo puntos de división son entonces −4, 0 y 2 que deben incluirse entre los valores para hacer la tabla. x f(x) 5 -4 5 -3.5 4 4 -3 3 f(x) = 3 -2 1 3 -1 -1 √ − 2 -0.5 -2 x2 x) = -0.05 -2.9 f( 0 1 1 0.01 3 0.1 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1.99 3 2 0 -1 2.01 0.1 2.5 0.7 -2 3 1 4 1.14 -3 5 1.73 -4 Ejemplo 3.4.3. Gráfica de funciones Gráfique la función f(x) = 5, en el dominio 1 ≤ x ≤ 4. Solución A continuación se presenta un bosquejo de la gráfica. 5 Como la función es constante, basta tomar los puntos en los ex- tremos, es decir en 1 y 4, mante- niendo un segmento horizontal de 1 4 longitud de 3 y con altura de 5. Ejemplo 3.4.4. Gráfica de funciones Hallar la gráfica de f(x), definida{como sigue: 3, si x ∈ [−2, 1] f(x) = 7, si x ∈ (1, 4] limitada por las rectas x = −2, x = 4 y el eje x. 170 − 2x3 ) = − f(x CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES Solución El bosquejo de la gráfica es como sigue: 7 La gráfica en cuestión se muestra en la fi- gura. Se ha dividido en dos subregiones 3 por la línea x = 1. Queda dividida en dos rectángulos. −2 1 4 Ejemplo 3.4.5. Gráfica de funciones Dibuje la gráfica f(x) = 2x+ 1 en [0, 2]. Solución 5 La función es lineal. Basta ubicar dos pun- tos para trazar su gráfica. Para x = 0, f(0) = 2(0) + 1 = 1, así un punto es (0, 1). Para x = 2, f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5. Otro punto es (2, 5). Un bosquejo de la región se muestra en la 1 figura de la izquierda. 2 Ejemplo 3.4.6. Gráfica de funciones Grafique la curva f(x) = −|x− 2|+ 5, −1 ≤ x ≤ 6. Solución Primero observe que { x− 2, si x− 2 ≥ 0 |x− 2| = −(x− 2), si x− 2 < 0, 171 2x+ 1 3.4. GRÁFICA DE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES es decir, { x− 2, si x ≥ 2 |x− 2| = . −(x− 2), si x < 2. Al reemplazar los valores de |x− 2| de{acuerdo a los valores de x queda que −(x− 2) + 5, si x ≥ 2 f(x) = −|x− 2|+ 5 = −(−(x− 2)) + 5, si x < 2, o { −x+ 7, si x ≥ 2 f(x) = −|x− 2|+ 5 = x+ 3, si x < 2. Como se debe graficar f(x) en [−1, 6] entonces se grafican los trozos x + 3 en el subintervalo [−1, 2) y −x + 7 en [2, 6]. La Figura 3.3 muestra la gráfica la cual se ha divido en dos partes por la linea x = 2. 5 −x+ 7 x+ 3 2 1 −1 2 6 Figura 3.3: Gráfica de f(x) = −|x− 2|+ 5 del ejemplo 3.4.6 Interceptos El intercepto con el eje y (si lo hay) viene dado por el punto (0, f(0)) y los inter- ceptos con el eje x (si existen) están ubicados donde f(x) = 0. Los interceptos con el eje x también se llaman ceros de la función. Ejemplo 3.4.7. Gráfica de funciones Grafique los inteceptos de la función f(x) = x2 − 2. 172 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.5. TIPOS DE FUNCIONES Solución f(x) = x2 − 2 En√estos pun√tos podemos observar que √ √ f( 2) = f(− 2) = 0. − 2 2 Ver vídeo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro En la guía de gráficas de funciones. Click aquí podrá practicar el cálculo de las interceptaciones de las funciones con el eje x, si estas existen. Ejercicios 27. Grafique las siguientes funciones especificando su dominio: 1. f(x) = 2x2 8. f(x) = sen(x) 2. f(x) = 3x2 9. f(x) = sen(x) + x 3. f(x) = 5x2 10. f(x) = 2x 4. f(x) = x2 + 1 11. f(x) = sen(x) + 3x 5. f(x) = x2 + 3 3x− 2x2, 6. f(x) = 2x2 − 2x+ 1 12. f(x) = 3√, 7. f(x) = x5 +4x4 − x3 +5x2 − 3x+1  x+ 2, Grafique las siguientes funciones 11. y = (x− 1)2 + 1 14. y = −3(x− 2)2 − 5 12. y = 3(x− 1)2 + 1 15. y = x2 − 7x− 18 13. y = 2(x+ 1)2 − 3 16. y = 5(x+ 2)2 − 3 3.5. Tipos de funciones Existen muchos criterios para clasificar funciones. Aquí se usarán los siguientes Tipo de expresión que la define. 173 3.6. FUNCIONES SOBREYECTIVAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES • Constantes • Exponenciales • Lineal • Logarítmicas • Polinómica • Trigonométricas • Racional • Hiperbólicas Naturaleza del dominio, rango y unicidad de las imágenes • Inyectivas • Sobreyectivas • Biyectivas Comportamiento de los valores de la función • Crecientes • Decrecientes Una misma función puede pertenecer a varias categorías. Por ejemplo, una función puede ser lineal, inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, creciente. Cada categoría será descrita posteriormente con sus respectivas características. 3.6. Funciones sobreyectivas Definición 3.6.1: Función sobreyectiva Una función f : D → R es sobreyectiva si para todo elemento y en el codominio (conjunto de llegada o alcance) existe algún elemento x en el dominio tal que la imagen de ese elemento x es y, es decir, f(x) = y. Si llegara a existir un elemento en el codominio que no es la imagen de un elemento del dominio, la función no es sobreyectiva. Es de mucha ayuda tener claras las propiedades de los números reales para determinar si una función es sobreyectiva. Para determinar si una función es sobreyectiva se parte de un elemento del conjunto de llegada y se intenta construir un elemento del dominio, que queda generalmente en función del elemento escogido inicialmente, y cuya imagen es precisamente el elemento inicial elegido. Ejemplo 3.6.1. Función sobreyectiva Determine si la función f(x) = 3x+ 1 es sobreyectiva. 174 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.6. FUNCIONES SOBREYECTIVAS Solución Se toma un elemento arbitrario del conjunto de llegada que en este caso es R y se trata de hallar un elemento x del dominio tal que f(x) = y. Suponemos entonces que f(x) = y e intente ver que sería el valor x. Como f(x) = 3x + 1, entonces se debe tener que 3x + 1 = f(x) = y. De aquí se despeja x, 3x+ 1 = y 3x = y − 1 y − 1 x = . 3 Luego se verifica que efectivamente para este valor de x = y−1 se tiene f(x) = y. 3 Recordar que f(x) = 3x+ 1. ( ) ( ) y − 1 y − 1 f = 3( )+ 13 3 y − 1 = 3 = y − 1 + 1 = y. 3 Ejemplo 3.6.2. Función sobreyectiva Determine si la función f(x) = x2 es sobreyectiva. Solución Sea y en el codominio y suponga f(x) = y. Se explorará la posibilidad de construir este x, a partir de x2 = f(x) = y. x2 = y, x = ±y. Si √ √y > 0, f( y) = ( y)2 = y. Sin embargo se observa que la expresión √y no da valores reales para y < 0 de modo que para los valores y < 0 no existe un número real x tal que f(x) = y. Por tanto la función no es sobreyectiva Ejercicios 28. Determinar si las siguientes funciones son sobreyectivas: 1. f(x) = 2(x+ 1) 4. f(x) = x2 − 4x+ 2 7. f(x) = cos(x) √ 2. f(x) = 3x 5. f(x) = ln(x+ 2) 8. f(x) = x3 3. f(x) = tan(x) 6. f(x) = cos(x) 9. f(x) = |x+ 1| 175 3.7. FUNCIONES INYECTIVAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.7. Funciones inyectivas Una función siempre asigna a cada elemento del dominio una única imagen. No obstante es posible que varios elementos del dominio tengan la misma imagen. Por ejemplo para f(x) = x2 se tiene que −2 y 2 son puntos distintos del dominio que tienen la misma imagen, f(−2) = (−2)2 = 4 = 22 = f(2). Las funciones donde no ocurre lo anterior, es decir, las que asignan imágenes distintas a elementos distintos de su dominio reciben un tratamiento especial y se estudian a continuación. Definición 3.7.1: Función inyectiva Sea f una función. La función f es inyectiva si para todo x1, x2 de su dominio x1 =6 x2 se tiene f(x1) 6= f(x2). Una formulación equivalente a la definición 3.7.1 a la anterior es que f es inyectiva si f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. Si se encuentra un par de elementos distintos del dominio cuya imagen sea igual, la función no es inyectiva. La función f(x) = x2 no es inyectiva. Observe que si a es positivo se tiene que −a es negativo y a es distinto de −a. Las imágenes de estos puntos son f(a) = a2 = (−a)2 = f(−a). Gráficamente se puede ver que una función es inyectiva si toda la linea horizontal no corta a la gráfica en más de un punto. Si se encuentra una recta horizontal que corte a la gráfica en al menos dos puntos, la función no es inyectiva. La figura 3.4a ilustra una función no inyectiva y la figura 3.4b muestra una función inyectiva. f(x) = x2 f(x) = x3 (a) Función no inyectiva (b) Función inyectiva Figura 3.4: Criterio de la recta horizontal. Existen funciones que no son inyectivas en su máximo dominio de definición pero si lo son en un subconjunto adecuado. El máximo dominio de definición de f(x) = x2 son todos los reales. Si solo se toman los reales no negativos, es decir, [0,∞) como su dominio, la función es inyectiva. Igual sería inyectiva si se escogiera como dominio al intervalo (−∞, 0]. 176 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.7. FUNCIONES INYECTIVAS (a) Gráfica de f(x) = x2 (b) Gráfica de f(x) = x2 con dominio [0,∞) con dominio (−∞, 0] Figura 3.5: Inyectividad de f(x) = x2 en un subconjunto de R. Ejemplo 3.7.1. Función inyectiva Verifique que f(x) = 3x+ 1 es una función inyectiva. Solución Suponemos que existen dos puntos x1 y x2 tales que f(x1) = f(x2) y verificaremos que x1 = x2. Primero observe que f(x1) = 3x1+1 y f(x2) = 3x2+1.Como supusimos f(x1) = f(x2) se tiene 3x1 + 1 = 3x2 + 1 3x1 = 3x2 x1 = x2. Ver vídeo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro . Usando WxMaxima, se grafica click aquí para analizar el corte horizontal y su inyectividad. Ejercicios 29. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas: √ 1. f(x) = x+ 2 6. f(x) = x+ 2 2. f(x) = x2 + 1 7. f(x) = x4 + x √ 3. f(x) = x 8. f(x) = ex 4. f(x) = x− 1 9. f : R+ 7→ R+ 5. f(x) = x2 − x+ 2 x → y = f(x) = x2 − x+ 2 177 3.8. FUNCIONES BIYECTIVAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.8. Funciones biyectivas Definición 3.8.1: Función biyectiva Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo en el dominio especificado. Vimos anteriormente que la función f(x) = 3x+ 1 es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva. La función f(x) = x2 no es inyectiva cuando se define en todos los reales, tampoco es sobreyectiva por lo tanto no es biyectiva. La función f(x) = x2 es inyectiva cuando está definida en [0,∞) y es sobre- yectiva, por lo tanto es biyectiva en [0,∞). Ejercicios 30. Determinar si las siguientes funciones son biyectivas en su máximo dominio de de- finición. √ 1. 3f(x) = 3 x+ 2 3. 2xf(x) = 5. f(x) = ln(x) x2 + 1 √ 2x2 2. f(x) = x+ 2 4. f(x) = x2 + 1 6. f(x) = e x 3.9. Funciones crecientes y decrecientes Definición 3.9.1: Funciones crecientes 1. Una función f(x) es creciente si y solo si para todo x1 < x2 se tiene f(x1) ≤ f(x2). 2. Una función f(x) es estrictamente creciente si y solo si para todo x1 < x2 se tiene f(x1) < f(x2). Gráficamente puede verse que una función es creciente si mirada de izquierda a derecha la gráfica sube o permanece constante cuando x aumenta. Gráficamente puede verse que una función es estrictamente creciente si mirada de izquierda a derecha la gráfica siempre sube cuando x aumenta. Ejemplo 3.9.1. Verificar analíticamente y gráficamente que f(x) = 3x − 1 es estrictamente creciente. 178 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.9. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Partimos de la suposición que x1 < x2. 4 2 x1 < x2 3x1 − 1 < 3x2 − 1 −6 −4 −2 2 4 6 f(x −21) = 3x1 − 1 < 3x2 − 1 = f(x2) −4 −6 Otra manera de hacerlo es usando el hecho que f(x2) < f(x2) si f(x2)− f(x1) > 0. f(x2)− f(x1) = 3x2 − 1− (3x1 − 1) = 3x2 − 1− 3x1 + 1 = 3x2 − 3x1 = 3(x2 − x1) Como x1 < x2, se tiene que x2 − x1 > 0. Entonces 3(x2 − x1) > 0 y por tanto f(x2)− f(x1) = 3(x2 − x1) > 0. En conclusión f(x1) < f(x2). Definición 3.9.2: Función decreciente 1. Una función f(x) es decreciente si y solo si para todo x1 < x2 se tiene f(x1) ≥ f(x2). 2. Una función f(x) es estrictamente decreciente si y solo si para todo x1 < x2 se tiene f(x1) > f(x2). Gráficamente puede verse que una función es decreciente si mirada de izquierda a derecha la gráfica baja o permanece constante cuando x aumenta. Gráficamente puede verse que una función es estrictamente decreciente si mirada de izquierda a derecha la gráfica siempre baja cuando x aumenta. Ejemplo 3.9.2. Verificar analíticamente y gráficamente que f(x) = −3x + 1 es estrictamente decreciente. Partimos de una suposición de que x1 < x2. 179 3.10. FUNCIONES CONVEXAS Y CÓNCAVAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 6 4 x1 < x2 2 −3x1 > −3x2 −3x1 + 1 > −3x2 + 1 −6 −4 −2 2 4 6 f(x1) > f(x2) −2 −4 También aquí pudo verificarse que f(x2) < f(x1) haciendo f(x1)− f(x2) y luego ver que el resultado es mayor que cero. Ejercicios 31. Determine los intervalos en los que las siguientes funciones son crecientes o decre- cientes, trace su gráfica correspondiente usando software. 1. y = 2x− x2 4. y = x3 − 3x 7. 5− 2x− x2 2. y = x2 − 3x2 5. y = x3−6x2+11x−6 8. y = x2 + 7x− 1 3. y = x4 − 43 + 15 6. y = 3x4 − 8x3 9. y = 4x− 4x2 + 2 Click aquí o consulte el código QR al final del libro. 3.10. Funciones convexas y cóncavas De unamanera general una función es convexa si todo segmento que une dos puntos de la gráfica está por encima de la gráfica. Una función convexa se llama también cóncava hacia arriba. Una función es cóncava (cóncava hacia abajo) si todo segmento que une dos puntos de la gráfica esta estrictamente por debajo de la gráfica. Una función puede ser convexa o cóncava en todo su dominio o en partes de él. 180 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES f(x) = x2 √ y = x (a) Función convexa (b) Función cóncava Figura 3.6: Funciones convexas y cóncavas. Ejercicios 32. Utilice software para graficar las siguientes funciones y especificar donde es cóncava y donde es convexa. 1. f(x) = 2x2 3. f(x) = sin(x) 2. f(x) = −2x4 4. f(x) = x3 − 2x2 + 5x− 1 Determine el comportamiento de las siguientes funciones: 1 x4 + 1 8. 21. f(x) = 5. f(x) = f(x) = e x −1 2 x2 2. f(x) = 3x− x3 9. 3f(x) = − 2 6. f(x) = (x− 1)2 − 3x 2x − 2 3. f(x) = x4 − 2x2 − 8 10. f(x) = ln(x4 − 1) 3 4. xf(x) = − 2 7. 1 f(x) = (x 1) x− 3 11. f(x) = |x− 1|+ x 2 Click aquí o consulte el código QR al final del libro. 3.11. Lineales Tiene la forma f(x) = ax+b o y = ax+b.Sumáximo dominio es todoR y el rango para este dominio es todo R. La intersección con el eje y viene dada por (0, f(0)) = (0, b). Tiene intersecciones con el eje x si a 6= 0 o si a = 0 y b = 0. El punto de intersección viene dado por 0 = f(0) = ax+ b. Resolviendo para x se obtien(e ax =) −b de donde x = − b . De modo que el punto de intersección con el eje x es − b , 0 . a a (1) Una recta horizontal tiene pendiente cero, y si pasa por el punto (x, c), c cons- tante, tiene ecuación y = c. 181 3.11. LINEALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES (2) Una recta vertical no tiene pendiente , y si pasa por el punto (c, y), c constante, tiene ecuación x = c. La función lineal también se acostumbra a escribir haciendo y = f(x) y escribiendo Ax+By + C = 0, B 6= 0. Para identificar los elementos principales se despeja y y se escribe en la forma y = f(x). Ax+By + C = 0 By = −Ax− C −Ax− C y = B y = −A x+ −C . B B La gráfica de una función lineal es una linea recta o una porción de ella dependiendo del dominio y el término que acompaña a la variable se llama pendiente, en el ejemplo anterior a es la pendiente, esta indica el grado de inclinación de la recta respecto al eje x. + b ax y = Si una función lineal pasa por los puntos b (x1, y1) y (x2, y2) entonces la pendiente a viene dada por y2 − y1 y1 − y2 a = = . x2 − x1 x1 − x2 − b a La pendiente de la recta es la misma para cualquier par de puntos sobre la recta que se elijan para hacer el cómputo. Es decir, si (x3, y3) y (x5, y5) es cualquier otro par de puntos sobre la recta también se tiene y5 − y3a = . x5 − x3 182 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES La medida de la pendiente se pue- de interpretar como la razón de cambio entre la altura y el recorrido horizontal. Formas de la recta (a) Forma estándar y = ax+ b (b) Punto pendiente. Dada la pendiente a y un punto (x0, y0) por donde pasa la recta la ecua- ción de la recta viene dada por y − y0 = a(x − x0) o equivalentemente y = a(x− x0) + y0. Ejemplo 3.11.1. Ecuación de la recta Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2,−2) y (2, 1). Señale los interceptos con los ejes. Solución Como se conocen dos puntos por donde pasa, puede calcularse la pendiente, y usar la forma punto pendiente la recta y = a(x−x0)+y0, tomando como (x0, y0) cualquiera de los dos puntos conocidos. 1− (−2) 1 + 2 3 a = = = . 2− (−2) 2 + 2 4 Tomando x0 = 2 y y0 = 1 del punto (2, 1) ( ) 3 y = (x− 3 3 3 12) + 1 = x− 2 + 1 = x− . 4 4 4 4 2 La ecuación de la recta es y = 3(x− 1 .4 2 ) El intercepto en el eje x está en − b , 0 donde a − b −1 4 2 = − 2 a 3 = = . 6 3 4 183 3.11. LINEALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES El intercepto con el eje y está en (0, b) donde b = −1 . 2 b ax + y = − 1 −2 2 | | − −2 Ver vídeo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro . 3.11.1. Rectas paralelas y perpendiculares La medida de la pendiente en una recta que determina el grado de inclinación que esta tiene, por lo que podemos razonar que dos rectas son paralelas si tienen el mismo grado de inclinación o pendiente. Definición 3.11.1: Rectas paralelas Dos rectas que no sean verticales, son paralelas sí estas tienen la misma pen- diente. Ejemplo 3.11.2. Rectas paralelas Determine si el siguiente par de rectas son paralelas: 3y + 2x+ 5 = 0 y y = (1/2)x− 6 Solución Con respecto a la primera ecuación 3y + 2x + 5 = 0, se tiene y = −2x − −5 que le 3 3 corresponde como pendientem = −21 y a la segunda ecuación le corresponde como3 pendiente m2 = 1/2. Se observa que estas pendientes son distintas m1 6= m2, así, las rectas no son paralelas. 184 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES Gráfico de dos rectas paralelas En el siguiente gráfico podemos observar el comportamiento de dos rectas paralelas, que corresponden a la misma pendiente. Además podemos relacionar estos tipos de comportamiento con las lineas eléctricas ubicadas en los postes, los bordes de algunos edificios, los bordes de la pantalla de un televisor, entre muchos ejemplos más. − 1 −2 2 | | − −2 Rectas perpendiculares Entiéndase por perpendiculares aquellas rectas que se cortan formando un ángulo recto (de 90o). −1 −2 2 | | −−2 Con el objetivo de facilitar la relación que guardan sus pendientes, haga coincidir el punto de corte en el origen del plano cartesiano, como se muestra en el gráfico siguiente: 185 3.11. LINEALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES −1 −2 2 | | −−2 Escoja dos puntos cualesquiera en las rectas, uno en la recta roja punteada y otro en la recta azul que compartan la coordenada x, para este caso x = 1, con el objetivo de formar un triángulo con los puntos identificados y como el ángulo es recto, se puede usar el teorema de Pitágoras y así tener una relación. A(1,m1) O 1 | B(1,m2) El triangulo AOB es recto en O, entonces las medidas de cada uno de sus lados guardan la relación pitagórica, esto es : (d(O,A))2 + (d(O,B))2 = (d(A,B))2 Remplazando en esta expresión los valores correspondiente del gráfico y usando nuevamente el teorema de Pitágoras para calcular las medidas de estos lados, se obtiene: (d(O,A))2 = 12 +m21 y (d(O,B))2 = 12 +m22 Sustituimos en la ecuación inicial, (12 +m21) + (1 2 +m22) = (m1 −m2)2 186 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES 2 +m21 +m 2 2 = m 2 1 − 2m1m 22 +m2 2 = −2m1m2 m1m2 = −1 Con relación a este resultado se obtiene la siguiente definición: Definición 3.11.2: Rectas perpendiculares Dadas las dos rectas que tienen como pendiente m1 y m2 distintas de cero, estas son perpendiculares sí, y solo sí, el producto de sus pendientes es −1. m1m2 = −1 Adicionalmente téngase en cuenta que una recta horizontal es perpendicular a la recta vertical. Ejemplo 3.11.3. Rectas perpendiculares Determine si las rectas 2x+ 3y = 0 y 6x− 9y + 10 = 0 son perpendiculares. Solución Para la recta 2x+ 3y = 0 presenta pendiente m1 = −3 .2 Para la recta 6x − 9y + 10 = 0 presenta pendiente m2 = 6 . Ahora realicemos el9 producto de las pendientes esto es: −3 6 −18 m1m2 = = = −1 2 9 18 Por tanto las rectas son perpendiculares. Las funciones cuyas gráficas están formadas por trozos o pedazos de rectas se llaman funciones lineales a trozos. Ejemplo 3.11.4. Rectas Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = 5, las rectas x = 1, x = 4 y el eje x. Solución A continuación se presenta un bosquejo de la región. 5 La región bajo la curva corresponde a un rectángulo de altura 5 y base 3. Por tanto el área de la región bajo la curva es 15 unidades cuadradas. 1 4 187 3.11. LINEALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 3.11.5. Rectas Hallar el área de la región bajo la{curva 3, si x ∈ [−2, 1] f(x) = 7, si x ∈ (1, 4] limitada por las rectas x = −2, x = 4 y el eje x. Solución El bosquejo de la gráfica es como sigue 7 La región en cuestión se muestra en la fi- gura. Se ha dividido en dos subregiones por la línea x = 1. Queda dividida en dos rectángulos. El rectángulo de la izquierda tiene altura 3 y base 1−(−2) = 3, por tanto 3 su área es 9. El rectángulo de la derecha tiene altura 7 y base 4 − 1 = 3, y su área es 21. Sumando el área de cada uno de los rectángulos se llega a que el área total es 30 unidades cuadradas. -2 1 4 Ejemplo 3.11.6. Rectas Hallar el área de la región bajo la curva f(x) = 2x+1 en [0, 2] y por encima del eje x. Solución 5 La función es lineal. Basta ubicar dos puntos para trazar su gráfica. Para x = 0, f(0) = 2(0) + 1 = 1, así un punto es (0, 1). Para x = 2, f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5. Otro punto es (2, 5). Un bosquejo de la región se muestra en la figura de la iz- quierda. Observe qu(e la r)egión bajo la curva es una regióntrapezoidal. Con base mayor 5, base menor 1, y altura 2.1 Por tanto el área es 5+1 (2) = 6. 2 2 Ver vídeo. 188 2x+ 1 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES Ejemplo 3.11.7. Rectas Halle el área de la región limitada por la curva f(x) = −|x − 2| + 5, x = −1, x = 6 y el eje x. Solución Primero observe que { x− 2, si x− 2 ≥ 0 |x− 2| = −(x− 2), si x− 2 < 0, es decir, { x− 2, si x ≥ 2 |x− 2| = . −(x− 2), si x < 2. Al reemplazar los valores de |x− 2| de{acuerdo a los valores de x queda que −(x− 2) + 5, si x ≥ 2 f(x) = −|x− 2|+ 5 = −(−{(x− 2)) + 5, si x < 2,o −x+ 7, si x ≥ 2 f(x) = −|x− 2|+ 5 = x+ 3, si x < 2. Como se debe graficar f(x) en [−1, 6] entonces se grafican los trozos x + 3 en el subintervalo [−1, 2) y −x + 7 en [2, 6]. La Figura 3.7 muestra la región la cual se ha divido en dos trapecios por la linea x = 2. El trapecio de la derecha tiene área 5+1(6− 2) = 12 y el trapecio de la izquierda tiene área 5+2(2− (−1)) = 21 . La suma 2 2 2 de estas dos áreas da el área total que es 45 unidades cuadradas. 2 5 −x+ 7 x+ 3 2 1 −1 2 6 Figura 3.7: Región ejemplo 3.4.6 189 3.11. LINEALES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 3.11.8. Rectas Hallar el área de la región li{mitada por la curva 0, si x ∈ [0, 1/2] ∪ (1, 3/2] f(x) = , 1, si x ∈ (1/2, 1] el eje y, el eje x = 3/2 y el eje x. Solución 1 El área es 1/2. 0 1 1 3 2 2 Función característica Sea X un conjunto y A ⊆ X. Se define la función característica de A en X, notada χ, como { 1, si x ∈ A χA(x) = 0, si x ∈ X pero x 6∈ A. Ejemplo 3.11.9. Segmentos de recta Por ejemplo si X = [a, b] y α, β ∈ (a, b) y α < β, entonces la gráfica de χ(α,β) se muestra en la Figura 3.8a y la de χ[α,β] en la Figura 3.8b. a α β b a α β b (a) Función característica en (b) Función característica en [α, β] (α, β) Figura 3.8: Gráficas de funciones características de intervalos. Guía de Gráficas de funciones. Click aquí o consulte el código QR al final del libro . 190 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.11. LINEALES Ejercicios 33. Determine los puntos de cortes con los ejes y la pendiente de las siguientes rectas: 1. y = 6x− 3 3. La recta que pasa por los puntos (2, 3) y (−4,−3). 2. 5y + 2x− 5 = 0 4. La recta 3y + 5x+ 6 = 0 Grafica las siguientes funciones: 5. f(x) = x+ 7 15. Determine la ecuación de la recta p, que es paralela a 2x+8y+4 = 0 6. f(x) = 7x− 2 y pasa por el origen. 7. f(x) = 13x+ 2x− 6 8. f(x) = x+ 3− 5 16. Determine la ecuación de la recta l, que es perpendicular a la recta 9. f(x) = x+ 3− 5 y = 7x−2 y pasa por el punto (2, 5). 10. f(x) = 4x− 12 17. Determine si los puntos A(6,2), 11. La recta tiene pendiente 3 y corta B(1,7) y C(5,11) que forman un al eje y en 2. triangulo rectángulo. 12. La recta tiene pendiente -3 y corta al eje de las y en 2. 18. Trace el gráfico de un círcul√o de ra- 1 − 3 13. La recta tiene pendiente -2 y corta dio 1 y por el punto A( , ) tra-2 2 al eje de las y en -2. ce la tangente al círculo. Identifi- que en que otra parte del círculo 14. Determine la ecuación de la recta l se puede trazar una recta que sea que es paralela a la recta y = 5x+2 paralela a esta y tangente al círcu- y pasa por el punto (1, 3). lo. Resuelva los siguientes problemas de aplicación.Use WxMaxima como apoyo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro 19. En las 12 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2.5 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 3 cm. Establecer una función afín que de la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente. 20. En un examen de selección múltiple, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas). La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente. 191 3.12. REGRESIÓN LINEAL CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 21. En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan $230.000. Los precios de las entradas son $500 las normales y $3.000 las VIP. Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si la asistencia al esta- blecimiento es de 160 personas. 22. Sea X = [a, b] y α, β ∈ (a, b) y α < β, realice la gráfica χ(α,β), si α = 0 β = 2.5 y (a, b) = (−3, 6). 3.12. Regresión lineal Dado un conjunto de puntos del plano (datos de un experimento, por ejemplo) {(xi, yi) : i = 1, ..., n} se intenta buscar la ecuación de una linea recta que se ajuste lo más posible al conjunto de puntos. Esta recta se usa para predecir valores que por al- guna razón no pudieron ser medidos pero que es esencial tener una estimación de ellos, aunque sea con un margen de error. La idea es que se cometa el menor error posible. A continuación se mostrará una técnica que se llama recta de ajuste por mínimos cuadrados o simplemente regresión lineal: 1. Se calcula el promedio de los xi que llama∑remos x̄, es decir,n x1 + x2 + · · ·+ x nn i=1 xi 1∑x̄ = = = xi. n n n i=1 2. Se calcula el promedio de los yi que llama∑remos ȳ, es decir,n ∑ny1 + y2 + · · ·+ yn ȳ = = i=1 yi 1 = yi. n n n i=1 3. Se hacen las diferencias de cada dato xi con su promedio, es decir, se hace (xi − x̄). 4. Se hacen las diferencias de cada dato yi con su promedio, es decir, (yi − ȳ). 5. Se forman los productos (xi − x̄)(yi − ȳ). 6. Se suman todos los productos en el ítem anterior, esto corresponde a ∑n (xi − x̄)(yi − ȳ). i=1 192 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.12. REGRESIÓN LINEAL 7. Se toman las diferencias en el paso 3, se elevan al cuadrado y se suman, esto corresponde a ∑n (xi − x̄)2. i=1 8. La pendiente de la recta, que llamaremos β̂ surge de la división del resultado del paso 6 entre el resultado de∑l paso 7, es decir,n i=∑1(xi − x̄)(yi − ȳ)β̂ = n . i=1(x − x̄)2i Una formula alternativa para β̂ es: xy − x̄ȳ β̂ = . x2 − x̄2 9. El término constante, que llamaremos α̂, surge de hacer la resta del promedio de las y con el producto de la pendiente con el promedio de las x, es decir, α̂ = ȳ − β̂x̄. Definición 3.12.1: Recta de ajuste para un conjunto de datos Dados el conjunto de datos {(xi, yi) : i = 1, ..., n}, su recta de ajuste viene dada por y = β̂x+ α̂, (3.1) donde ∑n i=∑1(xi − x̄)(yi − ȳ)β̂ = n y α̂ = ȳ − β̂x̄. i=1(xi − x̄)2 Ejemplo 3.12.1. Ajuste de datos Se midieron los siguientes datos en un experimento xi yi -2.00000 -3.88271 -1.50000 -2.27386 -1.00000 -0.47524 Halle la recta de ajuste por mínimos cuadrados -0.50000 -0.01457 y estime el valor para y cuando x = 1.8 Dibu- 0.00000 1.19511 je los puntos de datos y la recta hallada en el 1.00000 5.03893 mismo sistema de coordenadas. 1.50000 5.75937 2.00000 7.86641 193 3.12. REGRESIÓN LINEAL CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Solución Se busca una recta de la forma especificada en 3.1. Para hallar β̂ y α̂ se procede a organizar los datos y los cálculos. xi yi xi − x̄ y − ȳ (xi − x̄)(yi − ȳ) (xi − x̄)2. -2.00 -3.88271 -2.00 -5.84102 11.68204 4.00 -1.50 -2.27386 -1.50 -4.23217 6.34826 2.25 -1.00 -0.47524 -1.00 -2.43355 2.43355 1.00 -0.50 -0.01457 -0.50 -1.97288 0.98644 0.25 0.00 1.19511 0.00 -0.76320 -0.00 0.00 0.50 4.41134 0.50 2.45303 1.22651 0.25 1.00 5.03893 1.00 3.08062 3.08062 1.00 1.50 5.75937 1.50 3.80107 5.70160 2.25 2.00 7.86641 2.00 5.90810 11.81620 4.00 x̄ = 0 ȳ = 1.9583 43.27522 15.00 Se tiene entonces que∑n i=∑1(xi − x̄)(yi − ȳ) 43.27β̂ = n = = 2.86672 i=1(xi − x̄) 15 y α̂ = ȳ − β̂x̄ = 1.9583− 2.8667(0) = 1.9583. La recta de ajuste es y = 2.8667x+ 1.9583. Para estimar el valor de y cuando x = 1.8 se usa la recta de ajuste, evaluando en x, y = 2.8667(1.8) + 1.9583 = 7.1184 xi yi -2.00000 -3.88271 -1.50000 -2.27386 -1.00000 -0.47524 -0.50000 -0.01457 0.00000 1.19511 1.00000 5.03893 1.50000 5.75937 2.00000 7.86641 194 y = 2.8667x+ 1.9583 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.12. REGRESIÓN LINEAL Esta no es la única manera de calcularla, propiedades de la suma permiten llegar a ecuaciones diferentes∑que llegan a los mismos resultados. Algunas se resumen acontinuación n i=∑1(xi − x̄)(yi − ȳ)β̂ = ∑ ni=1(xi − x̄)2n i=∑1(xiyi − xiȳ − x̄yi + x̄ȳ)= ∑ n (x2i=1 i − 2∑x 2ix̄+ x̄ )n ∑ n ∑ ∑i=1(xiyi)− ȳ i=1 xi − x̄ ni=1 yi + nx̄ȳ= ∑ n (x2i=1 i )− 2x̄ n 2i=1 xi + nx̄ 1 ∑n= n i=1 xiyi − x̄ȳ1 n x2 − x2 n i=1 i xy − x̄ȳ = x2 − x̄2 Esta es la forma alternativa que se mencionó para β̂. Muy pocas veces se hace este procedimiento manualmente. Existen programas que traen rutinas para hacer estos cálculos automáticamente. Por ejemplo Excel, LibreOfficeCalc, OCTAVE, MATLAB, WxMaxima y software dedicado a estadística como R, minitab, etc... Ver guía de Regresiones lineales. Click aquí o consulte el código QR al final del libro . Ejercicios 34. Desarrolle la regresión lineal de cada problema planteado: 1. Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, Num. de clientes (x) Distancia(y) 14, 20, 32, 42 y 44 kilos. 8 15 Hallar la ecuación de la recta de re- 7 19 gresión de la edad sobre el peso. 6 254 23 ¿Cuál sería el peso aproximado de 2 34 un niño de seis años? 1 40 2. Un centro comercial sabe que su número de clientes acuden en fun- Calcular el coeficiente de correla- ción de su distancia en kilómetros, ción lineal. se registran los siguientes datos en la tabla, de acuerdo al núme- Si el centro comercial se sitúa a 2 ro de clientes que asisten con res- km, ¿cuántos clientes puede espe- pecto a su distancia al centro co- rar? mercial. Si desea recibir a 5 clientes, ¿a 195 3.12. REGRESIÓN LINEAL CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES qué distancia del núcleo de pobla- y = −x+2, 3x− y = 1, 2x+ y = 4, ción deben situarse? y = x+ 1 3. Las notas obtenidas por cinco Seleccionar razonadamente esta alumnos en Matemáticas y Quími- recta. ca son: 5. Las estaturas y pesos de diez ju- gadores de baloncesto de un equi- Matemática Química po son: 6 6.5 4 4.5 Estatura(x) Pesos(y) 8 7 186 85 5 5 189 8.5 3.5 4 190 86 192 90 Determinar las rectas de regresión 193 87 y calcular la nota esperada en Quí- 193 91 mica para un alumno que tiene 7.5 198 93 en Matemáticas. 201 103 203 100 4. Un conjunto de datos bidimensio- 205 101 nales (x, y) tiene coeficiente de co- rrelación r = −0.9, siendo las me- La recta de regresión de Y sobre dias de las distribuciones margina- X. les media de x̄ = 1, ȳ = 2. Se sabe que una de las cuatro ecuaciones El coeficiente de correlación. siguientes corresponde a la recta El peso estimado de un jugador de regresión de y sobre x: que mide 208 cm. Desarrolle la regresión lineal de cada problema planteado: 6. La tabla siguiente nos da las notas del test de aptitud (X) aplicado a seis tra- bajadores en periodo de prueba, con respecto a sus ventas del primer mes (Y) en miles de pesos. X 25 42 33 54 29 36 Y 42 72 50 90 45 48 Hallar el coeficiente de correlación e interpretar el resultado obtenido. Calcular la recta de regresión de Y sobre X. Predecir las ventas de un vendedor que obtenga 47 en el test. 196 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.13. FUNCIÓN CUADRÁTICA 3.13. Función cuadrática Una función de la forma f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0, se llama función cuadrática. El rango de una función cuadrática viene dado por la posición de un punto específico llamado vértice. Dependiendo del signo de la expresión b2 − 4ac (llamada discriminante) la gráfica tendrá un único, ninguno o varios interceptos con el eje x. (a) Si b2 − 4ac = 0 la gráfica tendrá un solo intercepto con el eje x. (b) Si b2 − 4ac > 0 la gráfica tendrá dos interceptos con el eje x. (c) Si b2 − 4ac < 0 la gráfica no tendrá interceptos en el eje x. Cuando el discriminante es no negativo los interceptos con el eje x vienen dados por 0 = f(x) = ax2 + bx+ c, √ 2 la cual es una ecuación cuadrática con solucion(es −b+) b − 4acx1 = y x2 =√ 2a −b− b2 − 4ac 2 . El vértice de la parábola está en − b 4ac− b, . 2a 2a 4a La gráfica de una función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. Si la parábola abre hacia arriba el rango son todos los valores mayores o iguales que la coordenada y del vértice. Si la parábola abre hacia abajo, el rango es el conjunto de todos los valores reales menores o igual que la coordenada y del vértice. Definición 3.13.1: Forma canónica de la ecuación cuadrática Toda función cuadrática puede ponerse en la forma f(x) = a(x − h)2 + k, (llamada forma estándar o canónica) La gráfica es una parábola de vertice (h, k) y los interceptos en el eje x en √ √ −a k − a h −a k + a h x = − , x = , a a cuando ak ≤ 0. El intercepto con el eje y es (0, f(0)) = (0, ah2 + k). 197 3.13. FUNCIÓN CUADRÁTICA CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES De la forma estándar a la forma canónica de(la funció)n cuadrática. b f(x) = ax(2 + bx+ c =(a x 2 ) + (x )+ ca )2 2 b b b = a x2( + x)+ ( )− + ca 2a 2a2 2 b b = a(x+ − a + c2a) 2a2 b b2 = a(x+ ) − a + c2a 4a22 b 2 = a(x+ ( − b 2a )) + c4a2 − − b 4ac− b 2 = a x + 2a 4a 2 donde − bh = y 4ac− bk = . 2a 4a Trace gráficas que correspondan a esta forma y determine usando software, los inter- ceptos en el eje x y observe la abertura de la curva. Ver guía de Gráfica de funciones click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 3.13.1. Gráfica de la parábola Graficar f(x) = (x− 1)2 + 3 e identifique su vértice. Solución Aquí se tiene a = 1, h = 1 y k = 3. el vértice es (h, k) = (1, 3). Como a > 0 la parábola abre hacia arriba y como ak = (1)(3) > 0 la parábola no tiene interceptos con el eje El intercepto (0, 4)x. con el eje y es (0, f(0)) = (0, (−1)2+3) = (0, 1+ 3) = (0, 4). (1, 3) Ver guía sobre Ecuaciones cuadráticas. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ver vídeo. Click aquí 198 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.13. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo 3.13.2. Función cuadrática Escriba la función cuadrática en forma canónica y haga un bosquejo de su gráfica identificando los vértices e interceptos. (a) f(x) = 3x2 + 2x− 5 (b) f(x) = 1x2 − 5x+ π 2 Solución No existe un solo enfoque para resolver estos problemas. Se puede comenzar com- pletando los cuadrados y deduciendo la forma canónica o se pueden usar las expre- siones deducidas anteriormente para h y k. Para ilustrar ambos procedimientos se desarrollará la parte (a) completando el cuadrado y la parte b usando las fórmulas previamente deducidas. (a) ( ) 3x2 + 2x− 5 = 3(x2 2 + x −(53 )2 ( ) )2 2 2 2 2= 3(x + x+ − − 53 (6)2 (6) )2 2 2 1 1= 3(x + x+ )− − 53 (3) 32 ( )2 2 2 1 1= 3(x + )x+ − 3 − 53 3 32 ( ) ( )2 ( ) 1 − 1= 3(x+ ) 3 − 1 1 5 = 3 x+ − − 5 3 9 3 3 2 1 − 16= 3 x+ . 3 3 199 3.13. FUNCIÓN CUADRÁTICA( ) CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES A( quí a =) 3, h( = 1 )− , y k = −16 . El vértice es (h, k) = 3 3 −1 , −16 , el intercepto con el eje y es (0, f(0)) = (0,−5). 5 3 3 − −1 Como ak = 3 −16 = −16 < 0 hay interceptos con el eje . 3 3 1x 3 √ −√−a k − a hx = a ( ) −3 (−16/3)− 3 −1 = − 3 √ 3 − 16 + 1 −5= = √ 3 3 √−a k + a hx = a ( ) 1 − 163 (−16/3) + 3 −1 − = 3 3 √ 3 16− 1 = = 1. 3 (b) Para f(x) = 1x2 − 5x+ π a = 1 , b = −5 y c = π. El vértice está en 2 2 ( ) ( ( ) ) − b 4ac− b 2 −(5) 4 1 (π()−) (−5)2, = − , 2 2a 4a ( 2 1 4 12 ) 2 2 π − 25 = 5, = (5,−9.3584). 2 Como el discriminante es mayor que cero, b2 − 4ac = (−5)2 − 4(1/2)π > 0, tiene interceptos con el eje x y vienen dados por la solución de f(x) = 0, es decir, 1x2 − 2 5x+ π = 0. Aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las soluciones, √ √ x1 = 5− 25− 2 π = 0.6737, x2 = 25− 2 π + 5 = 9.3262 El intercepto con el eje y viene dado por (0, f(0)) = (0, π). 200 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.13. FUNCIÓN CUADRÁTICA π 5 -9.3584 Ver vídeo. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejercicios 35. Represente gráficamente la siguientes funciones: 1. y = −x2 + 4x− 3 3. y = x2 + x+ 1 2. y = x2 + 2x+ 1 4. y = 2x2 − 2 Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: 5. y = (x− 1)2 + 1 7. y = 2(x+ 1)2 − 3 9. y = x2 − 7x− 18 6. y = 3(x− 1)2 + 1 8. y = −3(x− 2)2 − 5 10. y = 3x2 + 12x− 5 Resuelva cada ecuación: 11. x2 + 2x+ 1 = 0 14. x2 − 7 1x+ = 0 17. x 2 − 2x− 1 = 0 6 3 12. x2 = 2 + x 2 2 215. x2 + x+ 1 = 0 18. x −(x+1) = 2−x 13. 2 − 10 42x x+ = 0 3 3 16. 6x− x(x− 13) = 18 19. −x 2 + 7x− 5 = 0 Establezca la ecuación y resuelva el problema. 20. El doble del cuadrado de un número es igual al cuadrado del sucesor del nú- mero más 14. ¿Cuál es el número? 21. La suma de dos números es 40 y su producto 221. ¿Cuáles son los números? 201 3.14. FUNCIÓN CÚBICA CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.14. Función cúbica Tienen una expresión de la forma f(x) = a x3 + b x2 + cx+ d, a =6 0. El bosquejo de la gráfica de una función cúbica tiene dos formas básicas que se muestran a continuación. Tiene un punto en donde la gráfica cambia su curvatura, el cual se llama punto de inflexión y se encuentra en la coordenada bx = − . 3a El dominio y rango de la función cúbica son todos los reales, la gráfica de la función corta al eje x al menos en un punto. Ver guía. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 3.14.1. Construcción de una caja Se quiere construir una caja a partir de una lámina de tamañoM×L, ver figura 3.9a, a la cual se le cortarán unos cuadrados en las esquinas (figura 3.9b) y luego se doblará, figura 3.9c. Escriba el volumen de la caja en función de x si se corta un cuadrado de lado x de cada esquina. 202 Punto in df elexión Punto in df elexión CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.14. FUNCIÓN CÚBICA Solución M M − 2x (a) Lámina (b) Lámina y esqui- (c) Caja formada nas Figura 3.9: Formación de una caja a partir de una lámina Primero observe que en el lado de longitud M el valor de x no puede ser mayor que la mitad de M y no puede ser mayor que la mitad de L. Si L > M, x no puede ser mayor que la mitad de M, Si x = 0, simplemente no se puede hacer la caja y el volumen es cero y si Mx = tampoco se puede hacer la caja y el volumen es 2 cero. En conclusión los valores posibles de x son 0 ≤ x ≤ M . Al cortar cuadrados 2 de longitud x el largo de la caja es L− 2x, el ancho sería M − 2x y el alto sería x por lo tanto el volumen es x(L− 2x)(M − 2x). Así la función es: f(x) = x(L− 2x)(M − 2x) Ejercicios 36. 1. Si la función que modela el volu- a) f(x) = x3 − 2x2 + x men de la caja en la figura 3.9, es b) f(x) = x3 − 1 cada una de las siguientes. Use 3 2 WxMaxima (Click aquí o consulte c) f(x) = x − 2x + x el código QR al final del libro.) pa- d) f(x) = x3 + 7x2 + 14x+ 8 ra graficar y estimar sumáximo vo- lumen. 3. Graficar las siguientes funciones: a) f(x) = x3 − 1 a) f(x) = x3 + 12x+ 2 b) f(x) = x3 + 2 b) f(x) = −x3 + 3x2 + 9x c) f(x) = x3 − 2x2 + x c) f(x) = 3x2 + x3 − 1 d) f(x) = −x3 + 2x2 + x− 2 2. Encontrar los ceros de las siguien- 4. Una caja de madera tiene una ba- tes funciones. se cuadrada, siendo x la longitud 203 L L− 2x 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES de cada lado del cuadrado que for- a) El volumen V en función de x. ma la base. En total, las 12 aristas b) El dominio de V . de la caja suman 120cm. Determi- nar: Ver guía aquí. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. 3.15. Funciones polinómicas Un polinomio es una expresión que presenta la forma P (x) = a nnx + a n−1 n−1x + · · ·+ a 22x + a1x+ a0. (3.2) (a) P (x) = 3 (b) 3P (x) = x+ π 2 (c) P (x) = 3 + 2 + 1−5 (d) P (x) = 100x4 − 2x3 + 6x2 + x− 1 Observe que : 1. Aparece solo una variable o ninguna. 2. Todos los exponentes en la variable son cero o números enteros positivos. Si alguna de estas condiciones falla, la expresión no es un polinomio. Definición 3.15.1: Función polinómica En general un polinomio es una expresión de la forma, P (x) = a xn + a xn−1n n−1 + · · ·+ a x22 + a1x+ a0, (3.3) con n un entero no negativo y los ai números reales. Formas algebraicas equivalentes. (1) Los números an, an−1, · · · , a2, a1, a0 son llamados coeficientes. (2) El término a nnx que tiene la mayor potencia de la variable es llamado término principal y an solo (el cual no es cero ) es llamado coeficiente principal y a0 es llamado término constante o independiente. (No aparece la variable o aparece con exponente cero). 204 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS (3) Al mayor exponente de la variable se le llama grado del polinomio. (4) Un polinomio de la forma p(x) = k, donde k es constante, se llama polinomio constante. (5) El polinomio P (x) = 0 no tiene grado. (6) El polinomio P (x) = c donde c es un número distinto de cero tiene grado cero. Cuando en un polinomio no aparece una potencia se asume que su coeficiente correspondiente es cero. Aunque los polinomios se acostumbran a escribir en orden descendente o ascen- dente de las potencias, no siempre se escriben de la misma manera. Las siguientes expresiones corresponden al mismo polinomio f(x) = 1x4 + 3x3 + 2 πx2 + x− 7: 1 1 P (x) = −7 + πx2 + x+ 3x3 + x4, P (x) = πx2 − 7 + 3x3 + x4 + x, 2 2 1 1 P (x) = x+ x4 − 7 + πx2 + 3x3, P (x) = πx2 + x4 − 7 + 3x3 + x. 2 2 El término principal 1x4, el coeficiente principal 1 y el término constante −7 siguen 2 2 siendo los mismos independientemente de la forma como se escriba el polinomio. Usando WxMaxima gráfica de funciones (Click aquí o consulte el código QR al fi- nal del libro. ) podemos desarrollar los trazos de los polinomios para visualizar su comportamiento. Ver guía. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Identificando partes del polinomio Especifique grado, término principal, coeficiente principal y término constante de los siguientes polinomios: 1. P (x) = 3 + π5. el grado es 0; coeficiente principal es 3 + π2; término constante es 3 + π2. 2. P (x) = 3x+ π. El grado es 1, el coeficiente principal es 3 , término cons- 2 2 tante es π. 3. P (x) = −x3 + 2x2 + x− 5. 4. P (x) = 100x4. Básicamente la gráfica de un polinomio cuando la variable es lo suficientemente grande o suficientemente pequeña es como la de un polinomio cuadrático o un po- linomio cúbico. Más precisamente, si anxn es el término principal de un polinomio 205 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES entonces el comportamiento final puede ser descrito en una de las siguientes for- mas: Caso n par y an positivo Caso n par y an negativo Caso n impar y an positivo Caso n impar y an negativo Ejemplo 3.15.1. Comportamiento final de un polinomio Haga un bosquejo del comportamiento final del polinomio f(x) = x6−x5+4x3. Solución f(x) = x6 − x5 + 4x3 El grado es 6 (par), así que el comportamiento final es como el de un polinomio cuadrático. El coeficiente principal es 1 (positivo), es como una parábola que abre hacia arriba. 206 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS 15 10 5 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 (a) Comportamiento general (b) Gráfica de la función Figura 3.10: Comportamiento final de polinomios Con la entrada siguiente en WxMaxima, se obtienen los valores de las raíces al ser ejecutado. realroots(x^6-x^5+4*x^3); [x = −1.314596205949783, x = 0] Usar guía. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 3.15.2. Comportamiento final de un polinomio Haga un bosquejo del comportamiento final del polinomio f(x) = −3x4+2x3−3. Solución f(x) = −3x4 + x3 − 3 El grado es 4 (par), así que el comportamiento final es como el de un polinomio cuadrático El coeficiente principal es −3 (negativo), así que el comportamiento final es como el de una parábola que abre hacia abajo. 207 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES −1 −0.5 0.5 1 −2 −4 −6 (a) Comportamiento final (b) Gráfica Figura 3.11: Comportamiento final del polinomio del ejemplo Con WxMaxima (Usar guía. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. ) se determinan las raíces, resulta: realroots(-3*x^4+x^3-3); [] (% o4) El símbolo [] contempla que no presenta cortes con el eje x. Definición 3.15.2: Ceros de un polinomio Básicamente un “cero ” de un polinomio es cualquier número (real o imagina- rio) tal que al sustituirlo por la variable, el valor del polinomio es 0. Es decir c es un cero del polinomio P (x), si P (c) = 0. Para hallar los ceros de un polinomio P (x) = anx n + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0, se iguala P (x) = 0 y resolvemos a n 2nx + · · ·+ a2x + a1x+ a0 = 0. Esta es una tarea sencilla cuando el polinomio está factorizado. Ejemplo 3.15.3. Cero de un polinomio −5 es un cero de P (x) = x2 − 25 porque P (5) = (−5)2 − 25 = 25− 25 = 0. i es un cero de P (x) = x2 + 1 porque P (i) = i2 + 1 = −1 + 1 = 0. 208 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS Cuando los ceros son números reales estos corresponden a la intersección de la gráfica con el eje x. Ejemplo 3.15.4. Ceros de polinomios Halle los ceros del polinomio P (x) = 5(x− 2)(x− 2)(x− 2)(x+ 1)(x2 + 9). Solución Se resuelve 5(x− 2)(x− 2)(x− 2)(x+ 1)(x2 + 9) = 0, 5(x− 2) = 0 o x− 2 = 0 o x− 2 = 0 o x+ 1 = 0 o x2 + 9 = 0 x− 2 = 0/5 o x = 2 o x = 2 o x = −1 o x2 = −9 √ √ x = 2 o x = 2 o x = 2 o x = −1 o x2 = −9 x = 2 o x = 2 o x = 2 o x = −1 o x = ±3i, los ceros del polinomio son 2 (tres veces), −1, 3i y −3i. En vez de decir 2 (tres veces) se dirá 2 es un cero de multiplicidad 3. Observe que el polinomio P (x) = 5(x− 2)(x− 2)(x− 2)(x+ 1)(x2 + 9), puede escribirse como P (x) = 5(x− 2)3(x+ 1)(x2 + 1), la multiplicidad del cero x = 2 corresponde al exponente en (x− 2). Teorema. 3.15.1: Ceros y factores Considere el polinomio P (x) = a nnx + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0, r es una raíz de P si y solo si x − r es un factor del polinomio P , es decir, P (r) = 0 si y solo si P (x) = Q(x)(x − r) donde Q(x) es un polinomio que se obtiene al dividir P (x) entre x− r con residuo cero. El residuo de dividir el polinomio P (x) entre x− r es, P (r). Ejemplo 3.15.5. Raíz de un polinomio Verifique si r = 1 es una raíz del polinomio P (x) = x3 + x2 − 1. 209 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Solución Se hará de tres formas para mostrar las diferentes técnicas. 1. Evaluando directamente 1 en P , es decir, calculando P (1), P (1) = 13 + 12 − 1 = 1, se puede observar que P (1) no es cero y por tanto r = 1 no es raíz. 2. Probando si x− r = x− 1 es factor de P (x), es decir haciendo la división entre x− 1 y viend(o si es exacta. ) ( ) 3 2 − 1x + x 1 : x− 1 = x2 + 2x+ 2 + − 3 x− 1x + x2 2x2 − 2x2 + 2x 2x− 1 − 2x + 2 1 Se puede observar que la división tiene residuo 1 y por lo tanto no es exacta. 3. Probando si x− r = x− 1 es factor de P (x), es decir haciendo la división entre x− 1 y viendo si es exacta pero usando división sintética (método de Horner) 1 1 0 − 1 1 1 2 2 1 2 2 1 Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 3.15.6. División de polinomios Dividir el polinomio 2x3 + x2 − 8 entre x− 2. Solución ( ) ( ) 2x3 + x2 − 8 : x− 2 = 2x2 12+ 5x+ 10 + − 2x3 + 4x2 x− 2 5x2 − 5x2 + 10x 10x − 8 − 10x+ 20 12 210 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS Teorema. 3.15.2: Raíces de un polinomio con coeficientes enteros Considere el siguiente polinomio donde todos los coeficientes son enteros P (x) = a xnn + · · ·+ a x22 + a1x+ a0. Si el polinomio tiene raices racionales entonces, estas son de la forma p donde q p es un factor de a0 (término constante) y q es un factor de an (coeficiente principal). La manera de usar el teorema anterior es en combinación con la división sintética pa- ra probar las raíces. La razón es que todos los cocientes de la forma p que menciona q el teorema no son necesariamente raíces. Una vez que se ha encontrado una raíz, y continuar buscando las demás raíces se utiliza el cociente obtenido para repetir el proceso. Ejemplo 3.15.7. Raíz de un polinomio Halle las raíces racionales del polinomio P (x) = 8x4 − 20x3 + 16x2 − 10x+ 6. Solución Primero se hallan los posibles factores del término constante y del coeficiente princi- pal. Luego se hacen todas las posibles divisiones de factores del término constante entre factores del coeficiente principal 1. Factores del término constante, es decir, números que multiplicados, den 6. 6 = 3× 2 = −3×−2 = 1× 6 = −1×−6 Asi que los factores de 6 son {−6,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 6} lo cual se abrevia {±1,±2,±3,±6}. 2. Factores del término constante, es decir, números que multiplicados, den 8. 8 = 1× 8 = −1×−8 = 2× 4 = −2×−4 Asi que los factores de 6 son {−8,−4,−2,−1, 1, 2, 4, 8} lo cual se abrevia {±1,±2,±4,±8}. 3. Todas las posibles divisiones de los factores de 6 entre los factores de 8. Pro- baremos solo con algunas de ellas −6 = 6, −1− − = 1, −3 − = 3 1 1 2 2 Se probará con x = 6, 4 − 10 8 − 5 3 6 24 84 552 3282 . 4 14 92 547 3285 211 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Vemos que el residuo no es 0, por tanto x = 6 no es raíz. Ahora se probará con x = 1, 4 − 10 8 − 5 3 1 4 − 6 2 − 3 4 − 6 2 − 3 0 El residuo es cero por tanto x = 1 es raíz, p(x) = (x− 1)(4x3 − 6x2 + 2x− 3). Para probar la siguiente raíz 3= , se usa el polinomio 4x3 − 6x2 + 2x− 3 2 4 − 6 2 − 3 3 6 0 3 2 4 0 2 0 ( ) Como el residuo es 0, x = 3 es raíz y 4x3 − 6x2 + 2x− 3 = x− 3 (4x2 + 2) 2 2 El lector puede seguir probando y se dará cuenta que no hay más raíces ra- cionales. El polinomio puede escribirse como ( ) 3 P (x) = (x− 1)(4x3 − 6x2 + 2x− 3) = (x− 1) x− (4x2 + 2) 2 Como puede notarse, esta técnica de hallar raíces puede utilizarse para hacer factorizaciones de polinomios. En WxMaxima podemos hallar la factorización del polinomio. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Teorema. 3.15.3: Las raíces de un polinomio y su forma expandida Si r1, r2, · · · , rn son números que un polinomio tiene por raíces entonces el polinomio viene dado por P (x) = a(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn−1)(x− rn). El número a queda determinado por el intercepto en y del polinomio. 212 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS Ejemplo 3.15.8. Gráfica de polinomios Halle la ecuación del polinomio de la figura en la cual se muestran sus únicos ceros −3 −2 −1 1 2 3 −10 −12 −20 Solución Observe que x = −2, x = −1 y x = 3 son ceros del polinomio. La forma del polinomio es P (x) = a(x+ 2)(x+ 1)(x− 3) donde el intercepto en y es −12. El es decir −12 = P (0) = a(0 + 2)(0 + 1)(0 − 3) = a(2)(1)(−3) = −6a, es decir, −12 = −6a despejando a se obtiene a = 2. El polinomio es entonces P (x) = 2(x+ 2)(x+ 1)(x− 3) = 2x3 − 14x− 12. Teorema. 3.15.4: Multiplicidad par e impar de ceros Si (x− c)k, k ≥ 1, es un factor de un polinomio P (x) y (x− c)k+1 no es un factor entonces k es la multiplicidad del cero. Además si c es un número real, y 1. k es impar, entonces la gráfica cruza al eje x en el punto (c, 0). 2. k es par, entonces la gráfica es tangente (toca pero no cruza) al eje x en (c, 0). Ejemplo 3.15.9. Los ceros de un polinomio Halle los ceros del polinomio y diga la multiplicidad de cada cero. P (x) = x2(x+ 3)2(x− 2)(x+ 1)4. 213 3.15. FUNCIONES POLINÓMICAS CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Solución Las raíces del polinomio corresponden a P (x) = 0, así, se tiene: x2(x+ 3)2(x− 2)(x+ 1)4 = 0. x2 = 0 da un cero de multiplicidad, es cero. √ √ 6 x ̸2 = 0, x = 0. (x+ 3)2 = 0 da un c√ero de multiplicidad 2, es -3.√ 6 (x+ 3) ̸2 = 0, x+ 3 = 0, x = −3. x− 2 = 0 da un cero de multiplicidad 1, es 2. (x+ 1)4 = 0 da un c√ero de multiplicidad 4, es -1,√ 6 4 (x+ 1) ̸4 = 0, x+ 1 = 0, x = −1. Ejemplo 3.15.10. Ceros de un polinomio Halle los ceros del polinomio y diga la multiplicidad de cada cero. P (x) = x2(x+ 3)2(x− 2)(x+ 1)4. Solución Los ceros son 0 , −3, 2 y −1 En 0 la gráfica es tangente ( toca pero no cruza ) al eje x. Multiplicidad par. En −3 la gráfica es tangente ( toca pero no cruza ) al eje x. Multiplicidad par. En 2 la gráfica cruza al eje x. Multiplicidad impar. En −1 la gráfica es tangente ( toca pero no cruza ) al eje x. Multiplicidad par. Ejercicios 37. Determinar si las siguientes funciones son polinomiales o no: 1. 2y = x2 + 2x− 3 3. x + x+ 1 5. y = πx 5 y = + x 2 + 5 x √ 2. f(x) = 2 + π 4. y = x2 + 1 6. Y = 2xπ + x2 + 1 Encontrar los ceros de los siguientes polinomios: 214 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.16. MODELOS DE REGRESIÓN POLINOMIAL Y = KXM 1. y = x2 − 2x− 3 3. y = x3 − 2x2 − x+ 2 2. y = x3 − 6x2 + 11x− 6 4. P (x) = 6x2 − 6x− 4 Graficar los siguientes polinomios: 1. y = x3 − 2x2 − 3x 3. y = x− x3 5. P (x) = πx3 + x2 + 6 2. y = x4 − x 4. f(x) = x2 + 1 6. P (x) = 6 + 32 − 5x3 Ver guía. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. 3.16. Modelos de regresión polinomial y = kxm Ciertos datos empíricos pueden explicarse asumiendo que la variable dependiente observada es una función potencia de la variable independiente x. Es decir, el fe- nómeno está descrito por un modelo matemático de la forma y = kxm, donde k y m son constantes. Si se aplica ln a ambos lados se obtiene ln y = m ln x + ln k. Un experimentador puede graficar valores de ln y contra valores de ln x. Si la función del modelo es válida, los puntos deberán estar en una linea recta de pendiente m y con el intercepto en y dado por ln k. Ejemplo 3.16.1. El ritmo cardiaco R (en pulsaciones por minuto) y el peso W (en libras) de varios mamíferos fueron medidos, con los resultados siguientes W 25 67 127 175 240 975 R 131 103 88 81 75 53 Halle una relación para las dos magnitudes de la forma R = kWm. Estime el número de pulsaciones por minuto para un mamífero de 400 libras. Solución Puesto que ya se tiene idea del modelo buscado se hace una regresion lineal con base en los logaritmos de la tabla dada. La recta de regresión tendra la forma y = β̂x+ α̂ donde ln k = α̂ y k = eα̂, con m = β̂. lnW 3.2189 4.20 4.8442 5.1647 5.4806 6.8824 lnR 4.8751 4.6347 4.47737 4.3944 4.3174 3.9702 Vemos que los datos experimentales no están exactamente en una línea recta pero si se aproximan bastante ( ver Figura 3.12a). 215 3.16. MODELOS DE REGRESIÓN POLINOMIAL Y = KXM CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES W R lnW lnR Wi −W Ri −R (Wi −W )(Ri −R) (Wi −W )2 25.000 131.000 3.219 4.875 -1.747 0.430 -0.752 3.052 67.000 103.000 4.205 4.635 -0.761 0.190 -0.144 0.579 127.000 88.000 4.844 4.477 -0.122 0.032 -0.004 0.015 175.000 81.000 5.165 4.394 0.199 -0.050 -0.010 0.040 240.000 75.000 5.481 4.317 0.515 -0.127 -0.066 0.265 975.000 53.000 6.882 3.970 1.917 -0.475 -0.910 3.673 Promedio Promedio Suma Suma 268.167 88.500 4.966 4.445 -1.885 7.624 Entonces m = −0, 247300105532108 y ln k = 5.67299195974704 de donde k = e5.67299195974704 = 290, 903605508473. De modo que la relación buscada es R = 290.9036W−0.24730. La gráfica de los puntos originales y la curva estimada puede verse en la Figura 3.12b. lnR R 5.5 120 5 100 80 4.5 ln 604 W W 2 4 6 200 400 600 800 . (a) Recta de ajuste de datos lnR = m lnW + ln k (b) Datos y curva R = kWm Figura 3.12: Curva de ajuste Aunque no se midió el número de pulsaciones para un peso de 400 libras (W = 400) es posible deducir cual será el número de pulsaciones, usando el modelo R = 292.22W−0.24799. El número estimado de pulsaciones por minuto es R(400) = 292.22(400)−0.24799 = 66.134. En Excel, LibreOffice u otros programas estadísticos pueden hacerse este tipo de regresiones. El ejemplo anterior es un caso particular de una regresión polinomial. Ejercicios 38. 1. Encuentre el polinomio que tenga las siguientes características: a) xi 0 2 3 5 7 yi -1 0 2 1 -17 216 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES b) xi 1 2 0 3 yi 3 2 -4 5 c) xi -2 -1 0 1 2 3 yi -5 1 1 1 7 25 2. Un deportista cronometra los siguientes datos de su recorrido: Tiempo (seg) 0 3 5 8 Distancia (m) 0 225 383 623 Determine el polinomio que mejor simula su movimiento. 3.17. Operaciones entre funciones Una forma de obtener nuevas funciones es combinando unas con otras, debido a que las funciones tienen las propiedades algebraicas de los números reales, podemos desarrollar suma, resta, multiplicación y división de funciones, solo basta definir cada una de estas operaciones. Sean f y g dos funciones con dominio que se intersecan; entonces para todos los valores de x que se encuentran en la intersección, las combinaciones algebraicas de f y g están definidas mediante las siguientes condiciones: Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Diferencia: (f − g)(x) = f(x)− g(x). Producto: ((fg))(x) = f(x)g(x). Cociente: f f(x)(x) = , siempre que g(x) 6= 0. g g(x) Composición: (f ◦g)(x) = f(g(x)). Siempre que el dominio de f interseque el rango de g. 3.17.1. Suma Si f y g son funciones definidas en los dominios D(f) y D(g) respectivamente se define la suma de f y g, notada f + g, en el dominio D(f) ∩D(g) como (f + g)(x) = f(x) + g(x). Ejemplo 3.17.1. Suma y dominio de una función √ Halle la función suma y su dominio si f(x) = 1− x y g(x) = log(x+ 3). 217 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Solución Vemos que el máximo dominio de f es D(f) = (−∞, 1] correspondiente a 1− x ≥ 0. El máximo dominio d g es D(g) = (−3,∞) correspondiente a x + 3 > 0. El dominio de la suma es entonces D(f) ∩D(g) = (−∞, 1] ∩ (−3,∞) = (−3, 1]. −3 1 La consideración del dom√inio es muy im√portante. El ejemplo siguiente lo ilustra. Da- das las funciones f(x) = x y g(x) = − x se tiene que el máximo dominio es [0,∞). La suma es √ √ (f + g)(x) = x+ (− x) = 0. Observe que a primera vista parece que la suma es la función constante 0 y que estaría definida para todo x en los reales y que podría hacerse (f + g)(−5) = 0. No obstante, el 0 anterior no puede obtenerse de las funciones que se suman ya que para x = −5 , f(−5) y g(−5) existen como números reales, Es claro que −5 no está en el dominio de la suma que es [0,∞). Ejercicios 39. 1. Calcular la suma de las siguientes 5. Calcular la suma de las siguientes funciones: funciones: f(x) = 3x+ 1 x+ 2f(x) = x− 3 g(x) = −x+ 5 x− 1 2. Calcular la suma de las siguientes g(x) = 2x− 3 funciones: 6. Calcular la suma de las siguientes f(x) = 1/(x− 1) √ funciones: g(x) = x x2 − 1 f(x) = 3. Calcular la suma de las siguientes x− 1 funciones: 4x2 + 4 g(x) = 2 f(x) = x+ 3 2x − 8 g(x) = x2 + 2x− 3 7. Calcular la suma de las siguientes funciones: 4. Calcular la suma de las siguientes 2 funciones: 4x + 4f(x) = 2x2 + 8 f(x) = −x2 + 5x− 4 4x2 + 4 g(x) = x3 − 6x2 + 8x g(x) = 2x2 − 8 218 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 3.17.2. Resta Si f y g son funciones definidas en los dominios D(f) y D(g) respectivamente se define la resta de f y g, notada f − g, en el dominio D(f) ∩D(g) como (f − g)(x) = f(x)− g(x). Las condiciones de la suma aplican también para la resta de funciones. Ejemplo 3.17.2. Resta y dominio de una función √ Sea h(x) = x2 y p(x) = x− 1, determine h− p y proporcione su dominio. Solución Dado que h presenta dominio en todos los reales y p dominio en [1,∞), así, se tiene que: √ (h− p)(x) = h(x)− p(x) = x2 − x− 1 Con dominio en [1,∞), que es la intersección de los dos dominios de las funciones. Ejercicios 40. 1. Calcular la resta de las siguientes f(x) = 2(3x− 1) + 7 funciones: g(x) = 8x− (3− 2x) f(x) = x+ 7 5. Calcular la resta de las siguientes g(x) = 7x− 2 funciones: 2. Calcular la resta de las siguientes f(x) = −(4x− 6) + 9 funciones: g(x) = 7x− (1− 6x) f(x) = 13x+ 2x− 6 6. Calcular la resta de las siguientes g(x) = x+ 3− 5 funciones: 3. Calcular la resta de las siguientes f(x) = 3x− 1 funciones: g(x) = 2(x− 1) f(x) = x+ 3− 5 7. Calcular la resta de las siguientes g(x) = 4x− 12 funciones: 4. Calcular la resta de las siguientes f(x) = 7− 6(x− 1) funciones: g(x) = 7 + 2(7x− 4) 219 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17.3. Multiplicación Si f y g son funciones definidas en los dominios D(f) y D(g) respectivamente se define el producto de f y g, notada fg, en el dominio D(f) ∩D(g) como (fg)(x) = f(x)g(x). Ejemplo 3.17.3. Multiplicación de funciones √ Sea m(x) = x y j(x) = 2x+ 1 dos funciones, determine mj. Solución Dado que el dominio de m es [0,∞) y el dominio de j son todos los números reales, así la intersección es [0,∞), por lo que el producto se definirá en este dominio: √ √ √ (mj)(x) = m(x) · j(x) = x(2x+ 1) = 2x x+ x Con dominio en [0,∞). Ejercicios 41. Multiplicación de funciones. 1. Calcular la multiplicación de las si- g(x) = 2m guientes funciones: − − − − 5. Calcular la multiplicación de las si-f(x) = 3[2 (3x 6)] 4(1 2x) guientes funciones: g(x) = 4− 5x f(x) = 1/(x− 1) 2. Calcular la multiplicación de las si- 2 guientes funciones: 4x + 4g(x) = 2x2 − 8 f(x) = 2(x+ 2)− 5(2x− 3) 6. Calcular la multiplicación de las si- g(x) = 3x guientes funciones: 3. Calcular la multiplicación de las si- f(x) = −x2 + 5x− 4 guientes funciones: g(x) = 4x− 12 f(x) = 21− [5x− (3x− 1)] g(x) = 5x− 12 7. Calcular la multiplicación de las si- guientes funciones: 4. Calcular la multiplicación de las si- guientes funciones: f(x) = −x2 + 5x− 4 f(x) = 2− 2m+ [2m− (2−m)] g(x) = x3 − 6x2 + 8x 220 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 3.17.4. División Si f y g son funciones definidas en los dominios D(f) y D(g) respectivamente se define la suma de f y g, notada f/g, en el dominioD(f)∩D(g)−{x : g(x) 6= 0} como (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) 6= 0. Ejemplo 3.17.4. División de funciones Sean f(x) = sen x+ x y g(x) = (sen x+ x)/(x+ 5) determine f/g. Solución Dado que el dominio de f son todos los números reales y el dominio de g son todos los números reales a ex(cep)ción de x = −5, así que: f f(x) sen x+ x (x) = = = x+ 5 g g(x) sen x+ x x+ 5 Con dominio de todos los reales a excepción de x = −5. En la siguiente guía encontrará las condiciones para realizar el proceso algebraico entre funciones. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejercicios 42. División de funciones. 1. Calcular la división de las siguien- 5. Calcular la división de las siguien- tes funciones: tes funciones: f(x) = 1/(x− 1) √ f(x) = 1/(x− 1) g(x) = x 4x2 + 4 g(x) = 2. Calcular la división de las siguien- 2x2 − 8 tes funciones: 6. Calcular la división de las siguien- f(x) = 3x− 1 tes funciones: g(x) = 2(x− 1) x+ 2f(x) = x− 3 3. Calcular la división de las siguien- tes funciones: x− 1g(x) = 2x− 3 f(x) = −(4x− 6) + 9 g(x) = 7x− (1− 7. Calcular la división de las siguien-6x) tes funciones: 4. Calcular la división de las siguien- 4x2 + 4 tes funciones: f(x) = 2x2 + 8 f(x) = 2(x+ 2)− 5(2x− 3) 4x2 + 4 g(x) = g(x) = 3x 2x2 − 8 221 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17.5. Traslaciones Definición 3.17.1: Traslaciones verticales Dada la función f(x), la gráfica de la función y = f(x)+k consiste de la gráfica de f(x) trasladada k unidades hacia arriba si k > 0 y |k| unidades hacia abajo si k < 0. Ejemplo 3.17.5. Traslación vertical Basado en la gráfica de f(x) = x2, realice los siguientes traslados: (a) Un traslado de dos unidades hacia arriba y escriba la fórmula de la nueva función. (b) Un traslado de dos unidades hacia abajo y escriba la fórmula de la nueva función. Solución f(x) = x2 + 1 f(x) = x2 f(x) = x2 − 2 Definición 3.17.2: Translación horizontal Dada la función f(x) la gráfica de la función y = f(x−h) consiste de la gráfica de f(x) trasladada h unidades a la derecha si h > 0 y h unidades a la izquierda si h < 0. 222 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES Ejemplo 3.17.6. Traslación horizontal Basado en la gráfica de f(x) = x2, realice los siguientes traslados: (a) Un traslado de dos unidades hacia la derecha y escriba la fórmula de la nueva función. (b) Un traslado de dos unidades hacia la izquierda y escriba la fórmula de la nueva función. Solución f(x) = x2 f(x) = (x+ 2)2 f(x) = (x− 1)2 Las dos operaciones pueden combinarse en una sola, dada f(x) la expresión f(x− h) + k, representa y traslación horizontal de |h| unidades horizontales y |k| unidades verticales. Ejemplo 3.17.7. Traslación A continuación se da la gráfica de f(x) = x3 y la gráfica de una traslación. Halle la expresión para ella. 223 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 1 −1 1 2 3 −1 −2 Solución Para hacer este tipo de ejercicios se busca verificar que la gráfica dada se pueda obtener por traslaciones y luego se toma un punto de referencia. Se determina cuánto ha sido el movimiento horizontal y el vertical de este punto. Si el punto de referencia es (x0, y0) y se movió al punto (x1, y1) entonces |x0 − x1| es el traslado horizontal y |y0 − y1| es el traslado vertical. El signo se coloca de acuerdo a si el movimiento ha sido hacia arriba o hacia abajo. Si en este ejemplo se toma como punto de referencia al punto (0, 0) notamos que se han movido dos unidades a la derecha y una unidad hacia abajo. Por tanto la función trasladada tiene la forma f(x) = (x− 2)3 − 1. Ejercicios 43. Translación de funciones 1. Traslade las siguientes funciones de acuerdo al k indicado (verticalmente): f(x) = 2x3, k = 1 f(x) = sen x+ π, k = 1/2 f(x) = ex+2, k = −2 2. Traslade horizontalmente las siguientes funciones de acuerdo al h indicado: f(x) = 2x4 + x2 − 5x, h = 2 f(x) = ex+1 + 5, h = −3 f(x) = ln(x2 − x), h = −1/2 = sen x3 π f(x) = , h = x2 − 4 4 3. Combine la traslación vertical y horizontal para las siguientes funciones, re- cuerde que puede usar software para hacer las gráficas: f(x) = 2x3 − 3x2 + x− 1, con h = 2 y k = 3 x2 − 5 f(x) = , con h = 1/2 y k = 4/3 x3 + 1 224 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 3.17.6. Reescalamientos y reflexiones Re-escalamiento Sea c > 0 y considere la gráfica de y = f(x). (a) Podemos trasladar a la derecha a f(x), de la forma f(x− c). (b) Podemos trasladar arriba la función f(x) de la forma f(x) + c. (c) Podemos expandir la función f(x), de la siguiente forma f(cx). Nota El estudio que se hizo para la función cuadrática completando cuadrados, dice básicamente que una función cuadrática que tiene la forma estándar f(x) = a(x − h)2 + k se puede obtener por traslación vertical, horizontal o reescalamiento de la función f(x) = x2. En conveniencia con las diferentes modificaciones que se le aplique a la función base, podemos lograr una correspondencia entre funciones, o bien sea una aproxi- mación adecuada de cierta curva. x y 0 0 g(x) = 0.9 · 2x − 1 0.7 0.2 1.2 0.8 f(x) = 0.65x2 − 1 1.6 1.8 2 2.2 2.3 3.5 Con respecto a la representación que pueden tener los puntos con respecto a una función adecuada, se puede apreciar que tiene la forma parabólica o bien para este caso se puede apreciar una exponencial. Definición 3.17.3: Reflexión Suponga que se tiene la gráfica de la función f(x), entonces las gráficas de −f(x) y f(−x), representan las gráficas de f(x) reflejada con respecto al eje x y la reflexión con respecto al eje y respectivamente. 225 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES y f(−x) f(x) x −f(x) Ejercicios 44. Gráficar las reflexiones en el eje x y en el eje y de las siguientes funciones: √ 1. f(x) = 3x2 + 1 3. f(x) = 2x 5. f(x) = x− 1 + 1 2 2. f(x) = sen x+ 1 4. ln x 6. f(x) = x− 2 3.17.7. Composición de funciones Existen maneras diferentes a las algebraicas de combinar funciones. Si f : A → R y g : C → R de tal manera que el conjunto de valores de la función g está contenido en el dominio de f se define la composición de f y g como la función f ◦ g que va desde A hasta R, f ◦ g : C → R, como (f ◦ g)(x) = f(g(x)). (3.4) El símbolo f ◦ g se lee f compuesto g. La expresión f(g(x)) significa que la variable en la función f debe ser reemplazada por la expresión g(x). Recordemos de clases anteriores que las variables pueden verse como contenedores, desde este punto de vista el contenedor de la variable de f debe ser llenado con la expresión de g. La función g actúa primero y le envía su resultado como variable a la función f. g f ran g ⊂ A C R f ◦ g 226 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES El máximo dominio de la composición está determinado por los valores del dominio de la función g que tienen sus imágenes en el dominio de la función f. Ejemplo 3.17.8. Composición de funciones Considere las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = x+ h. Determine: (a) f ◦ g (b) g ◦ f. Solución Primero observe que el máximo dominio de f es todo R y el máximo dominio de g es todo R. f( ) = 2 + 1, g( ) = + h (a) Los valores que toma g son todos números reales los cuales están todos inclui- dos en el dominio de f , que son todos los reales, así que el máximo dominio de la composición es todo R. ( ) ( )2 (f ◦ g)(x) = f g(x) = g(x) + 1 = (x+ h)2 + 1 (b) Los valores que toma f son todos números reales los cuales están todos inclui- dos en el dominio de g , que son todos los reales, así que el máximo dominio de la composición es todo R(. ) ( ) (g ◦ f)(x) = g f(x) = f(x) + h = x2 + 1 + h. Se pueden componer más de dos funciones usando el mismo principio, por ejemplo, (f ◦ g ◦ h)(x) = f((g ◦ h)(x)) = f(g(h(x))). Ejemplo 3.17.9. Composición de funciones Determine las composiciones indicadas dadas las siguientes funciones: ln x x+ 1 1f(x) = x, g(x) = e , h(x) = , s(x) = x− 1 x (a) f ◦ g y g ◦ f (c) g ◦ h y h ◦ g (e) f ◦ h ◦ s (b) f ◦ h y h ◦ f (d) h ◦ s y s ◦ h Solución (a) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = ln(g(x)) = ln (ex) = x (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = ef(x) = elnx = x. 227 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES (b) ( ) x+ 1 (f ◦ h)(x) = f(h(x)) = ln(h(x)) = ln x− 1 ◦ f(x) + 1 ln x+ 1(h f)(x) = h(f(x)) = = f(x)− 1 ln x− 1 (c) x+1 (g ◦ h)(x) = g(h(x)) = eh(x) = ex−1 g(x) + 1 ex + 1 (h ◦ g)(x) = h(g(x)) = = g(x)− 1 ex − 1 (d) 1 1 + x s(x) + 1 + 1 1 + x (h ◦ s)(x) = h(s(x)) = = x = x = s(x)− 1 1 − 1− x 1− x1 x x (s ◦ 1 1 x− 1h)(x) = s(h(x)) = = = h(x) x+ 1 x+ 1 x− 1 ( ) (e) Observe que (f ◦h◦s)(x) = f (h◦s)(x) . Se calcula primero h◦s. Esto se hizo anteriormente, (h ◦ 1 + xs)(x) = . Ahora, 1− x ( ) ( ) ( ) ◦ ◦ 1 + x(f h s)(x) = f (h ◦ s)(x) = ln (h ◦ s)(x) = ln . 1− x También es importante saber qué funciones se compusieron para obtener una fun- ción dada. Es decir, revertir el proceso de la composición. Ejemplo 3.17.10. Composición de funciones En cada caso se compusieron las funciones f y g para obtener la función h(x), es decir, f ◦ g = h. Determine f y g √ (a) h(x) = x+ 1 (c) 1h(x) = x2 + 1 (b) 2h(x) = ex +1 228 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES Solución √ √ √ (a) f(x) = x y g(x) = x+ 1, porque (f ◦ g)(x) = g(x) = x+ 1. (b) Existen varias opciones en este caso (1) 2f(x) = ex+1 y g(x) = x2 porque (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = eg(x)+1 = ex +1. (2) 2f(x) = ex y g(x) = x2 + 1 porque (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = eg(x) = ex +1. (c) Existen varias opciones en este caso (1) 1f(x) = y g(x) = x2 porque (f ◦ 1 1g)(x) = f(g(x)) = = . x+ 1 g(x) + 1 x2 + 1 (2) 1f(x) = y g(x) = x2 + 1 porque 1 1(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = = . x g(x) x2 + 1 Ejemplo 3.17.11. Composición de funciones Considere las siguientes tablas de valores de las funciones de f y g. x -1 0 7 x -1 10 1 f 10 7 4 g -1 7 3 Indique cual de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos. a) (f ◦ g)(10) = 4 b) (f ◦ g)(−1) = 10 c) (g ◦ f)(−1) = 7 d) (f ◦ g)(0) = 3 Solución a) (f ◦ g)(10) = f(g(10)) = f(7) = 4 verdadero. b) (f ◦ g)(−1) = f(g(−1)) = f(−1) = 10 Verdadero. c) g ◦ f)(−1) = g(f(−1)) = g(10) = 7 verdadero. d) (f ◦ g)(0) = f(g(0)); como g(0) no está definida, por lo que es falso. 229 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Ejercicios 45. Composición de funciones. 1. Dadas las siguientes funciones: c) g ◦ g ◦ f a) f(x) = 3x+ 2 d) h ◦ f ◦ g b) x+ 3g(x) = 3. Dadas las funciones: 2x+ 1 x+ 2 Calcular: a) f(x) = √2x+ 1 a) g ◦ f b) g(x) = x b) f ◦ g Calcular: 2. Dadas las funciones: a) g ◦ f 1 a) f(x) = b) f ◦ g 2x− 1 2x− 1 4. Dadas las funciones: b) g(x) = 2x+ 1 a) f(x) = sen2 x c) 1h(x) = x b) g(x) = cot 2 5x Calcular: Calcular: a) g ◦ f a) g ◦ f b) f ◦ g b) f ◦ g Ejemplo 3.17.12. Operación con funciones √ Dadas las funciones f(x) = sen(x) + 3x2 y g(x) = x3 − x− 1, determine el resultado de las siguientes operaciones: a) (f + g)(x) c) ((g −)f)(x) e) (f ◦ g)(x) f b) (f · g)(x) d) (x)g Solución a) Para los x ≥ 1 √ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = sen(x) + 3x2 + x3 − x− 1 √ = x3 + 3x2 + sen(x)− x− 1 230 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES b) Para los x ≥ 1 √ (f · g)(x) = f(x) · g(x) = (sen(x) + 3x2)(x3 − x− 1) √ √ = x3 sen(x)− sen(x) x− 1 + 3x5 − 3x2 x− 1 c) Para los x ≥ 1 √ (g − f)(x) = g(x) + f(x) = x3 − x− 1− (sen(x) + 3x2) √ = x3 − 3x2 − sen(x)− x− 1 d) Para los x ≥ 1 y x 6= 2 ( ) f f(x) sen(x) + 3x2 (x) = = √ g g(x) x3 − x− 1 e) Para los x ≥ 1 √ √ √ (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x3 − x− 1) = sen(x3 − x− 1) + 3(x3 − x− 1)2 Ejercicios 46. Sean las funciones f(x) = 2x− 1 y g(x) = x+ 2 Determina las funciones: 1. f + g 3. f · g 5. g ◦ f f 2. f − g 4. g 6. (f + g) · f √ √ Sean las funciones h(x) = x− 4 y t(x) = 2x+ 3 + 4 Determina las funciones: a. h+ t c. h · t e. h ◦ t b. h− t d. h t f. h · t · h 3.17.8. Inversa de una función La función inversa tiene muchas aplicaciones, por ejemplo: Se conoce una relación para transformar grados Celsius a grados Farenheit. Cuando se usa la formula de transformar los grados Farenheit a grados Celsius se está usando la función inversa. Se sabe que para un tiempo dado t el número de individuos es P (t). En algunos casos es más útil poder predecir en que tiempo t la población alcanzará cierto número, es decir, se debe calcular el tiempo en función de P, algo como t(P ). 231 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Algunas veces para denotar la inversa se usan notaciones alternativas. Por ejemplo si y = f(x) entonces se escribe x = f−1(y), o si se tiene P (t) la inversa, en caso que exista, se escribe t(P ). La función identidad, notada I(x), es la que asigna a cada x el mismo valor de x. Es decir, I(x) = x. Definición 3.17.4: Función inversa Una función f biyectiva de dominio A es inversa de la función g de dominio B si cumple las siguientes condiciones: (a) f ◦ g da la función identidad en B, es decir, si f ◦ g = IB, o más precisa- mente, (f ◦ g)(x) = x para todo x ∈ B y (b) (g◦f)(x) = x da la identidad enA, es decir, g◦f = IA omás precisamente (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ A. La inversa de f se denota f−1. Se deduce inmediatamente de la definición que el dominio de la función inversa es el rango de la función inicial. Se tiene además que la gráfica de la función inversa pue- de obtenerse de la gráfica de la función original mediante una reflexión sobre la recta y = x. El recíproco también es cierto. Cuando la función es inyectiva, siempre pue- de definirse la inversa en el rango de la función. Como las funciones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes son inyectivas, este tipo de funciones tienen inversas. Ejemplo 3.17.13. Función inversa Verifique que f(x) = 2x + 1 y xg(x) = − 1 son funciones inversas una de la 2 2 otra. Solución Se debe comprobar que (f ◦ g)(x) = x y (g ◦ f) = x. (a) (f ◦ g)(x) =(f (g(x))) = 2g(x) + 1 x − 12 + 1 = x− 1 + 1 = x 2 2 232 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES (b) (g ◦ f(x) 1f)(x) = g(f(x)) = − 2 2 2x+ 1 − 1 2x+ 1− 1= = 2 2 2 2x = = x 2 Para denotar la inversa de una función f se usa el símbolo f−1. Cuando esto ocurre la expresión en la parte superior NO significa que es un exponente. Más claramente, si f−1 significa la inversa de f entonces f−1 6= 1 . f En el ejemplo precedente se pudo haber escrito f(x) = 2x+ 1 y f−1(x) = x − 1 . 2 2 Existe un procedimiento que permite hallar la inversa de una función si la regla no es muy compleja. Se asume que la función está dada por la expresión f(x) o y = f(x). (1) Sustituya f(x) por y si es necesario. (2) Intercambie las posiciones de x y y en la expresión resultante en el paso ante- rior. (3) Despeje y. (4) Reemplace y por f−1(x) si es requerido. Ejemplo 3.17.14. Función inversa Existe una relación muy estrecha entre la gráfica de una función f y su inversa. La gráfica de una función es simétrica a la gráfica de su inversa con respecto a la recta y = x. Halle la inversa de 1f(x) = . x Solución Hacemos y = 1 , se intercambian 1x y y, x = para obtener 1yx = 1 o y = .. Es decir x y x 1 f−1(x) = . Se tiene entonces que la inversa de 1f(x) = es la misma función. x x Ejemplo 3.17.15. Inversa de una función Halle la inversa de f(x) = x2. Observe que el rango de x2 que es [0,∞) se convierte en el dominio de la inversa así que x ≥ 0 en el dominio de la inversa. Se intercambian x y y, x = y2√ y se despeja y, para obtener f−1(x) = x. 233 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES √ ¿Por qué no escoger − x como inversa? f(x) = x2 − √f 1(x) = x Figura 3.13: Gráfica f(x) = x2 y su inversa Ejemplo 3.17.16. Función inversa Halle la inversa de y = 2x−1. Grafique y y su inversa en el mismo sistema de coordenadas. Solución Considere y = 2x−1. Al intercambiar y y x se obtiene x = 2y−1, y con la definición de logaritmo se obtiene: log2 x = y − 1. De aquí se obtiene y = 1 + log2 x. 234 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES y = 2x−1 y = 1 + log2(x) Algunas veces la función está definida de unamanera que no permite hallar la inversa en todo su dominio. En estos casos aún pueden encontrase inversas si se restringen los dominios. Ejemplo 3.17.17. Funcion inversa Halle la función inversa de a) 3x+ 1f(x) = b) −7x+ 1f(x) = . x+ 1 x− 6 235 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Solución Siguiendo el procedimiento sugerido para hallar la inversa a) b) 3x+ 1 −7x+ 1 y = y = x+ 1 x− 6 3y + 1 −7y + 1 x = x = y + 1 y − 6 x(y + 1) = 3y + 1 x(y − 6) = −7y + 1 xy + x = 3y + 1 xy − 6x = −7y + 1 xy − 3y = 1− x xy + 7y = 1 + 6x y(x− 3) = 1− x y(x+ 7) = 1 + 6x 1− x 6x+ 1 y = − y =x 3 x+ 7 1− x 6x+ 1 f−1(x) = − f −1(x) = x 3 x+ 7 Ejemplo 3.17.18. Función inversa Halle la función inversa de y = x2 − 1. Solución Observe que el dominio de x es el conjunto de todos los números reales y su rango es [1,∞). Además la función inicial tiene valores negativos o cero, es decir, y = x2 − 1 ≤ 0 en [−1, 1] y positivos o cero en (−∞, 1] ∪ [1,∞). La gráfica puede verse en la figura 3.14a. Como y = x2 − 1 se intercambian x y y, obteniéndose, x = y2 − 1. Despejando y se obtiene, x+ 1 = y2. Existen dos expresiones para y que dan x+ 1. √ Una es y = ± x+ 1. En ambos casos se requiere x ≥ −1. Entonces la inversa existe si x ≥ −1. Como la inversa es una función, esta no puede tener dos valores diferentes para un mismo x. √ De estas dos partes, la que produce valores negativos o cero e√s y = − x+ 1, ver figura 3.14b La que produce valores positivos o cero es y = x+ 1, ver figura 3.14b. Entonces esta es la inversa si se considera la parte de la gráfica inicial en (−∞, 1] ∪ [1,∞). En general se considera la parte de dominio más grande para la in√versa, y por esta razón, se considera que en [1,∞) la inversa de y = x2 − 1 es y = x+ 1. 236 CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 15 10 5 y = x −4 −2 2 4 6 8 (a) 15 10 5 y = x −4 −2 2 4 6 8 (b) Figura 3.14: Gráfica de f(x) = x2 − 1 y su inversa Ejemplo 3.17.19. Función inversa rt Halle la función inversa de Kef(t) = donde K,P0 y r son cons- K + P0(ert − 1) tantes distintas de cero. Solución Kert ry y = intercambiando y y t, Ket = Se despeja y K + P (ert0 − 1) K + P ry0(e − 1) 237 3.17. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES CAPÍTULO 3. RELACIONES Y FUNCIONES Kery t = K + P ry0(e − 1) t(K + P ry0(e − 1)) = Kery 5 t(K + P ert0 − P ) = Kery0 tK + tP ert0 − tP0 = Kery tP ry0e −Kery = tP0 − tK ery(tP0 −K) = t(P −K) −10 −5 50 ery(tP0 −K) = t(P0 −K) ry t(P0 −K) −5e = tP(0 −K ) ln t(P( 0 −K) ry = tP −K ) −100 1 y = ln t(P0 −K) r ( tP −K) Gráfica de la función y su inversa0 para K = 5, r = 1/2, P0 = 2 ln t(P0 − 1/r K) y = tP0 −K Ejercicios 47. Composición de funciones Verifique que se cumplen las siguientes composiciones. (f−1 ◦ f)(x) = x, (f ◦ f−1)(x) = x Para cada una de las siguientes funciones: 1. f(x) = 2x+ 1 6. 1f(x) = x 2. 2x− 3f(x) = 4 7. 2x− 1f(x) = 2x+ 1 3. x+ 3f(x) = √ x− 2 8. f(x) = x √ 4. f(x) = x2 9. f(x) = 3 x− 1 5. 2x+ 3 10. 1f(x) = f(x) = x− 1 2x− 1 Dadas las funciones f y g, determine las composiciones f ◦ g y g ◦ f : √ 11. f(x) = x2 + 3 y g(x) = x− 3 13. sin x 1f(x) = y g(x) = √ x3 + 5 x+ 1 12. f(x) = x2 + 3x y g(x) = x2 − 3 238 Capítulo 4 Trigonometría 4.1. Relaciones trigonométricas de ángulos Considere un triángulo de vértices A B C que es rectángulo en A. Los segmentos AB y AC se llaman catetos respecto al ángulo recto BAC. El segmento BC se llama hipotenusa. En este triángulo se cumple el teorema de Pitágoras que establece que el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. De acuerdo a la figura 4.1, a2 = b2 + c2. En un triángulo rectángulo los ángulos que no son rectos son agudos. Un cateto es adyacente a un ángulo determinado si hace parte de los lados que determinan el ángulo. El cateto que no es adyacente al ángulo se llama cateto opuesto respecto del mismo ángulo. Considere el triángulo rectángulo de la figura C α α hipotenusa a b cateto opuesto a θ γ θ θB A c A adyacente a θ Figura 4.1: Elementos de un triángulo rectángulo El ángulo ÂBC = θ tiene por cateto adyacente al segmentoAB y como cateto opues- to al segmento AC. El ángulo B̂CA = α tiene como cateto adyacente al segmento AC y como cateto opuesto el segmento AB. 239 4.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Definición 4.1.1: Para un ángulo agudo β de un triángulo rectangulo se definen las relaciones trigonométricas como Seno de β = sen cateto opuesto de ββ = hipotenusa Coseno de cos cateto adyacente de ββ = β = hipotenusa Tangente de tan cateto opuesto de ββ = β = cateto adyacente de β Cotangente de cot cateto adyacente de ββ = β = cateto opuesto de β Secante de sec hipotenusaβ = β = cateto adyacente de β Cosecante de β = csc hipotenusaβ = cateto opuesto de β En la figura 4.1 se tiene sen cateto opuesto de θ b cateto opuesto de α cθ = = senα = = hipotenusa a hipotenusa a cos cateto adyacente de θ c cos cateto adyacente de α bθ = = α = = hipotenusa a hipotenusa a tan cateto opuesto de θ b tan cateto opuesto de α cθ = = α = = cateto adyacente de θ c cateto adyacente de α b cot cateto adyacente de θ c cot cateto adyacente de α bθ = = α = = cateto opuesto de θ b cateto opuesto de α c sec hipotenusa a sec hipotenusa aθ = = α = = cateto adyacente de θ c cateto adyacente de α b csc hipotenusa a csc hipotenusa aθ = = α = = cateto opuesto de θ b cateto opuesto de α c Para indicar las potencias se usa una notación especial. Para indicar (sen θ)n se usa senn θ y lo mismo se usa con el resto de las relaciones. 240 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS C α a b θ c BA Estas relaciones no son todas independientes. Se tienen sen θ b b = ac = = tan θcos θ c a cos θ ca c= = = cot θ sen θ b b a 1 1 a = = = csc θ sen θ b b a 1 1 a = (c =) = sec θcos θ ca 2 ( )2 2 2 sen2 θ + cos2 b c b cθ = + = + ︷ a︸︸ a a 2 a2 a2 ︷ b2 + c2 a2 = = = 1. a2 a2 Ejemplo 4.1.1. Relaciones trigonométricas de 450 Determine las relaciones trigonométricas para un ángulo de 45◦. Solución C 45◦ Este es un triangulo isósceles por te- ner dos ángulos congruentes. En este √ triangulo b = c y b a = 2b a2 = b2 + c2 = b2 + b2 = 2b2. √ √ √ ◦ Por tanto a = 2 b2 = 2b.45 A b = c B Con base en estos valores se calculan las relaciones trigonométricas 241 4.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA √ √ sen ◦ cateto opuesto de 45 ◦ √b √145 = = = = √1( √2) 2= hipotenusa 2b 2 2 √2 2√ cos ◦ cateto adyacente de 45 ◦ √b √1 √1( √2) 245 = = = = = hipotenusa 2b 2 2 2 2 tan ◦ cateto opuesto de 45 ◦ b 45 = = = 1 cateto adyacente de 45◦ b ◦ cot ◦ cateto adyacente de 45 b45 = = = 1 cateto opuesto de 45◦ √b sec ◦ hipotenusa 2b √ 45 = = = 2 cateto adyacente de 45◦ √ b √ csc ◦ hipotenusa 2b45 = = = 2 cateto opuesto de 45◦ b Ejemplo 4.1.2. Relaciones trigonométricas para los ángulos de 30o y 60o Calcule las relaciones trigonométricas para 30 y 60 grados. Considere el triángulo rectángulo C ABC rectángulo en A. Se construye el triángulo auxiliar DAC rectángu- 30◦ lo en A congruente con ABC con 30◦ AD = AB = c. Entonces el triangulo DBC es equilátero y todos sus lados 2c a = 2c tiene la misma medida. Es decir 2c = DB = DC = CB = a Como a2 = b2+ c2, entonces b2 = a2− 60◦ 60◦ c2. D A c B b2 = (2c)2 − c2 = 4c2 − c2 = 3c2. √ √ √ Por tanto b = 3 c2 = 3c. Se calculan entonces la√s relaciones trigonométricas en el triángulo ABC original usando las medidas b = 3 c y c para los catetos y a = 2c para la hipotenusa. 242 √ 3c = b CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.1. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS √ √ sen ◦ cateto opuesto de 60 ◦ 3c 3 60 = = = hipotenusa 2c 2 cos ◦ cateto adyacente de 60 ◦ c 1 60 = = = hipotenusa √2c 2 tan ◦ cateto opuesto de 60 ◦ 3c √ 60 = = = 3 cateto adyacente de 60◦ c √ cot ◦ cateto adyacente de 60 ◦ 60 = = √c = √1 3= cateto opuesto de 60◦ 3c 3 3 sec hipotenusa 2c60◦ = ◦ = = 2cateto adyacente de 60 c √ csc hipotenusa 2c 2 2 360◦ = = √ = √ = cateto opuesto de 60◦ 3c 3 3 sen ◦ cateto opuesto de 30 ◦ c 1 30 = = = hipotenusa 2c √2 √ cos ◦ cateto adyacente de 30 ◦ c 3 3 30 = = = hipotenusa 2c 2 √ ◦ tan cateto opuesto de 30 c 1 330◦ = ◦ = √ = √ =cateto adyacente de 30 √3c 3 3 cot ◦ cateto adyacente de 30 ◦ 3c √ 30 = = = 3 cateto opuesto de 30◦ c √ sec ◦ hipotenusa 2√c 2 330 = = = cateto adyacente de 30◦ c 3 3 csc 30◦ hipotenusa 2c= = = 2 cateto opuesto de 30◦ c Fijados los ángulos, se observa que los valores de las relaciones trigonométricas son independientes de las longitudes de los lados de los triángulos. Ejercicios 48. Resuelva los siguientes problemas: 1. Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12 mil pesos. 243 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 2. Calcular cuánto mide la mediana de un triángulo equilátero (los tres ángulos son de 60 grados) cuyos lados miden 12cm. Ayuda: la mediana es la distancia del segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a este. 3. Escribir una fórmula para calcular la longitud de la mediana de un triángulo equilátero de lado d. Ayuda: la fórmula se puede obtener rápidamente a partir del problema anterior. 4. De un triángulo rectángulo se conocen sus dos catetos: uno mide 4m y el otro mide 3m. Calcular la hipotenusa y los ángulos adyacentes a los catetos. 5. Juan está volando su cometa y le gustaría saber qué altura alcanza. La sombra de la sombra de la cometa comienza a sus pies y termina a 6.7 metros y el ángulo que forma el cable con el suelo es de 39◦. ¿A qué altura se encuentra la cometa? 6. Desde un supermercado se observa la parte alta de un rascacielos de 400 metros de altura bajo un ángulo de 40o. Calcular la distancia que hay desde el supermercado hasta la punta del rascacielos. 7. Calcular los ángulos α sabiendo cuánto valen su seno o su coseno: a) senα = 0.999390827 e) cosα = 0.8090169944 b) senα = 0.6691306064 f ) cosα = 0.2588190451 c) senα = 0.7660444431 g) cosα = 0.9271838546 d) senα = 0.9743700648 h) cosα = 0.4067366431 4.2. Funciones trigonométricas de números reales 4.2.1. Medición de ángulos en radianes Hasta ahora solo se han calculado las funciones trigonométricas para ángulos en grados. Desafortunadamente no se puede considerar una función como sen x+ x o cosx si solo se usan grados. x Para que las relaciones anteriores tengan sentido, se debe hallar una equivalencia entre los números reales y los ángulos. Para hacer esto se usa una unidad demedida llamada radián. Está basada en el siguiente principio: En cualquier circunferencia, su longitud dividida por el diámetro da un número constante. Este número siempre es el mismo sin importar la circunceferencia donde haga la medición. Este número 244 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES se llama π. Si C es la longitud de la circunferencia, d su diámetro y r = d/2 su radio, entonces d = 2r y C C= = π. Despejando la longitud C, se tiene que C = 2πr. d 2r ¿Cuántas veces cabe el radio de una circunferencia en su perímetro (circunferen- cia)? Para determinar este dato se procede, así: Longitud de la cercunferencia , esto es: Longitud del radio 2πr = 2π. r Así, el radio cabe 2π veces en la circunferencia del circulo de radio r. r r r r r r Figura 4.2: Radios y ángulos subtendidos por radios Un ángulo en el plano xy está en la posición estándar si el vértice está en el origen y su rayo inicial está a lo largo de la parte positiva del eje x. Ángulos medidos en el sentido contrario de las manecillas del reloj se les asigna una medida positiva y los medidos en el sentido de las manecillas se les asigna una medida negativa. En la figura se tiene un ángulo medido αθ en el sentido contrario de las maneci- llas del reloj (θ) y uno con medida en el sentido de las manecillas (α). Am- bos comparten el mismo rayo inicial y el mismo rayo final. Si se mide un arco sobre la circunferencia de radio r y se traza un ángulo desde los extremos del arco hasta el centro de la circunferencia, ¿Cuál es la medida en grados de este ángulo? Uno de estos ángulos se encuentra sombreado en la figura 4.2. 245 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Como el ángulo completo de la circunferenciamide 360◦, se debe dividir esta cantidad ◦ ◦ entre el número de radios en la circunferencia 360 180= ≈ 57.269◦. El ángulo 2π π central determinado por el radio es 57.269◦. Se define entonces una unidad alternativa para medir ángulos. Definición 4.2.1: Radián Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. De la discusión precedente se tiene entonces que un radián ( 1 rad) corresponde a 57.269◦ aproximadamente y que un ángulo de 360◦ corresponde a 2π rad. De esta relación básica pueden obtenerse otras, ◦ 360 2π15 = = = 24 24 ( π12 ◦ π ) π 30 = 2(15◦) = 2( ) =12 6 45◦ = 3(15◦) = 3( π ) π=12 4 60◦ π π = 4(15◦) = 4 = 12 3 ◦ 360 2π180 = = = π. 2 2 Si a un ángulo θ, se le suma una vuelta (2π) completa, queda un ángulo θ+2π con el mismo lado terminal. La vuelta puede agregársele en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario. Si se repite el procedimiento con θ+2π se obtiene otro ángulo con el mismo lado terminal. En general si a θ se le suman n vueltas (2πn), el nuevo ángulo θ + 2πn, tiene el mismo lado terminal de θ y por tanto las relaciones trigonométricas de θ y θ + 2πn son iguales. 246 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES ◦ 750◦ 30◦ 390 (a) Ángulo π = 30◦ (b) Ángulo π + 2π = 30◦ + 360◦ (c) Ángulo π + 2(2π) = 750◦ 6 6 6 Figura 4.3: Ángulos con el mismo lado terminal, positivos −330◦ − ◦ 690◦ −1050 (a) Ángulo π − 2π = 330◦6 (b) Ángulo π ◦ 6 − 2(2π) = −690 (c) Ángulo π 6 − 3(2π) = −1050 ◦ Figura 4.4: Ángulos con el mismo lado terminal, negativos Ejemplo 4.2.1. Ángulos determinados Halle todos los ángulos determinados por (x, y) donde x = 0. Solución Cuando x = 0 es porque el punto (x, y) está sobre el eje y, en ese caso el ángulo puede ser π = 90◦ o 3π = 3 ∗ 90◦ = 270◦. Considerando la discusión anterior π +2πn, 2 2 2 es decir, π más n vueltas en el sentido contrario de las manecillas tiene el mismo 2 lado terminal y π − 2πn, es decir, π más n vueltas en en el sentido de las manecillas 2 2 tiene el mismo lado terminal. Lo anterior puede resumirse diciendo que para n entero los ángulos determinados por π( con la)do term(inal (0,)y) vienen dados por2 π 1 4n+ 1 π + 2πn = π + 2n = π = (4n+ 1) 2 2 2 2 247 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA EL mismo análisis con 3π lleva(a2 ) ( ) 3π 3 4n+ 3 π + 2πn = π + 2n = π = (4n+ 3) 2 2 2 2 De hecho todos esos ángulos pueden obtenerse de π sumando π un número ade- 2 cuado de veces. Observe los sigu(ientes)cálcul(os ) π 1 1 + 2 3 + π =(π +2 2 ) 1 =(π ) = π.2 2 π 1 1 + 2n π + nπ = π + n = π = (2n+ 1) . 2 2 2 2 En resumen, los ángulos con lado terminal determinado por (0, y) vienen dados por (2n+ 1)π con n entero. 2 Ejemplo 4.2.2. Ángulos determinados Determine los ángulos que tienen lado terminal (x, 0). Solución Ángulos que tienen (x, 0) en el lado terminal son 0 y π = 180◦. En general todos los ángulos pueden obtenerse sumándole o restándole n veces π. 0 + 2πn = 2πn, y π + 2πn = π(1 + 2n). En general todos los ángulos con lado terminal determinado por (x, 0) tienen la forma nπ donde n es un entero. Ejemplo 4.2.3. Ángulos determinados ¿Qué ángulos puede determinar un punto (x, y), y > 0, x 6= 0. Solución Como y > 0, el punto está en el primer o en el segundo cuadrante. Si x > 0 el ángulo está en el primer cuadrante y si x < 0 el ángulo está en el segundo cuadrante. x < 0, (x, y) (x, y), x > 0 Si θ es uno de estos ángulos θ + 2πn para n entero, define un conjunto de ángulos que tiene el mismo lado terminal determinado por (x, y). 248 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES 4.2.2. Ángulo de referencia Definición 4.2.2: Ángulo de referencia Es el ángulo más pequeño que se forma con el lado terminal de un ángulo dado con respecto al lado positivo del eje x. El ángulo de referencia siempre es positivo con medida menor o igual a 90◦. Para encontrar el ángulo de referencia, podemos seguir los siguientes pasos: Si es necesario, primero “desenrollar” el ángulo: Si el ángulo es positivo mayor a 360◦ réstele 3600 hasta que esté entre 0 y 360◦. (Para ángulos negativos, sume 360◦ en vez de restar). Dibuje el ángulo para ver en qué cuadrante se encuentra. Según el cuadrante, busque el ángulo de referencia así: • Si el ángulo está en el primer cuadrante el ángulo de referencia es el mismo ángulo. • Si el ángulo está en el segundo cuadrante el ángulo de referencia es 180◦ menos el ángulo. • Si el ángulo está en el tercer cuadrante el ángulo de referencia es el ángulo menos 180◦. • Si el ángulo está en el cuarto cuadrante el ángulo de referencia es 360◦ menos el ángulo. Si el ángulo es α Cuadrante Ángulo referencia I α II 180◦ − α III α− 180◦ IV 360◦ − α Cuadro 4.1: Criterios para ángulos de referencia 4.2.3. Relaciones trigonométricas de números reales Como las relaciones trigonométricas son independientes de los lados de los trián- gulos se definen las relaciones trigonométricas para números reales de la siguiente manera. 249 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Considere la circunferencia de radio r sobre el plano cartesiano y sea (x, y) el punto final de un arco de circunferencia de radio r que empieza en (r, 0) y define un ángulo θ medido en radianes. (x, y) y θ x x θ y (x, y) Se define sen cateto opuesto de θ yθ = = hipotenusa r cos cateto adyacente de θ xθ = = hipotenusa r tan cateto opuesto de θ yθ = = , x 6= 0 cateto adyacente de θ x cot cateto adyacente de θ xθ = = , y =6 0 cateto opuesto de θ y sec hipotenusa rθ = = , x =6 0 cateto adyacente de θ x csc hipotenusa rθ = = , y 6= 0. cateto opuesto de θ y La definición anterior se simplifica si se toma la circunferencia de radio r = 1. En este caso el coseno es la coordenada x y el seno es la coordenada y del punto (x, y) que está sobre la circunferencia unidad y que determina el ángulo. Los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo con lado terminal en un cuadrante determinado quedan determinados por los signos de x y y. Para ángulos que determinan el mismo punto (x, y) sus relaciones trigonométricas son iguales independientemente del valor del ángulo. Ejemplo 4.2.4. Razones trigonométricas Halle todos los ángulos para los cuales (a) sen θ = 0, (b) cos θ = 0. 250 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Solución Sea (x, y) el punto que determina el ángulo θ en la circunferencia unitaria. (a) Como sen θ = 0 y sen θ = x se deduce que x = 0. Como se discutió anterior- mente los ángulos con lado terminal en puntos de la forma (0, y) vienen dados por π(2n+ 1) , donde n es un entero. 2 (b) Como cos θ = 0 y cos θ = y se deduce que y = 0. Como se discutió anterior- mente los ángulos con lado terminal en puntos de la forma (x, 0) vienen dados por nπ, donde n es un entero. 4.2.4. Identidades trigonométricas Como se mostró anteriormente, las relaciones trigonométricas no son independien- tes. A continuación se da una lista de identidades, es decir, se cumplen para todos los valores de θ para las cuales las relaciones básicas que intervienen están defini- das. Identidades básicas √ √ cos2 θ + sen2 θ = 1 sen θ = ± 1− cos2 θ cos θ = ± 1 = sen2 θ 1 + tan2 θ = sec2 θ 1 + cot2 θ = csc2 θ sec2 θ = 1− tan2 θ sen(−θ) = − sen θ cos(−θ) = + cos θ tan(−θ) = − tan θ csc(−θ) = − csc θ sec(−θ) = + sec θ cot(−θ) = − cot θ Identidades de adición En esta sección se deducirán expresiones que dan expansiones para cos(α − β), cos(α + β), sen(α + β) y sen(α − β) en términos de los senos y cosenos de los ángulos α y β. Ponga a α y a β en una circunferencia unitaria en su posición central. Sea A el punto terminal de α y B el punto terminal de β. Suponga que α > β. Esta disposición puede verse en la figura 4.5a. Ubique el arco correspondiente a α− β y ubique el ángulo subtendido por este arco en forma central y ubique su punto inicial (P) y su punto terminal (Q). Esta ubicación puede verse en la figura 4.5b. 251 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Q(cos(α− β), sin(α− β)) α B(cos β, sin β) A(cosα, sinα) β α− β α− β P (1, 0) a) Posición relativa de α, β y α− b) El ángulo α − β en posición β central. Figura 4.5: Coseno de sustracción de ángulos Por las propiedades de los ángulos se deduce entonces que las distancias de los puntos A y B en la figura 4.5a) y los puntos P y Q de la figura 4.5b) deben ser iguales. Se debe tener entonces que (AB)2 = (PQ)2. El puntoA tiene coordenadas (cosα, senα) y el puntoB tiene coordenadas (cos β, sen β). El puntoP tiene coordenadas (1, 0) y el puntoQ tiene coordenadas (cos(α−β), sin(α− β)). (AB)2 = (cosα− cos β)2 + (senα− sen β)2 = cos2 α− 2 cosα cos β + cos2 β + sen2 α− 2 senα sen β + sen2 β = sen2 α + cos2 α + sen2 β + cos2 β − 2(cosα cos β + senα sen β) = 2− 2(cosα cos β + senα sen β (PQ)2 = (cos(α− β)− 1)2 + (sen(α− β)− 0)2 = cos2(α− β)− 2 cos(α− β) + 1 + sen2(α− β) = sen2(α− β) + cos2(α− β) + 1− 2 cos(α− β) = 2− 2 cos(α− β) Como (AB)2 = (PQ)2, entonces 2− 2 cos(α− β) = 2− 2(cosα cos β + senα sen β, de donde se concluye que cos(α− β) = cosα cos β + senα sen β (4.1) Para obtener una identidad para cos(α + β) se usa cos(α + β) = cos(α− (−β)) = cosα cos(−β) + senα sen(−β). 252 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Como cos(−β) = cos(β) y sen(−β) = sen β cos(α + β) = cos(α− (−β)) = cosα cos(β) + senα(− sen(β)). Por tanto cos(α + β) = cosα cos β − senα sen β (4.2) Usando las identidades (4.1) y (4.2) también puede deducirse lo siguiente ( ) cos − πα = cosα cos(π/2) + senα sen(π/2) 2 ( ) = cosα(0) + senα(1) = senα cos πα + = cosα cos(π/2)− senα sen(π/2) 2 = cosα(0)− senα(1) = − senα ( cos cos( − π π ) ( ) α = α + ) = − se2 2π π (n α−) π 2 cosα = cos πα + − = sen α + 2 2 2 ( π) ( ( π))sen(α− β) = cos α− β(− )= cos α− β2 (+ 2 ) = cosα cos πβ + + senα sen πβ + 2 2 ( ) ( Como cos π − sen y sen π ) β + = β β + = cos β 2 2 sen(α− β) = cos(− sen β) + senα cos β sen(α− β) = senα cos β − sen β cosα. (4.3) De la expresión anterior puede deducirse para el seno de la suma sen(α + β) = sen(α− (−β)) = senα cos(−β)− sen(−β) cosα Como cos(−β) = cos β y sen(−β) = − sen(β) sen(α + β) = senα cos β + sen β cosα. (4.4) 253 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Usando el hecho que tan sen(α + β)(α + β) = . cos(α + β) tan sen(α + β)(α + β) = cos(α + β) senα cos β + sen β cosα = cosα cos β − senα sen β Dividiendo numerador y denominador en el lado derecho por cosα cos β se tiene senα cos β sen β cosα senα sen β + + tan cosα cos β cosα cos β cosα cos β(α + β) = cosα cos β − senα sen = β senα sen .β 1− cosα cos β cosα cos β cosα cos β Se tiene entonces tan tanα + tan β(α + β) = . (4.5) 1− tanα tan β De manera análoga se obtiene tan − tanα− tan β(α β) = . (4.6) 1 + tanα tan β 4.2.5. Resumen de identidades sen(−θ) = − sen θ sen(π − θ) = + cos θ sen(π − θ) = + sen θ 2 cos(−θ) = + cos θ cos(π − θ) = + sen θ cos(π − θ) = − cos θ 2 tan(−θ) = − tan θ tan(π − θ) = + cot θ tan(π − θ) = − tan θ 2 csc(−θ) = − csc θ csc(π − θ) = + sec θ csc(π − θ) = + csc θ 2 sec(−θ) = + sec θ sec(π − θ) = + csc θ sec(π − θ) = − sec θ 2 cot(−θ) = − cot θ cot(π − θ) = + tan θ cot(π − θ) = − cot θ 2 sen(θ + π ) = + cos θ sen(θ + π) = − sen θ sen(θ + 2π) = + sen θ 2 cos(θ + π ) = − sen θ cos(θ + π) = − cos θ cos(θ + 2π) = + cos θ 2 tan(θ + π ) = − cot θ tan(θ + π) = + tan θ tan(θ + 2π) = + tan θ 2 csc(θ + π ) = + sec θ csc(θ + π) = − csc θ csc(θ + 2π) = + csc θ 2 sec(θ + π ) = − csc θ sec(θ + π) = − sec θ sec(θ + 2π) = + sec θ 2 cot(θ + π ) = − tan θ cot(θ + π) = + cot θ cot(θ + 2π) = + cot θ 2 254 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES Seno sen(α± β) = senα cos β ± cosα sen β Coseno cos(α± β) = cosα cos β ∓ senα sen β Tangente tan tanα± tan β(α± β) = 1∓ tanα tan β( √ √ ) arcoseno arcsinα± arcsin β = arcsin α( 1− β√2 ± β 1− α2 ) arcocoseno arc cosα± arc cos β = arc co(s αβ ∓) (1− α2)(1− β2) arcotangente arctanα± arctan β = arctan α± β 1∓ αβ 3 cot θ − cot3 θ sen 2θ = 2 sen θ cos θ cot 3θ = 1− 3 cot2 θ 2 tan θ = 1 + tan2 θ sen2 θ 1− cos θ= 2 2 cos2 θ 1 + cos θ= cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ 2 2 = 2 cos2 θ − 1 = 1− 2 sen2 θ tan θ = csc θ − cot θ 2 1− tan2 θ √ = ± 1− cos θ1 + tan2 θ = 1 + cos θ sen θ = tan 2 tan θ2θ = 1 + cos θ 1− tan2 θ 1− cos θ = cot2 − = sen θcot θ 12θ = 2 cot θ sen 3θ = 3 cos2 θ sen θ − sen3 θ tan η + θ sen η + sen θ= = 3 sen θ − 4 sen3 θ ( 2 ) cos η + cos θ tan θ π+ = sec θ + tan θ 2 4 cos √3θ = cos3 θ − 3 = sen2 θ cos θ 1− sen θ 1− tan(θ/2) = 4 cos3 θ − 3 cos θ =1 + sen θ 1 + tan(θ/2) tan 1 √tan θθ = 2 3 tan θ − tan3 θ 1 + 1(+ tan2 θtan 3θ = ) 1− 3 tan2 θ para θ ∈ −π , π2 2 255 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA cot θ = cs√c θ + cot θ 12 senA senB = [cos(A− B)− cos(A+B)]2 ± 1 + cos θ= 1 1− cos θ senA cosB = [sen(A− B) + sen(A+B)]2 sen θ cosA cos 1B = [cos(A− B) + cos(A+B)] = 1− cos 2θ 1 + cos θ = sen θ El estudiante con las guías utilizadas en el transcurso del libro esta en capacidad de usar WxMaxima para trabajar con funciones trigonométricas, usar la guía inicial aquí o Click aquí. Ejercicios 49. 1. Hallar el dominio de la función: 8. Simplificar las siguientes expresio- f(x) = tan(4x) ; x es un entero. nes: 2. Hallar el dominio y rango de la fun- a) sen x− 2(sen x− 3 sen(2x)) ción: b) 2(cos x−cos(2x))−(2 cos x− sen cos(2x))y = f(x) = 2 x+ 3 c) sen − 4 sen x− cos x2 x 3. Hallar el dominio de la función: 2 √ f(x) = cos x− 1 9. Escriba en términos de la función coseno: 4. Hallar el dominio de la función: 1 tan(x) + cot(x) f(x) = cos x sec(x) csc(x) 5. Hallar el periodo de la función: Muestre que es cierta las siguien- sen2 − cos2 tes identidades:f(x) = x x 10. sen(x)− 1 sin(x)6. Hallar el dominio, rango, periodici- = −(cos(x) + 1)2 cos2(x) + 2 cos(x) + 1 dad, indicar si es par o impar, cre- 1 ciente o decreciente en cada cua- .cos2(x) + 2 cos(x) + 1 drante en la función: cos 11. cos(x) sec(x)y = f(x) = 2 x+ 1 = cot(x). tan(x) 7. Calcular el rango de la función: 12. tan(x)y = 1 + cos2 x = sen(x).sec(x) 256 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES 13. sen2(x) + cos2(x) + tan2(x) = 24. 1 = 1 + tan2(x) sec2(x) 1− sen2(x) 14. sen(x)(1+tan(x)) = tan(x)(sen(x)+ 25. sen(x) tan(x)cos =(x)) sen(x) + cos(x) 1 + tan(x) 15. Escriba la expresión trigonomé- 1 + tan2(x) 1 trica en términos de la función 26. =1− tan2(x) cos2(x)− sen2(x) seno. sec2(x)+tan2(x), cos2(x)(1+ tan2(x)), csc(x) sin(x) cos(x). 27. sec4(x) − tan4(x) = sec2(x) + 16. sen tan 2(x) (x) cot(x) = cos(x) 1 1 17. tan(x) = sen(x) 28. − = sec(x) 1 sen(x) 1 + sen(x) 2 sec(x) tan(x) 18. cos(−x) − sen(−x) = cos(x) + sen(x) 29. sen(x− π ) = − cos(x)2 19. cos(x) sec(x) 30. cos(x+ π ) + sen(x− π = 0 = cot(x) 6 3 tan(x) tan(x)− 1 20. csc π(x)(csc(x) + sen(−x)) = 31. tan(x− ) =4 tan(x) + 1 cot2(x) 1 sen(x+ y)− sen(x− y)21. (1− cos(x))(1+ cos(x)) = 32. = tan(y) csc2(x) cos(x+ y) + cos(x− y) (sen(x) + cos(x))2 sen2(x)− cos2(x)33. tan 3 tan(x)− tan 3(x) 22. = (3x) = sen2(x)− cos2 2(x) (sen(x)− cos(x))2 1− 3 tan (x) 23. (sen(x) + cos(x))4 = (1 + sen(x) + sen(5x) 2 sen(x) cos(x))2 34. = tan(3x)cos(x) + cos(5x) 257 4.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.2.6. Funciones trigonométricas y sus gráficas Para definir las funciones trigonométricas se usan los dominios en radianes. El seno y el coseno tienen como dominio todos los números reales. El resto tiene como dominio el conjunto de los números reales exceptuando aquellos puntos donde se anulan los denominadores. Para la tangente y la secante se excluyen los puntos donde se anula el coseno y para la cotangente y la cosecante se excluyen los puntos donde se anula el seno. Función Dominio Rango f(x) = sen x R [−1, 1] f(x) = cosx R [−1, 1] f(x) = tan x R− {(2n+ 1)π : n ∈ Z} R 2 f(x) = cotx R− {nπ : n ∈ Z} R f(x) = secx R− {(2n+ 1)π : n ∈ Z} (−∞,−1] ∪ [1,∞) 2 f(x) = cscx R− {nπ : n ∈ Z} (−∞,−1] ∪ [1,∞) x −2π − 7π − 3π − 5π −π − 3π −π −π 0 π π 3π π 5π 3π 7π 2π 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 sen(x) 0 √1 1 √1 0 −√1 −1 −√1 0 √1 1 √1 0 −√1 −1 −√1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 cos(x) 1 √1 0 −√1 −1 −√1 0 √1 1 √1 0 −√1 −1 −√1 0 √1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 −2π −π −π π π 2π 2 2 Figura 4.6: Gráficas de seno (linea continua) y coseno (linea punteada) Ejercicios 50. 1. Gráfica cada una de las siguientes funciones: a) y = 1− sin x, tal que x ∈ [0; 2π] ) | cos x|d f(x) = cos x b) y = 2 sin x e) f(x) = | cosx|+ cos x c) y = sin x f ) f(x) = sin π π x− + sin x+ 3 3 2. ¿En que cuadrante la función tangente es decreciente? 3. Gráficar en WxMaxima las funciones trigonométricas Guía 15. 258 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 4.3. Ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es una ecuación que contiene el valor de una relación trigonométrica evaluada en una expresión que involucra la variable. La ecuación sen(π)x + 5 = 0 en la variable x no es ecuación trigonométrica porque la función seno no está evaluada en una expresión que contiene a la variable x. El proceso de resolver ecuaciones trigonométrica requiere tanto los ángulos de refe- rencia como las identidades trigonométricas que se han estudiado, además de gran parte del álgebra que se ha visto hasta ahora. Para desarrollar satisfactoriamente esta parte deberá tener una buena comprensión de los valores de las funciones tri- gonométricas en el primer cuadrante, cómo funciona el círculo unitario, la relación entre radianes y grados, y cómo se ven las diversas curvas de las funciones trigo- nométricas, al menos en el primer período. Para resolver una ecuación trigonométrica siga los siguientes pasos: 1. Ponga la ecuación en términos de una función de un solo ángulo. 2. Escriba la ecuación como una función trigonométrica de un ángulo igual a una constante. 3. Anote los posibles valores del ángulo y su ángulo de referencia. 4. Recuerde que si una expresión satisface la igualdad también lo hará la misma expresión más un múltiplo entero del periodo de la función. Por ejemplo, si x satisface la igualdad, también lo hará x + np donde p es el periodo y n es un número entero. 5. Si es necesario, resolver para la variable. 6. Aplique las restricciones pedidas sobre la solución general obtenida. Ejemplo 4.3.1. Ecuación Resolver 2 sen(x) cos(x)− 1 = 0 para x en el intervalo [−2π, 2π] Solución Observe que 2 sen(x) cos(x) = sen(2x) así que la ecuación original queda sen(2x)− π 1 = 0 de modo que sen(2x) = 1. Los posibles valores del ángulo 2x son 90◦ = . 2 Como el periodo del seno es π2π = 360◦, entonces 2x = + 2πn son soluciones. 2 Despejando a x se tiene π + 2πn 2 πx = = + πn = 45◦ + 180◦n 2 4 son soluciones. De todas ellas se deben escoger solo las que están en [−2π, 2π] = [−360◦, 360◦] Se le deben dar valores enteros a n. 259 4.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Para πn = 0, x = 45◦ + 180◦(0) = 45◦ = 4 Para n = −1, ◦ ◦ − − ◦ −3πx = 45 + 180 ( 1) = 135 = 4 Para n = 1, x = 45◦ + 180◦ 5π(1) = 225◦ = 4 Para n = 2, x = 45◦ + 180◦ 9π(2) = 405◦ = 4 Para n = −2, 7πx = 45◦ + 180◦(−2) = −315◦ = − 4 Para n = − , 11π3 x = 45◦ + 180◦(−3) = −495◦ = − 4 Como pueden verse las solucio{nes que están en [}−2π, 2π] son −7π 3π π 5π,− , , . 4 4 4 4 Ejercicios 51. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas: 1. 1− cos(x) sen(x)= . sen(x) 1 + cos(x) 2. tan(x) = sec(x)− cos(x). csc(x) 3. cos(−x)− sen(−x) = cos(x) + sen(x). 4. (1− cos2(x))(1 + cot2(x)) = 1 5. cos(x) sen(x)+ = 1. sec(x) csc(x) 6. 1 − 1 = 2 sec(x) tan(x). 1− sen(x) 1 + sen(x) 7. tan(x)− tan sen(x− y)(y) = . cos(x) cos(y) 8. cos(x+ y) cos(x− y) = cos2(x)− sen2(y). 9. sen(4x) = 4 cos(x) cos(2x). sen(x) 10. cos4(x)− sen4(x) = cos(2x). Ver Guía de Ecuaciones 260 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.4. LEY DEL SENO 4.4. Ley del seno La ley de los senos establece una proporción entre los senos de los angulos interiores y los correspondientes a los lados opuestos. Esto permite conocer los valores de las longitudes de los lados y los ángulos para triángulos que no son rectángulos. Hallar todos los valores de los lados y los ángulos que no se dan en un problema se le conoce como resolver el triángulo. Considere el triángulo C γ b E a α β A c B F D Figura 4.7: Elementos de un triángulo rectángulo Llame α al ángulo de vértice A y γ al ángulo de vértice C y suponga que el ángulo α es agudo. Sea h la longitud de la altura desde el vértice B hasta el segmento AC, es decir, h es la longitud del segmento BE Entonces se tienen las siguientes razones trigonométricas sen BE h(γ) = = Así se tiene h = a sin(γ) BC a sen h(α) = Así se tiene h = c sen(α) c De donde se concluye que c senα = h = a senα o a c = (4.7) senα sen γ Ahora repita el argumento con el ángulo B por ejemplo. En este caso el ángulo B es obtuso. Trace la altura que pasa por C y el perpendicular a la recta que pasa por A y B y sea h2 la longitud de esta altura. 261 4.4. LEY DEL SENO CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Considere los triángulos rectángulos AFC y BFC ambos rectángulos en F.Observe que la suma de los ángulosABC y CBF suman 180◦ y por tanto la medida del ángulo CBF es 180− β. sen CF h2α = = , triángulo AFC AC b sen ◦ − CF h2(180 β) = = , triángulo BFC CB a Como sen(180◦ − β) = sen β se tiene b senα = h2 = a sen β y a b = (4.8) senα sen β De las igualdades (4.7) y (4.8) se tiene la ley del seno. Teorema. 4.4.1: Ley del seno Considere el triángulo de vértices ABC y denote por A, B y C sus ángulos interiores respectivos siendo a la longitud del lado opuesto al ángulo A, b la longitud del lado opuesto al ángulo B y c la longitud del lado opuesto a C entonces a b c = = . senA senB senC Cuando se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se conoce como el caso ambiguo. Si se dan, por ejemplo, el ángulo α, la longitud de AC y la longitud de BC entonces sen b senαβ = . Pueden darse los siguientes casos: a Si sen β > 1, entonces el caso es imposible y no hay solución. Si sen β = 1 entonces el triángulo es rectángulo y hay una única solución. Si sen β < 1 entonces hay dos ángulos uno en el primer cuadrante, sea este β1 y otro en el segundo cuadrante, sea este β2. El ángulo β1 siempre es solución. • Si β2 + α ≥ 180◦ entonces β2 no es un ángulo posible para el triángulo y existe una sola solución. • Si β2 + α < 180◦ entonces β2 n es un ángulo posible para el triángulo y existes dos triángulos distintos que satisfacen las condiciones dadas. 262 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.4. LEY DEL SENO Ejemplo 4.4.1. Determine todos los valores del triangulo B A Dados los valores correspondientes del triángulo 4ABC inicialmente: ]C = 200, ]B = 500 y c = 6 C Solución Con respecto a los valores dados, podemos observar que se hace necesario usar la siguiente forma de la ley del seno: b c = sin(B) sin(C) con el objetivo de hallar el valor del ángulo b. Remplazando se obtiene la siguiente expresión: 6 sin(50o) b = = 13.43858468 sin(20o) Como la suma interna de los ángulos interiores a un triángulo en grados suman en total 180o, podemos determinar el valor de A de la siguiente forma: ]A = 180o − ]C − ]B = 180o − 20o − 50o = 110o Por último se determina el valor de a, en efecto aplicando la ley del seno correspon- diente, se obtiene: 6 sin(110o) a = = 16.48486451 sin(20o) Ejercicios 52. Usar la ley del seno para determinar todas las variables de los siguientes trián- gulos que tienen medidas, así: 1. a = 3, b = 4 y ]C = 500. 2. b = 60, c = 35 y ]A = 80o. 3. c = 23, ]B = 70o y ]A = 52o. 4. ]A = 37.4o, ]B = 29.5o y a = 90cm. 5. a = 90cm, b = 75cm y ]A = 130.2o. 263 4.5. LEY DEL COSENO CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 6. a = 110cm, b = 70cm y ]A = 120o. 7. Un árbol proyecta una sombra de 200 metros sobre una montaña hacia aba- jo, la montaña presenta un 20o de inclinación con la horizontal y el ángulo de elevación del sol es de 60o ¿Cuál es la altura del árbol? 8. Para encontrar la distancia aproximada del ancho de un río, un matemático selecciona dos puntos en la misma orilla del río A y B que están separados 300metros. El matemático encoge un punto de referenciaC, del otro lado del río y determina que ]BAC = 85o y ]ABC = 55o. Calcule la distancia aproximada AC. 9. Para medir la altura de una montaña se toman dos puntos de referencia en la base de la montaña separados entre si 200 metros, que a cierta hora del día proyectaron una sombra de 32o y 73o. 4.5. Ley del coseno La ley del coseno no es directamente aplicable en caso que se conozcan los tres lados de un triángulo. Teorema. 4.5.1: Ley del coseno Considere el triángulo de la figura C γ Entonces se tiene a a2 = b2 + c2 − 2bc cosα b b2 = a2 + c2 − 2ac cos β (4.9) 2 α c = a 2 + b2 − 2ab cos γ β A c B Dados dos lados y un ángulo comprendido entre ellos se cumple que el cuadrado del lado opuesto al ángulo dado es la suma de los cuadrados de las medidas de los lados que comprenden el ángulo menos el doble producto de dichos lados y el coseno del ángulo entre ellos. Considere el triángulo ABC, ubique el vértice A en el origen del sistema de coor- denadas de tal manera que el lado AB quede sobre la parte positiva del eje x. Ver Figura 4.9. 264 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.5. LEY DEL COSENO C C γ γ a a b b D α β α βA A F F c B c B a) Angulo α obtuso b) Angulo α agudo Figura 4.8: Posición de ángulos en la ley del coseno Las coordenadas del punto A son (0, 0) , las coordenadas del punto B son (C, 0) y las coordenadas del punto C son (b cosα, b senα). Usando la fórmula de la distancia entre dos puntos d2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 [d(A,B)]2 = (c cosα− c)2 + (b senα− 0)2 Como d(A,B) = a se tiene a2 = b2 cos2 α− 2bc cosα + c2 + b2 sen2 α a2 = b2(sen2 α + b2 cos2 α) + c2 − 2bc cosα a2 = b2 + c2 − 2bc cosα El mismo análisis puede hacerse para el resto de los ángulos, colocando el vértice correspondiente en el origen y uno de los lados sobre la parte no negativa del eje x. 265 4.5. LEY DEL COSENO CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA Ejemplo 4.5.1. Ley del coseno Determine el lado a del siguiente triángulo con las medidas mostradas. B Solución Remplazando en la formula de la ley de los cosenos se obtiene: 10 a a2 = 102 + 162 − 2(10)(16) cos(40o) a2 = 110.8658 √ 40o a = 110.8658 = 10.53 A 16 C Ejercicios 53. Determine el lados solicitado del triángulo, usando la ley del coseno, con res- pecto a las siguientes medidas (4ABC): 1. b = 10cm, c = 20cm y ]A = 35o. Hallar a. 2. b = 10cm, c = 18cm y ]A = 120o. Hallar a. 3. b = 3cm, c = 4cm y ]A = 53o. Hallar a. 4. b = 80cm, c = 100cm y ]A = 45o. Hallar a. 5. Juan sale de paseo y tiene curiosidad de medir el lago de su finca que se encuentra en las Llanadas, el observa dos cercas que se encuentran en línea recta hasta los extremos del lago, Juan determina las siguientes medidas: una de las cercas mide 356m, la otra 480m y el ángulo entre ellas es de 38o ¿Cuál es la medida aproximada del lago entre sus extremos? 6. Si un avión vuela a velocidad constante a 300Km durante 1h y 30min en línea h recta. Posteriormente hace una corrección de su viaje desviándose 15o a la derecha de su trayectoria inicial y vuela 2h en esta nueva trayectoria. ¿Qué tan alejado esta de su posición inicial? 7. Cristian y Samuel vuelan cada uno una cometa, Cristian suelta todo el hilo que tiene (100m) y Samuel también suelta todo su hilo de (45m). Al unir los pun- tos de tensión de las cometas se determina un ángulo de 25o. ¿Qué distancia separa a las cometas? 266 CAPÍTULO 4. TRIGONOMETRÍA 4.5. LEY DEL COSENO 8. Un avión que se encuentra entre dos islas determina los ángulos de depresión en un determinado punto de su vuelo el cual lleva una altura de 3.500m, el primer ángulo es de 33o y el segundo de por detrás del avión es de 52o ¿Qué distancia separa a las dos islas? 267 Capítulo 5 Funciones logarítmicas y exponenciales 5.1. Funciones racionales Una función racional es el cociente de dos polinomios. Tienen la forma P (x) h(x) = , Q(x) =6 0 Q(x) donde p y q son polinomios. El máximo dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales menos todos aquellos números reales que hacen cero al denominador. El rango correspondiente son todos los números reales. Existen rectas a las cuales las gráficas de las funciones racionales se acercan cuan- do x se hace grande en valor absoluto o cuando x se aproxima a ciertos valores. Se llaman asíntotas y se clasifican de la siguiente manera. Asíntotas verticales: Son de la forma x = a, donde a es un número que hace cero al denominador, es decir, Q(a) = 0. La gráfica de una función racional nunca cruza una asíntota vertical. Asíntotas horizontales: Si P y Q tienen el mismo grado y an es el coeficiente prin- cipal de P y bn es el coeficiente principal de Q entonces la asíntota horizontal es y = an . Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, bn la asíntota horizontal es y = 0, es decir, el eje x. Asíntotas oblicuas: Si el grado del numerador esmayor en una unidad que el grado del denominador, entonces se hace la división P (x) ÷ Q(x) obteniéndose un cociente y un residuo. La expresión en el cociente es la asíntota oblicua, es decir, Si P (x) = Q(x)A(x) + R(x), donde A(x) es el cociente y R(x) es el 269 5.1. FUNCIONES RACIONALES CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES residuo entonces la asíntota es y = A(x) y P (x) Q(x)A(x) + R(x) = Q(x) Q(x) Q(x)A(x) R(x) = + Q(x) Q(x) R(x) = A(x) + Q(x) Ejemplo 5.1.1. Asíntotas Halle el máximo dominio de la función 3x− 1f(x) = . Trace su gráfica y dibuje x+ 1 sus asíntotas. Solución Para hallar el máximo dominio primero se hallan los puntos donde el denominador es cero. En este caso resolvemos la ecuación x+1 = 0.Esta ecuación tiene por solución x = −1. Por tanto el dominio son todos los números reales menos el número−1. Esto puede expresarse como R − {−1} o como (−∞,−1) ∪ (−1,∞). Tiene una asíntota vertical en x = −1. Como el grado del numerador es igual al del denominador (ambos polinomios tienen grado 1) el cociente y = 3 = 3 da una asíntota horizontal. 1 270 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.1. FUNCIONES RACIONALES 3x− 1 f(x) = x+ 1 Asíntota horizontal y = 3 Ejemplo 5.1.2. Asíntotas 2 Halle el máximo dominio de la función 2x − x+ 7f(x) = . Trace su gráfica y 6x2 − 2x dibuje sus asíntotas. Solución Como f(x) es una función racional su máximo dominio está constituido por todos los números reales excepto los números que hacen que el denominador sea cero. Para hallar estos números resolvemos la ecuación 6x2 − 2x = 0. Factorizando se obtiene 6x2 − 2x = 2x(3x − 1) = 0. De donde 2x = 0 o 3x − 1 = 0. Esto produce dos soluciones x = 0/2 = 0(y x)= 1/3. Por tanto el dominio son todos los númerosreales excepto los números 0 y 1 lo c(ual s)e escribe como R−{0, 1}. También puede3 3 escribirse como (−∞, 0) ∪ 0, 1 ∪ 1 ,∞ . Las asíntotas verticales son las rectas 3 3 x = 0 y x = 1/3. Como el grado del numerador es igual al del denominador, tiene una asíntota horizontal en y = 2 = 1 . 6 3 271 Asíntota vertical x = −1 5.1. FUNCIONES RACIONALES CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Ejemplo 5.1.3. Asíntotas 2 Halle el máximo dominio de la función x − 5 x+ 6f(x) = . Trace su gráfica y x− 2 dibuje sus asíntotas verticales. Grafique la función g(x) = x − 3 en el mismo sistema de coordenadas. ¿Qué diferencia hay con la función f? Solución El denominador se hace cero en x = 2 y su dominio son los números reales menos el 2, es decir, (−∞, 2) ∪ (2,∞). La asíntota vertical está en x = 2. 272 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.1. FUNCIONES RACIONALES x = 2 6+ 5 x 2 − 2− x x = x) f( La gráfica de g(x) = x− 3 es prácticamente la misma que la de f , la diferencia está en que la imagen de f en 2 (f(2)) no existe y la imagen de g en 2 (g(2)) si existe. Además x2 − 5 x+ 6 (x− 3)(x− 2) f(x) = = x− 2 x− 2 lo cual siempre puede simplificarse a f(x) = x − 3 siempre que x 6= 2. Por tanto f(x) = g(x) siempre que x 6= 2. Ejemplo 5.1.4. Asíntotas Halle el máximo dominio de 3x+ 1f(x) = y sus asíntotas. x3 − x2 − 6x Solución El máximo dominio son todos los números reales menos aquellos donde el denomi- nador es cero. Para hallar estos números resolvemos la ecuación x3 − x2 − 6x = 0. Se observa que x es un factor común, por tanto se factoriza este primero, x3 − x2 − 6x = x(x2 − x − 6). Luego se examina para ver si se puede factorizar x2 − x − 6. Se buscan dos números que multiplicados den −6 pero sumados den -1. Estos son −3 y 2. Así x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2). La factorización completa del denominador original es x3 − x2 − 6x = x(x2 − x− 6) = x(x− 3)(x+ 2). 273 5.1. FUNCIONES RACIONALES CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Por tanto las soluciones de x3 − x2 − 6x = 0 vienen dadas por x(x− 3)(x+ 2) = 0 o equivalentemente x = 0, o x− 3 = 0 o x+ 2 = 0. De donde se concluye que el máximo dominio es R− {0, 3,−2}. Las asíntotas verti- cales están en x = 0, x = 3, x = −2. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador tiene una asíntota horizontal en y = 0. Ejemplo 5.1.5. Asíntotas 3 Halle el máximo dominio de 4x − 25x 2 − 4x+ 1 f(x) = . Halle sus asíntotas. x2 + 1 Solución Observe que el denominador nunca se hace cero, ya que x2 + 1 = 0 no tiene so- luciones reales. Por tanto el máximo dominio son todos los números reales. Como el grado del numerador es mayor en uno al grado del denominador se tiene una asíntota oblicua que se obtiene dividiendo los polinomios ( ) ( ) 4x3 − 25x2 − 4x + 1 : x2 + 1 = 4x− −8x+ 2625 + 2 − x + 14x3 − 4x − 25x2 − 8x + 1 25x2 + 25 − 8x+ 26 ︸4x3 − 25x︷2︷− 4x+ 1︸ = (︸x2︷+︷ 1︸) ︸(4x︷−︷ 25︸)+ (︸−8x︷︷+ 26︸) . P (x) Q(x) A(x) R(x) 4x3 − 25x2 − 4x+ 1 (x2 + 1)(4x− 25) −8x+ 26 = + x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 4x3 − 25x2 − 4x+ 1 − −8x+ 26= 4x 25 + x2 + 1 x2 + 1 274 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.1. FUNCIONES RACIONALES −6 −4 −2 2 4 6 8 10 −20 −40 En esta guía graficar las funciones respectivas para comparar. Click aquí o consulte el código QR al final del libro. Ejemplo 5.1.6. Asíntotas 4 2 Halle el máximo dominio de x − 2x − 4x+ 1 . Halle sus asíntotas. x3 − 2x2 − x+ 2 Solución Usando factorización por agrupación: x3 − 2x2 − x+ 2 = (x3 − 2x2) + (−x+ 2) = x2(x− 2)− 1(x− 2) = (x− 2)(x2 − 1) = (x− 2)(x− 1)(x+ 1) Así que el denominador es cero si (x−2)(x2−1) = (x−2)(x−1)(x+1) = 0 El dominio es R− {−1, 1, 2}. Las asíntotas verticales son x = −1, x = 1 y x = 2. Como el grado del numerador es mayor en uno al del denominador posee una asíntota oblicua. La división ( ) ( ) 2 x4 − 2x2 − 4x + 1 : x3 − 2x2 − 3x − 4x− 3x+ 2 = x+ 2 + x3 − 2x2− − x+ 2x4 + 2x3 + x2 − 2x 2x3 − x2 − 6x + 1 − 2x3 + 4x2 + 2x− 4 3x2 − 4x− 3 Genera la asíntota oblicua y = x + 2. Las asíntotas se muestran como lineas pun- teadas en la siguiente figura. 275 5.1. FUNCIONES RACIONALES CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 20 10 −6 −4 −2 2 4 6 −10 −20 Ejercicios 54. 1. Hallar intersecciones con los ejes, dominio y rango de función: 1 f(x) = x+ 2 Determinar el comportamiento de la función cuando se aproxima a dos. 2. Hallar intersecciones con los ejes dominio y rango de la función: x y = 1− x 3. Determinar el comportamiento de la función del ejercicio anterior cuando x se aproxima a 1. Graficar las siguientes funciones: 4. 1 6. 3x− 3 x 2 − x− 4 y = y = 8. y = x+ 1 x+ 2 x− 1 5. 2 x x+ 1 y = 7. y = 9. y = 1− x 1− x (x− 1)(x+ 2) 10. Se administra un medicamento a un paciente, y se vigila la concentración de dicho medicamento en la sangre. En el tiempo t ≥ 0 (En horas desde que se aplico el medicamento), la concentración (en mg/L), está dada por: c(t) = 4t Indicar: t2 + 1 276 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES (a) ¿Qué ocurre con la concentración después de muchas horas? (b) ¿Cuánto tarda al concentración en llegar a 2 mg/L? 5.2. Descomposición en fracciones parciales Se comienza recordando que una función racional es una expresión que se compone por un cociente de dos polinomios. Si el polinomio en el numerador tiene gradomayor o igual que el grado del polinomio en el denominador decimos que la función racional es impropia. Cuando el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio en el numerador decimos que la función racional es propia. Ejemplo 5.2.1. Funciones racionales Las siguientes son funciones racionales 1. R(x) = a, a constante 2. 1R(x) = , propia x 3. 2x+ 1R(x) = , propia x3 + π 3 4. x + xR(x) = , impropia. x2 + x+ 1 Usando el algoritmo de la división puede probarse que toda función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio más una función racional propia. Es decir, si S(x) = P (x) donde P y Q son polinomios con grado de P mayor o igual Q(x) que el grado de Q entonces existe un polinomio C y un polinomio R tal que P (x) = C(x)Q(x) + R(x) donde el grado de R es menor que el grado de Q. Dividiendo por Q(x) se obtiene P (x) R(x) S(x) = = C(x) + . Q(x) Q(x) Todo polinomio en R puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos, irreduci- bles en R, es decir, si ax2 + bx+ c es un factor cuadrático que ocurre en el polinomio siempre podemos escogerlo de tal manera que b2 − 4ac < 0. Algunos de estos fac- tores lineales o cuadráticos pueden repetirse o no. 277 5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALESCAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Ejemplo 5.2.2. Factorización de polinomios Se presentan algunos polinomios con factorizaciones en R y algunos irreduci- bles en R (sin factorizaciones en R.) 1. P (x) = x2 − 4 = (x− 1)(x+ 1) √ √ 2. P (x) = x2 − 2 = (x− 2)(x+ 2) 3. 3 − 23 x 2 31 x ( ) P (x) = x + − 3 = (x− 4) (x− 1) x− 3 4 4 4 4. P (x) = x2 + x+ 1, irreducible en R. Una descomposición en fracciones parciales de una función racional propia es la descomposición en una suma de funciones racionales propias donde el denominador de cada sumando es una potencia de un factor lineal o un factor cuadrático irreducible que ocurre en la factorización del denominador de la función racional original. Ejemplo 5.2.3. Fracciones parciales Algunas descomposiciones en fracciones parciales 1 1 = − 1 (x− 1)(x− 2) x− 2 x− 1 1 1 − 1= . x2(x2 + 1) x2 x2 + 1 Podemos asumir entonces que el denominador de una función racional está factori- zado en factores lineales de la forma (ax+b)n y cuadráticos de la forma (ax2+bx+c)m, donde b2 − 4ac < 0. La forma de la descomposición en fracciones parciales es como sigue, por cada factor de la forma (ax+ b)n en el denominador se agrega a la suma a1 a2 an + + · · ·+ ax+ b (ax+ b)2 (ax+ b)n Note que si n = 1 solo se agrega el término a1 . Por cada factor de la forma (ax2 + ax+b bx+ c)m se agrega a la suma a1x+ b1 a2x+ b2 · · · amx+ bm+ + + . ax2 + bc+ c (ax2 + bx+ c)2 (ax+ bx+ c)m Los coeficientes que aparecen en las expresiones deben determinarse, lo cual ha- remos más adelante. 278 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES Ejemplo 5.2.4. Fracciones parciales Hallar la forma de la descomposición en fracciones parciales de la función racional x f(x) = . x(x− 1)(x− 2)2(x2 + x+ 1) Solución La descomposición tiene la forma x a1 a2 b1 b2 c1x+ c2 f(x) = = + + + + . x(x− 1)(x− 2)2(x2 + x+ 1) x x− 1 x− 2 (x− 2)2 x2 + x+ 1 Ejemplo 5.2.5. Fracciones parciales Hallar la forma de la descomposición en fracciones parciales de la función 3x+ 1 f(x) = . (x− 4) (x− 2)2 x3 (x2 + x+ 1)3 Solución a b c f g h ix+ k lx+ n ox+ p f(x) = + + + + + + + + . x x2 x3 x− 4 x− 2 (x− 2)2 x2 + x+ 1 (x2 + x+ 1)2 (x2 + x+ 1)3 Ahora explicaremos el proceso para calcular los coeficientes. Escriba la forma general de la descomposición en fracciones parciales. Multiplique ambos lados por el denominador de la función racional original. Simplifique, agrupe términos semejantes y factorice la potencia común en cada grupo de términos semejantes. Se igualan los coeficientes de los polinomios que quedan a la derecha y a la izquierda basados en la igualdad de polinomios. Dos polinomios son iguales si potencias iguales de la variable tienen los mismos coeficientes. Cuando una potencia no aparece, su coeficiente es cero. Resuelva el sistema de ecuaciones resultante para calcular los coeficientes. Ejemplo 5.2.6. Fracciones parciales Halle la descomposición en fracciones parciales de 1 . (x− 1)(x− 2) 279 5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALESCAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Solución La descomposición tiene la forma 1 a b = + (x− 1)(x− 2) x− 1 x− 2 1 − a b(x 1)(x− 2) = (x− 1)(x− 2) + (x− 1)(x− 2) (x− 1)(x− 2) x− 1 x− 2 1 = a(x− 2) + b(x− 1) 1 = ax− 2a+ bx− b = (a+ b)x− (2a+ b) La igualdad de polinomios da a+ b = 0 (5.1) −(2a+ b) = 1 (5.2) El cual tiene por solución a = −1 y b = 1. La descomposición en fracciones parciales es entonces 1 −1 1 = + . (x− 1)(x− 2) x− 1 x− 2 Ejemplo 5.2.7. Fracciones parciales Halle la descomposición en fracciones parciales de 1 . x2(x2 + 1) Solución La estructura de la descomposición es 1 a b cx+ d = + + . x2(x2 + 1) x x2 x2 + 1 1 x2(x2 a b cx+ d + 1) = x2(x2 + 1) + x2(x2 + 1) + x2(x2 + 1). x2(x2 + 1) x x2 x2 + 1 1 = ax(x2 + 1) + b(x2 + 1) + (cx+ d)x2 1 = c x3 + a x3 + d x2 + b x2 + a x+ b 1 = (c+ a) x3 + (d+ b) x2 + a x+ b La igualdad de polinomios da las ecuaciones c+ a = 0 d+ b = 0 a = 0 b = 1 280 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES Se tienen las soluciones a = 0, b = 1, c = 0 y d = −1. Por tanto la descomposición en fracciones parciales es 1 0 1 0x+ (−1) 1 = + + = − 1 . x2(x2 + 1) x x2 x2 + 1 x2 x2 + 1 El propósito del siguiente ejemplo es ilustrar cuan dispendioso puede ser hallar las fracciones parciales. En estos caso el software de cálculo simbólico puede ser de gran ayuda. Primero se ilustrará que implicaría resolverlo manualmente y luego se muestra como usar WxMaxima para resolver el problema. Ejemplo 5.2.8. Fracciones parciales Hallar la descomposición en fracciones parciales de 3x+ 1 f(x) = . (x− 4) (x− 2)2 x3 (x2 + x+ 1)3 Solución La forma de la descomposición es a b c f g h ix+ k lx+ n ox+ p f(x) = + + + + + + + + . x x2 x3 x− 4 x− 2 (x− 2)2 x2 + x+ 1 (x2 + x+ 1)2 (x2 + x+ 1)3 Al multiplicar por el denominador de f(x) a ambos lados y simplificar se obtiene 3x+ 1 = (g + e+ d+ a) x11 + (h− 6 g + f − 3 e− d+ b− 5 a) x10 + (i− 6h+ 7 g − f − 4 e− 2 d+ c− 5 b+ 2 a) x9+ (j − 7 i+ 7h+ 2 g − 6 f − 5 e− 5 d− 5 c+ 2 b+ 3 a) x8+ (k − 7 j + 13 i+ 2h+ 13 g − 17 f + 12 e+ 2 d+ 2 c+ 3 b+ 22 a) x7 + (l − 8 k + 13 j − 4 i+ 13h− 16 g − 22 f + 23 e+ 7 d+ 3 c+ 22 b− a) x6+ (−8 l + 20 k − 4 j + 4 i− 16h− 12 g − 21 f + 31 e+ 13 d+ 22 c− b− 15 a) x5+ (20 l − 16 k + 4 j − 16 i− 12h− 16 g − 11 f + 18 e+ 8 d− c− 15 b− 44 a) x4+ (−16 l − 16 j − 16h− 4 f + 8 e+ 4 d− 15 c− 44 b− 28 a) x3+ (−44 c− 28 b− 16 a) x2 + (−28 c− 16 b) x− 16 c 281 5.2. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALESCAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES La igualdad de polinomios nos da el sistema de ecuaciones g + e+ d+ a = 0 h− 6 g + f − 3 e− d+ b− 5 a = 0 i− 6h+ 7 g −−4 e− 2 d+ c− 5 b+ 2 a = 0 j − 7 i+ 7h+ 2 g − 6 f − 5 e− 5 d− 5 c+ 2 b+ 3 a = 0 k − 7 j + 13 i+ 2h+ 13 g − 17 f + 12 e+ 2 d+ 2 c+ 3 b+ 22 a = 0 l − 8 k + 13 j − 4 i+ 13h− 16 g − 22 f + 23 e+ 7 d+ 3 c+ 22 b− a = 0 −8 l + 20 k − 4 j + 4 i− 16h− 12 g − 21 f + 31 e+ 13 d+ 22 c− b− 15 a = 0 20 l − 16 k + 4 j − 16 i− 12h− 16 g − 11 f + 18 e+ 8 d− c− 15 b− 44 a = 0 −16 l − 16 j − 16h− 4 f + 8 e+ 4 d− 15 c− 44 b− 28 a = 0 −44 c− 28 b− 16 a = 0, −28 c− 16 b = 3 −16 c = 1 cuyas soluciones 79 − 5 1 13 19 1 2890a = , b = , c = − , d = , e = , f = − , g = − , 256 64 16 2370816 5488 784 9261 − 317 − 82 32 1 1h = , i = , j = − , k = − , l = 1323 441 441 21 21 producen la descomposición. −2890x − 317 −82x − 32 1 − x 9261 1323 + 441 441 + 21 21 79 2 3 + −x2 + x+ 1 (x2 + x+ 1) (x2 + x+ 1) 256 x 5 − 1 19 − 1 13+ + 64 x2 16 x3 5488 (x− 2) 784 (x− 2)2 2370816 (x− 4) Podemos hallar las fracciones parciales en WxMaxima directamente, la instrucción a utilizar es partfrac(expresión,variable) en donde expresión representa la expresión a descomponer en fracciones parciales y variable, la variable con respecto a la que se hará descomposición en fracciones parciales. La descomposición del Ejemplo 5.2 puede obtenerse con partfrac( 1/((x-1)*(x-2)), x); 282 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.3. FUNCIONES EXPONENCIALES La descomposición del Ejemplo 5.2 puede obtenerse con partfrac(1/(x^2*(x^2+1,x); La descomposición del Ejemplo 5.2 puede obtenerse con partfrac((3*x+1)/((x-4)*(x-2)^2*x^3*(x^2+x+1)^3),x); 5.3. Funciones exponenciales La función exponencial tiene la forma f(x) = ax donde a es positivo y distinto de 1. Su dominio es el conjunto de todos los números reales y su rango es el conjunto de los números positivos. Tiene una asíntota horizontal en y = 0. Para C constante la función f(x) = C + ax tiene una asíntota horizontal en y = C. y = C + ax, a > 1 10 10 8 8 6 6 4 4 y = C + ax, 0 < a < 1 −5 5 10 −5 5 10 (a) Gráfica de la función exponencial para(ba)>Asíntota horizontal para y = C + ax si 0 < 1 a < 1 A menudo en otras ciencias como la física,(biologí)a, economía entre otras apare-r ntcen expresiones como la siguiente A = P 1 + , la cual requiere un análisis n pertinente para su interpretación. Con respecto al álgebra de las funciones exponenciales, se siguen comportando con las mismas propiedades de la potenciación. 283 5.4. FUNCIONES LOGARÍTMICAS CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES Ejercicios 55. Determinar si las siguientes expresiones son funciones exponenciales o no (Justifi- que su respuesta): 1. 3f(x) = 3. y = 9 2x 6. f(x) = 10x ( )x4x 4. f(x) = 1x 2. 3y = 4 5. y = ex Hallar el dominio, rango y gráfica de las s(igu)ientes funciones: 7. 2y = 2x x9. 1 10. y = 1 + 3y = − 2 8. y = 2−x 11. y = 31−x − 1 5.4. Funciones logarítmicas La función logarítmica tiene la forma f(x) = loga x donde a es positivo y distinto de 1. Su dominio es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de todos los reales. Tiene una asíntota vertical en x = 0. Para C constante la función f(x) = loga(x− C) tiene una asíntota vertical en X = C. 10 10 5 y = loga(x), a > 1 5 2 4 6 8 10 y = loga(x), a < 1 4 6 8 10 −5 y = loga(x− C), a < 1 (c) Gráficas de la función logarítmica para a > 1 (d) Asíntota horizontal para y = loga(x− C) y a < 1 Ejercicios 56. Expresar las siguientes ecuaciones en forma exponencial: 1. log 25 25 = 2 3. ln 3 = x 5. ln(1− y ) = 2 2. log2(1) = −2 4. ln(x+ 1) = 3 6. ln(x− 32) = 44 284 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS Hallar el dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: 7. f(x) = log2 x 9. f(x) = log 1 x+ 1 11. y = ln(1− x2) 3 8. f(x) = − log 2 13 x 10. f(x) = log3 x 12. y = 2 + log( )x 5.5. Funciones hiperbólicas Hasta ahora se han estudiado algunos aspectos de las funciones trigonométricas. El seno y el coseno son la proyección de un punto sobre el círculo unitario en el eje y y el eje x respectivamente. Podría hacerse el mismo análisis tomando como base la hipérbola x2 − y2 = 1. Las funciones que resultan de este análisis se llaman seno hiperbólico, notado por senh, y coseno hiperbólico notado por cosh y definidas como sigue ex − e−x x −xsenh x = , cosh e + ex = . 2 2 La interpretación geométrica del seno y coseno hiperbólicos se ilustran en la Figura 5.1. coshα (x, y) senhα Figura 5.1: Seno y coseno hiperbólicos 285 5.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES De manera análoga a las funciones trigonométricas se definen ex − e−x x −x tanh senh e − ex = = 2x −x =cosh e + e ex + e−x 2 ex + e−x coth cosh x e x + e−x x = = 2 senh x ex − e−x = − , x 6= 0ex − e x 2 sech 1 1 2x = = cosh x ex −x = + e ex + e−x 2 csch 1 1 2x = = x − −x = − , x 6= 0senh x e e ex − e x 2 Se tienen también algunas identidades básicas entre las funciones hiperbólicas, es- tas satisfacen las siguientes propiedades: cosh2 x− senh2 x = 1 (5.3) 1− tanh2 x = sech 2x (5.4) coth2 x− 1 = csch 2x (5.5) sinh(x+ y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y (5.6) cosh(x+ y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y (5.7) cosh(2x) = 2 sinh x cosh x (5.8) cosh(2x) = coshx + sinh2 x (5.9) cosh2 1x = (cosh(2x) + 1) (5.10) 2 senh2 1x = (cosh(2x)− 1) (5.11) 2 Se mostrarán solo algunas de las identidades y las demás quedan como ejercicio. ( − )x x 2 ( x − )x 2 cosh2 x− sinh2 e + e − e − ex = 2 2 (ex)2 + 2exe−x + (e−x)2 (ex)2− − 2e xe−x + (e−x)2 = 4 4 (ex)2 + 2ex−x + (e−x)2 − ((ex)2 − 2ex−x + (e−x)2) 4 = = = 1 4 4 286 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS ( ) ︷ =︸︸1 ︷ − tanh2 − cosh 2 x 2 2− sinh x cosh x− sinh 2 x 1 x = 1( = 1 =sin)h x cosh2 x cosh2 x2 1 = = sech 2x. cosh x sin(h x cosh y)+(cosh x sin)h y =− − ( − )( )ex − e x ey + e y ey − e y ex + e−x = + 2 2 2 2 exey + exe−y − e−xey − e−xe−y exey + e−xey − exe−y − e−xe−y = + 4 4 2ex+y − 2e−(x+y) ex+y − e−(x+y) = = = sinh(x+ y). 4 2 (a) Seno hiperbólico (b) Coseno hiperbólico (c) Tangente hiperbólica Figura 5.2: Gráfica de las funciones hiperbólicas Ejercicios 57. 1. Determinar: b) tanh sinh 2xx = 2 1 + cosh 2x E = tanh ln − x − 1( x) x2 + 1 4. Sabiendo que: sinh x = 0, 8 2. Halle el equivalente de: Determinar: cosh x cosh y + sinh x sinh y cosh x, tanh x, coth x 3. Demostrar: 5. Demostrar: a) (cosh x± sinh x)n = cosh ( ) ( )x± sinh−1 3sinh x con n ∈ Z = cosh −1 5 = 4 4 287 5.5. FUNCIONES(HIPE)RBÓLICAS CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES tanh−1 3 6. Determinar: 5 cosh (ln 41)− sinh (ln 2) 3 5.5.1. Modelos de regresión exponenciales y = kax Observe que aplicando logaritmo natural a ambos lados de y = kax se obtiene ln y = ln(kax) = ln k + ln(ax) = ln k + x(ln a). Por tanto para un conjunto de datos que sigue un modelo de la forma y = kax la gráfica de logaritmo de x contra el logaritmo de y da una linea recta que intersecta al eje y en ln k y tiene pendiente (ln a). Ejercicios 58. 1. Identifique que tipo de función utilizar para el problema y resuélvalo. Una población de aves cuenta inicialmente con 30 individuos y se triplica cada 4 años. ¿Cuál es la función que representa el crecimiento de la población de aves? ¿Cuántas aves hay después de 8 años? ¿ Después de cuánto tiempo la población de aves será de 800 individuos? 2. Se administra 50 miligramos de cierto médicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas. ¿Cuál es la formula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente? ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas? ¿Después de cuento tiempo quedará solo un miligramo de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente? 3. Un cultivo tiene 120 bacterias inicialmente, y en cada hora esta cantidad se duplica. a) Encontrar la función que modele el número de bacterias después de t horas. b) Encontrar la cantidad de bacterias después de 15 horas. 4. El azúcar se disuelve en el agua, siguiendo la formula A(t) = ce−kt; donde c y k son constantes. A(t) es el azúcar restante o no disuelta. En un recipiente en el que inicialmente se colocan 30 kilogramos de azúcar, esta cantidad se reduce a 10 kg luego de 4 horas. Trazar la gráfica de azúcar no disuelta en función del tiempo. e = número de Euler. 5. Un elemento radioactivo se desintegra a gran velocidad según la funciónm(t) = 10e0.02t, siendom(t) la cantidad de masa restante después de t días. Encontrar la masa en el tiempo t = 0. Encontrar la masa después de 15 días. 288 CAPÍTULO 5. FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES 5.5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 6. Una variedad de peces fue introducida en el Océano Ártico. Se estima que cada 3 meses, esta población se duplica. Un cardumen inicia con 100 peces; y el tiempo t (en meses) que se necesita para que dicho cardumen crezca a P peces se establece por la función: ( p )log t = 3 100 log2 p Calcular el tiempo necesario para que el cardumen crezca a 2 millones de peces. ¿Cuál será el tamaño del cardumen luego de 18 meses? 7. La función de demanda de un producto está dada por 50p = . Siendo ln(q + 1) “p” el precio en miles de pesos, y “q” la cantidad demandada de productos. ¿Cuántos artículos serán demandados a un precio de 10 mil pesos? 289 Capítulo 6 Expresiones como modelos matemáticos 6.1. Expresiones como modelos matemáticos Una expresión como modelo matemático se refiere a menudo a una ecuación o a una función que describe matemáticamente un fenómeno del mundo real, por ejem- plo, la demanda de un producto en el mercado, el crecimiento o decrecimiento de una población determinada, la velocidad de una partícula en una determinada direc- ción, el grado de concentración de un producto químico, el costo en la reducción de emisión de gas carbónico al ambiente, entre otras situaciones que se puedan pre- sentar, esto con el propósito de predecir, estimar o justificar el comportamiento de dicha situación. Presentada una situación del mundo real, la primera tarea es formular unmodelo ma- temático, para esto se deben identificar las variables independientes y dependientes, además de establecer hipótesis que simplifiquen la situación de tal forma que se pue- da representar la situación, haciendo uso del conocimiento científico (matemáticas, física, química, etc..) mediante ecuaciones o procedimientos que relacionen las va- riables. En muchos de los casos se requiere recolectar datos para tabular y buscar mediante patrones una relación entre las variables. En segundo lugar se hace uso de las herramientas matemáticas que se tenga y se halla una solución del problema matemático del modelo. Se interpretan estas soluciones en el mundo real para dar una predicción de lo que se podría plantear como solución y como parte final se pone a prueba en lo real con el fin de hacer comparaciones para ver si el modelo es efectivo, de lo contrario se debe replantear e iniciar el ciclo nuevamente. Los modelos más comunes son: 291 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS z Modelos lineales. z Modelos polinómicos. z Modelos racionales. z Modelos algebraicos. z Modelos trigonométricos. z Modelos exponenciales. z Modelos logarítmicos. Decimos que un modelo es lineal si la relación de y con x representado en el plano cartesiano es una linea recta, y esta puede ser expresada como: y = f(x) = mx+ b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del punto de corte del eje y. Una característica de este comportamiento lineal es que crece a una tasa constante. Ejemplo 6.1.1. Forma lineal En biología se ha observado que los chirridos de los grillos presentan una relación casi lineal con la temperatura ambiente. Un grillo produce 120 chirridos cada minuto si la temperatura es 70oC y 180oC si la temperatura es de 27oC. Encuentre una ecuación lineal que relacione la temperatura con los chirridos emitidos por el grillo cada minuto. Solución Determinemos la correspondencia de los datos que nos suministra la situación pre- sentada. x T (x) 70 120 27 180 Como se manifiesta que la relación es casi lineal, entonces nos corresponde identi- ficar la situación con la siguiente ecuación: T (x) = mx+ b Determinemos el valor de m y el de b, esto es: 180− 120 60 m = = = −1.395 27− 70 −43 292 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Ahora determinemos el valor de b 120 = −1.395(70) + b b = 217.674 Así la ecuación es T (x) = −1.395x+ 217.674 Decimos que un modelo es polinomial si la relación de y con x presenta la forma: y = f(x) = a xn + a xn−1n n−1 + ...+ a1x+ a0 donde n es un número no negativo y los a0, a1, a2, · · · , an son constantes denomi- nadas coeficientes del polinomio. De acuerdo al grado del polinomio se podrá se- leccionar los polinomios cuadráticos si es de grado dos y cúbicos si es de grado tres. Decimos que un modelo es racional si f es una razón entre dos polinomios: P (x) f(x) = Q(x) Donde P y Q son polinomios y Q(x) 6= 0. Decimos que un modelo es algebraico si presenta cualquier forma algebraica, como por ejemplo: 3 f(x) = √ x 3 x4 + 5 Decimos que un modelo es trigonométrico, si en la expresión de f intervienen las funciones trigonométricas; estas son usadas para modelar situaciones que son pe- riódicas o fenómenos repetitivos como las olas, la vibración de resortes o las ondas sonoras. Una forma seria: [ ] 4π f(x) = 20− 3.5 = sen (2x+ 50) 360 . Decimos que un modelo es exponencial si este tiene la forma f(x) = b · ax donde b es una constante a es la base que debe ser positiva. Un modelo logarítmico se caracteriza por presentar la forma f(x) = loga x, donde la base es a y debe ser positiva. 6.1.1. Porcentajes Si A representa un cantidad de referencia y una cantidad a comparar, el porcentaje que representa de viene dado por BB A ×100. Se representa usando el símbolo%. A 293 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Dada una cantidad A el n% de A es nA ∗ . La forma decimal del porcentaje n% 100 es nr = . Cuando el porcentaje está dado en forma decimal, basta multiplicar la 100 cantidad por el porcentaje en forma decimal, es decir, Ar. 1. Halle la forma decimal del 5%. Solución: % 55 = = 0.05. 100 2. La forma porcentual de r = 0.125. Solución: r = 0.125× 100 = 12.5% 3. ¿Qué porcentaje de 20 es 5? La cantidad de referencia es 20 y la cantidad a comparar es 5, el porcentaje es entonces 5 × 100 = 25. Es decir, 5 es el 25% de 20. 20 4. Halle el 40% de 72. El 40% de 72 es 72× 40 = 28.8. 100 Ejemplo 6.1.2. Porcentaje Un estudiante toma un curso de cálculo diferencial. Su profesor le ha expli- cado que su calificación final será dividida en 3 partes y que la nota mínima aprobatoria es 3.0. La primera parte y la segunda parte valdrán el 30% de la nota final cada una y la última valdrá el 40% de la nota final. Si la calificación de cada parte es de cero a cinco y en la primera parte tiene 3.0, en la segunda parte 2.5, cuál será la calificación mínima que debe obtener en la tercera parte para aprobar el curso? Solución Sea C la calificación en la tercera parte que se necesita obtener. La contribución de la primera calificación a la calificación final es del 30%, así que la primera parte se tiene (3)(30%) = 0.9 La contribución de la segunda calificación a la calificación final es del 30%, así que la segunda parte se tiene (2.5)(30%) = 0.75 La contribución de la tercera calificación a la calificación final es del 40%, así que la tercera parte se tiene (C)(40%) = 0.4C La calificación final es la suma de estas contribuciones parciales y la suma debe ser al menos 3.0, es decir, 0.9 + 0.75 + 0.4C ≥ 3, es decir , 1.65 + 0.4C ≥ 3 Despejando C, se obtiene 1.35 0.4C ≥ 3− 1.65, C ≥ = 3.375 0.4 Por tanto la nota mínima es de 3.4 294 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Disminución y aumentos porcentuales Si una cantidad C se aumenta en una tasa porcentual de r dada en forma decimal, la cantidad final es C + rC = (1 + r)C. Si una cantidad C se disminuye en un tasa porcentual de r dada en forma decimal, la cantidad final es C − rC = (1− r)C. Ejemplo 6.1.3. Porcentaje A una cantidad C se le aplica una disminución de una tasa r y luego a la can- tidad disminuida se le aplica una tasa de aumento s. Escriba algebraicamente el valor final de la operación. Solución 1. C- cantidad inicial 2. (1− r)C- cantidad disminuida en una tasa r, esta es la nueva cantidad a la que se va a aumentar la tasa s. 3. (1+s)[(1−s)C] = (1−r)(1+s)C. - aumento en la tasa s de la cantidad (1−s)C. Ejercicios 59. Solucione cada uno de las siguientes situaciones: 1. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 2. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 3. El precio de un ordenador es de $ 1200 sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? 4. Al comprar unmonitor que cuesta $ 450 se aplica un descuento del 8%. ¿Cuán- to se debe pagar por el monitor? 5. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en $ 8.000. Halla el precio de venta. 6. ¿Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a $ 180.000 para ganar al venderlo el 10%? 7. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a $ 280.000, para perder el 12% sobre el precio de venta? 8. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 1.500.000. 295 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 6.1.2. Interés simple El interés simple se refiere al ingreso adicional que produce un capital inicial en el transcurso de un período de tiempo, este ingreso adicional no se acumula al capi- tal inicial para producir nuevos intereses y será igual en todos los períodos de la inversión mientras la tasa de interés y el plazo no cambien. Ejemplo 6.1.4. Interés simple Asúmase que Juan le presta 100 mil pesos a Samuel al 5% mensual, durante cuatro meses. ¿Cuánto dinero debe entregar Samue a Juan cuando finalicen los cuatro meses? Solución El dinero prestado inicialmente es de $100.000 al señor Samuel. Transcurrido el primer mes Samuel debe pagar en intereses el 5% de $100.000, a lo que corresponden $5.000. Transcurrido el segundo mes Samuel debe cancelar el 5% de $100.000, es decir los mismos $5.000. El interés simple aplica siempre al mismo capital la misma tasa de interés con el mismo tiempo acordado. Por lo que en cuatro meses Samuel debe cancelar a Juan $20.000 en intereses, más el capital inicial, para un total de $120.000. Sea P el capital inicial de un determinado préstamo con una tasa de interés de r aplicado a m periodos de tiempo, si el capital es prestado por n periodos. ¿Que cantidad de dinero se obtiene al finalizar el préstamo? Pf = P + n · (rP ) = P (1 + nr) La anterior expresión permite hallar el valor final de la inversión. Ejercicios 60. Solucione cada una de las siguientes situaciones presentadas. 1. ¿Durante cuánto tiempo ha de invertir un capital de $ 25.000 al 5% para que se convierta en $ 30.000 ? 2. Se prestan $ 45.000 y al cabo de un año, 4 meses y 20 días se reciben $52.500. Calcular el tanto por ciento de interés. 3. Hallar él tanto por ciento de interés simple al que deberá prestarse un capital para que al cabo de 20 años los intereses sean equivalentes al capital prestado. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado al 6%? 4. Hallar el interés producido durante cinco años, por un capital de $ 30.000, al 6%. Calcular en qué se convierte, en seis meses, un capital de $ 10.000, al 3.5%. 296 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 5. Escribe la expresión que indique el tiempo a pagar de un préstamo de $4.000 si se pagaron $60 de interés con una tasa del 6%. 6. Armando está solicitando un préstamo de $ 2.500 y le ofrecen dos opciones: en la primera le ofrecen una tasa de interés del 12% a pagar en un año; la segunda cotización ofrece una tasa de interés del 8% a pagar en un año y nueve meses. ¿cuál préstamo le conviene más? 7. Después de 3 años, un banco ha pagado en concepto de interés la cantidad de $ 84.000 a una persona por depositar un plazo fijo. La tasa de interés ha sido del 2% anual. ¿Cuál fue el capital inicial con el que se hizo el depósito? 8. Obtén el interés a pagar de un préstamo de $ 15.500 al 6% de interés a 180 días? 6.1.3. Interés compuesto Suponga que se invierte P dinero a una tasa de interés r, expresada en forma deci- mal y calculada cada fin de año. Si Ai representa el monto final transcurridos i años, entonces el monto total comprende el patrón de crecimiento que se muestra en la tabla siguiente: Interés compuesto cada año Tiempo en años Monto en la cuenta 0 A0 = P = capital inicial 1 A1 = P + P · r = P (1 + r) 2 A2 = A1 + rA1 = A1 · (1 + r) = P (1 + r)2 3 A3 = A2 · (1 + r) = P (1 + r)3 ... ... n A = An = P (1 + r)n Valor futuro (Composición anual) Si un capital principal P se invierte a una tasa de interés de r por año, com- puesta anualmente, el valor futuro S al final del n-ésimo año es S = P (1 + r)n. Ejemplo 6.1.5. Interés compuesto Suponga que el señor Juan invierte $500.000 al 7% de interés compuesto cada año. Después de 10 años, ¿Qué cantidad de dinero tiene en su cuenta? 297 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Solución Se observa que el interés es compuesto por cada año, así requerimos de los siguien- tes datos: La inversión inicial es P = 500.000 pesos, r = 7% = 0.07 y n = 10. El valor futuro corresponde a S = P (1 + r)n remplazando los datos se determina el monto final S = 500.000(1 + 0.07)10 = 983.575, 68 w 983.576 vemos que el valor de la cuenta de Juan en 10 años es de $983.576 Valor futuro (Composición periódica) Si un capital principal P se invierte t años a una tasa de interés nominal anual de r por año, compuesta m veces po(r año, e)l valor futuro S es:r mt S = P 1 + m Ejemplo 6.1.6. Interés compuesto Suponga que el señor Humberto invierte $500.000 al 9% de interés anual ca- pitalizable cada mes, es decir, compuesto 12 veces al año. Determine el valor futuro después de 5 años. Solución Extrayendo los datos, nos queda que P = 500.000, r = 0.09, m = 12 y t = 5. La forma de calcular el valor futuro con (compos)ición periódica es :r mt S = P 1 + m Remplazando los datos se tiene que, ( )12·5 0.09 S = 500.000 1 + 12 S = 782.840, 5 Así el valor de la inversión de Humberto después de 5 años es de $ 782.840,5. Ejercicios 61. Solucione cada uno de los siguientes problemas. 1. Luis deposita $ 8.000 en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro años? 298 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 2. Calcular el valor final de un capital de $ 20.000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente. 3. Se invierte $ 8.000 por un año a la tasa del 12% capitalizable mensualmen- te. Determinar el monto al final del año, si transcurridos 3 meses la tasa se incrementó al 18% capitalizable mensualmente. 4. Se deposita $ 10.000 en un banco que paga el 18% de interés con capitali- zación mensual, transcurridos 4 meses se retira $ 4.000. Hallar el importe que tendrá en el banco dentro de un año de haber realizado el depósito. 5. En un banco para el término de 3 años han depositado $30.000 bajo el 10% de interés anual. a) Calcular ¿cuántomás beneficioso sería la variante cuándo el ingreso anual se suma a la cuenta para la cual concederá el interés que la variante cuan- do el interés se recoge por el cliente cada año? b) ¿Cuál será la diferencia dentro de 10 años? 6. Sabiendo que la tasa de interés anual del depósito es el 12%, calcular la tasa de interés mensual que le equivale. ¿En qué tiempo, en años meses y días, se duplicará un capital de $7.000.00 a una tasa de intereses efectiva del 7.25%? 7. Calcule el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 9 años y 6 meses será de $8.100.00 considerando una tasa de interés del 13% anual, capitali- zable trimestralmente. 6.1.4. Proporcionalidad 1. Cantidades directamente proporcionales: A es directamente proporcional a B si existe una constante no nula k tal que A = kB. Si A es proporcional a B con constante de proporcionalidad k entonces B es directamente proporcional a A con constante de proporcionalidad 1 , es decir, B = 1A. k k 2. Cantidades inversamente proporcionales: A es inversamente proporcional a B si existe una constante no nula k tal que A = k 1 = k . Si A es inversa- B B mente proporcional a B con constante de proporcionalidad k entonces B es inversamente proporcional a A con constante de proporcionalidad 1 , es decir, k 1 1 B = . k A Las relaciones de proporcionalidad pueden darse entre tres o más cantidades A es directamente proporcional a B y a C si existe k tal que A = kBC 299 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS A es inversamente proporcional a B y a C si existe una constante k tal que k A = . BC A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C si existe una constante k tal que BA = k . C Ejemplo 6.1.7. Proporción ¿Cuál es el precio de 300 g de café a 150 pesos los 60 g? Solución Al aumentar la cantidad de café, también aumenta el precio en la misma proporción. Por lo tanto le corresponde la siguiente expresión. P = kC. Donde P es el precio del café y C la cantidad de café. Sa sabe que 60 g de café cuestan 150 pesos, así se tiene que: P = kC 150 = K60 150 5 k = = . 60 2 Por tanto la expresión que modela dicha situación es: 5P = C 2 Para dar solución del precio a los 300 g, se reemplaza en la anterior ecuación: 5 P = (300) = 750. 2 El precio de 300 g de café es de 750 pesos. Ejemplo 6.1.8. Proporción Si cuatro hombres terminan una obra en 20 días. ¿Cuánto tardaran 6 hombres en terminar la misma obra? Solución Se tiene que la obra a desarrollar es la misma y es de pensar que a mayor número de hombres trabajando en la obra, esta será terminada en menor tiempo, por lo que se tiene una relación inversa y así, se representa con la siguiente expresión: 1 H = k , T 300 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS donde H es el número de hombres y T es el tiempo que se tardan en construir la obra. Se debe determinar ahora el valor de k, esto es: k = HT = 4 · 20 = 80, de esta forma se tiene que 1H = 80 , remplazando los valores T se obtiene. 1 6 = 80 . T Así 80T = = 13.3 6 La obra se finalizará con seis hombres, en 13 días con 8 horas aproximadamente. Ejercicios 62. Resuelve los siguientes problemas. 1. Andrea ha cobrado por repartir propaganda durante cinco días $ 126.000 ¿Cuán- tos días deberá trabajar para cobrar $ 340.000? 2. En un plano de una ciudad de Cartagena, una calle de 350 metros de longitud mide 2,8 cm. ¿Cuánto medirá sobre ese plano otra calle de 200 metros? 3. En una panadería con 80 kg son capaces de hacer 120 kg de pan. ¿Cuántos kg de harina serán necesarios para hacer 99 kg de pan? 4. Un padre reparte un premio de lotería de $ 930.000 en proporción inversa a las edades de sus hijos de 6, 8, 12 y 18 años. Halla lo que le corresponde a cada hijo. 5. Entre tres pintores han pintado una casa y han cobrado $ 416.000. El primero ha trabajado 15 días, el segundo 12 días y el tercero 25 días. ¿Cuánto va a cobrar cada uno? 6. María, Rosa y Clara han cobrado por un trabajo $ 3.440.000. Rosa ha trabajado 7 horas, María 5 horas y Clara 4 horas. ¿Qué sueldo le corresponde a cada una proporcionalmente a su trabajo? 7. Un grifo abierto 9 horas durante 8 días ha arrojado 5.400 litro. ¿Cuántos litros arrojará durante 18 días a 8 horas diarias? 8. Tres amigos alquilan un coche para unas vacaciones en la playa durante 12 días. Pedro ha estado solo 2 días en la playa, Juan 3 días y Antonio 7 días. El importe del alquiler asciende a $ 264.000. ¿Cuánto debe pagar cada uno? 9. Unos amigos quieren repartir $ 1.000.000 de un premio de manera inversa- mente proporcional a las veces que han llegado tarde a las citas. Si Juan ha llegado tarde 2 veces, Marta 3 veces y Lucas 5 veces, ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 301 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 10. Para imprimir unos folletos publicitarios, 9 impresoras han estado en funciona- miento 8 horas diarias durante 40 días. ¿Cuántos días tardarán en imprimir el mismo trabajo 6 impresoras funcionando 10 horas diarias? 6.1.5. Modelos exponenciales y logarítmicos Crecimiento y decaimiento exponencial. Las funciones exponenciales y = ekx donde k es una constante no nula se usan para modelar crecimiento o decaimiento exponencial. La función P = P0ekx es modelo para crecimiento exponencial si k > 0. La función P = P0ekx es modelo para decaimiento exponencial si k < 0. Algunos ejemplos de estos fenómenos son: Interés compuesto continuamente. Se usa la función C(t) = C ert0 donde C(t) es el capital total después de un tiempo t (en años), C0 es el capital inicial invertido y r es la tasa de interés en forma decimal. Decaimiento radiactivo. También conocido como desintegración nuclear o radio- actividad, es el proceso por el cual el núcleo de un átomo inestable pierde energía por emisión de radiación, que incluye partículas alfa, partículas beta, rayos gamma y electrones de conversión. Un material que emite espontáneamente tal radiación se considera radiactivo.La desintegración radiactiva es un proceso estocástico (es decir, al azar) a nivel de átomos individuales, en el que, según la teoría cuántica, es imposible predecir cuando un átomo en particular decaerá. La probabilidad de que un átomo dado decaiga nunca cambia, es decir, no importa cuánto tiempo ha existido el átomo. La tasa de decaimiento de una gran colección de átomos, sin em- bargo, puede ser calculada a partir de sus constantes de desintegración medidos o vidas medias. Esta es la base de la datación radiométrica. Las vidas medias de los átomos radiactivos no tienen límite inferior o superior conocido. Se conocen vidas medias casi instantáneas y vidas medias de casi la edad del universo [11]. Cantidades constantes: La vidamedia, t 1 , es el tiempo necesario para que la can- 2 tidad de una sustancia radiactiva se desintegre hasta llegar a la mitad de la cantidad inicial. Este tiempo es independiente de la cantidad inicial. Es decir si la cantidad 302 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS inicial es P0, entonces P (t ) = 11 P . Resolviendo la ecuación 2 2 0 1 ( ) k(t 1 ) P0 = P t 1 = P0e 2 2 2 1P 2 0 k(t 1 )= e 2 P0 1 kt 1 = e 2 2 Ahora se necesita hallar el valor de k, s(e a)plica la definición de logaritmo natural t 1k = ln 1 = − ln 2. 2 2 De modo que − ln 2t 1 = . 2 k Definición 6.1.1: Vida media La vida media para un modelo de decaimiento radiactivo P (t) = P ekt0 , viene dada por − ln 2 t 1 = . (6.1) 2 k La constante de decaimiento, λ, “lambda” la inversa de la vida media, a veces refe- rido simplemente como tasa de descomposición. La vida promedio τ , “tao” la vida promedio de una partícula radiactiva antes del decaimiento. Ejemplo 6.1.9. Sustancia radioactiva La vida media de una sustancia radioactiva es 12 horas y hay 8 gramos pre- sentes inicialmente. (a) Exprese la cantidad de sustancia restante como una función del tiempo t. (b) Cuándo habrá un gramo de sustancia restante. Solución (a) Como es modelo de decaimiento radiactivo la cantidad restante P viene dada por P = P0ekt. Como la cantidad inicial es P (0) = P0 = 8gr. Entonces P (t) = 8ekt. Faltaría determinar k. Para esto se usa la condición de la vida media, t 1 = 12. Esto significa que P (t) evaluado en t 1 debe dar la mitad de lo que 2 2 había inicialmente es decir 1P0. Así:2 303 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS − ln 2 t 1 = 2 k − ln 2 12 = k 12k = − ln 2 − ln 2 k = ≈ −0.0577 12 Así el modelo completo es P (t) = 8e−0.0577t. (b) Para la parte b se requiere hallar el tiempo t para el cual P (t) = 1. Se debe resolver para t, entonces 1 = P (t) = 8e−0.0577t o −0.0577t 1e = ( ) 8 de donde se concluye que −0.0577t = ln 1 = − ln 8. Despejando t se obtiene 8 t = − ln 8− = 36.0388.0.0577 Habrá un gramo de sustancia a las 36 horas aproximadamente. Crecimiento logístico. Es un modelo común de crecimiento de poblaciones, originalmente, debido a Pierre- François Verhulst en 1838, donde la tasa de reproducción es proporcional tanto a la población existente como a la cantidad de recursos disponibles, en igualdad de condiciones. Verhulst derivó su ecuación logística para describir el crecimiento auto- limitante de una población biológica. La ecuación fue redescubierta en 1911 por AG McKendrick para el crecimiento de bacterias en caldo [3]. Asuma que P representa el tamaño de la población (A veces se usaN en lugar de P.) y t representa el tiempo, r define la tasa de crecimiento y K es la capacidad de carga (número máximo de individuos que soporta el ecosistema). Entonces el número de individuos en el tiempo t comenzando con una población inicial P0, viene dado por KP ert0 P (t) = (6.2) K + P0 (ert − 1) La población alcanza un número de C individuos si P (t) = C. Si se quiere averiguar el tiempo en donde se alcanza este C se debe resolver para t la ecuación KP0e rt P (t) = = C K + P0 (ert − 1) 304 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS KP0e rt = C(K + P (ert0 − 1)) = CK + CP0(ert − 1) KP0e rt = CK + CP rt0e − CP0 KP ert0 − CP rt0e = CK − CP0 = C(K − P0) (KP rt0 − CP0)e = C(K − P0) rt C(K − P0)e = P0(K − C) Usando la definición de logaritmo natu(ral se obtiene) C(K − P0) rt = ln (P0K − C)P0 ln C(K−P0) P0(K−C) t = . r Lo anterior muestra que analíticamente la población nunca alcanzará los K indivi- duos porque C = K no es posible para la ecuación (el denominador sería cero). Ejemplo 6.1.10. Crecimiento poblacional Se sabe que un ecosistema puede soportar una población de 500 individuos y se carga con una población inicial de 20, con una tasa de crecimiento del 5%. Hallar la población para t = 5, y el tiempo que le toma a la población en llegar a 250 individuos y a 499 individuos. Solución Aquí P0 = 20 que es la población inicial. Tasa de crecimiento es 5% y en forma decimal es r = 0.05 y la carga máxima del sistema es K = 500. La población en el tiempo t viene dada por (500)(20)e0.05t (500)(20)e0.05t 500e0.05t P (t) = = = . 500 + (20)(ert − 1) 20(25 + (e0.05t − 1)) 25 + (e0.05t − 1) Por tanto el modelo para la población es 500e0.05t P (t) = . (6.3) 24 + e0.05t Para t = 5 la población viene dada por el valor de P (t) en t = 5, es decir P (5). 500e0.05(5) P (5) = = 25.392. 24 + e0.05(5) Para la segunda parte se debe hallar t para el cual P (t) = 250. 305 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 500e0.05tComo P (t) = , se debe resolver la ecuación para t, 24 + e0.05t 500e0.05t = 250. 24 + e0.05t Para ello primero se agruparán los términos que involucran la función exponencial y luego se usarán logaritmos para despejar t. 500e0.05t = 250(24 + e0.05t) = 250(24) + 250e0.05t 500e0.05t − 250e0.05t = 6.000 250e0.05t = 6.000 0.05t 6.000e = = 24 250 e0.05t = 24 Usando la definición de logaritmo natural se obtiene que 0.05t = ln 25. De donde t = ln 24 = 63.561. 0.05 Verifiquemos, que esta sea efectivamente la respuesta buscada: 500e0.05(63.561) P (63.561) = = 249.999 ≈ 250. 25 + e0.05(63.561) La población para t = 5 es 25.392 y el tiempo que demora la población en llegar a 250 individuos es 63.561. Para 499 individuos podemos usar la formula deducida anteriormrnte con C = 499 para no repetir el proceso ( ) ln C(K−P0) P0K−CP0 t = . r ( ) ln 499(500−20) 20(500−499) t = = 187.81. 0.05 Para construir la gráfica, construimos una tabla de valores 306 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 500 e0.05 (0) 500 e0.05 (10) P (0) = P (10) = e0.05 (0) + 24 e0.05 (10) + 24 500 e0.05 (20) 500 e0.05 (30) P (20) = P (30) = e0.05 (20) + 24 e0.05 (30) + 24 500 e0.05 (40) 500 e0.05 (50) P (40) = P (50) = e0.05 (40) + 24 e0.05 (50) + 24 500 e0.05 (60) 500 e0.05 (70) P (60) = P (70) = e0.05 (60) + 24 e0.05 (70) + 24 500 e0.05 (80) 500 e0.05 (90) P (80) = P (90) = e0.05 (80) + 24 e0.05 (90) + 24 500 e0.05 (100) P (100) = e0.05 (100) + 24 Se obtienen los valores t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P (t) 20 32.14 50.87 78.67 117.70 168.34 227.80 289.89 347.324 394.75 430.399 y se grafican los puntos respectivos tomando la escala adecuada. Tome el máximo valor de la función en la tabla y asígnelo a la mayor altura disponible en el papel y los demás puntos asígnelos de manera proporcional. Al final trace una curva suave que pase por ellos. 400 300 200 100 20 40 60 80 100 307 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 400 300 200 100 50 100 150 200 Datación por radiocarbono. El método de datación por radiocarbono se basa en el hecho de que el isótopo de carbono radiactivo 14C (carbono 14) tiene una vida media conocida de aproximada- mente 5.700 años. La materia orgánica viviente mantiene un nivel constante de 14C mediante “respiración de aire” (o por el consumo de materia orgánica que lo hace). Pero el aire contiene 14C junto con el isótopo de carbono mucho más estable y co- mún 14C , sobre todo en el gas CO2. Así todos los organismos vivos mantienen el mismo porcentaje de 14C como en el aire, ya que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entre los dos isótopos. Pero cuando un organismo muere, deja de metabolizar el carbono, y el proceso de la desintegración radiactiva comienza a agotar su contenido de 14C. La fracción de 14C en el aire permanece más o menos constante, porque el 14C se genera de forma continua por el bombardeo de átomos de nitrógeno en la atmósfera superior por los rayos cósmicos, y esta generación ha sido durante mucho tiempo en el equilibrio de estado estacionario con la pérdida de 14C a través de la desintegración radiactiva [8]. Ejemplo 6.1.11. Muestra de carbono Unamuestra de carbón vegetal encontrado en Stonehenge (sitio arqueológico) contiene 58% de 14C cantidad igual a la que contiene una muestra de carbón vegetal actual. ¿Cuál es la edad de la muestra? Solución El modelo para este problema es N(t) = N ekt0 donde N0 es la cantidad que había inicialmente. Se necesita estimar k. Tómese como t = 0, t en años, como el tiempo de muerte del árbol del cual se formó el carbón. Se sabe que la vida media del carbono es 5.700 años, es decir, t 1 = 5.700 2 308 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS y que t ln 21 = − de donde se despeja k, es decir, 2 k − ln 2k = = −0.0001216. 5.700 Puesto que la cantidad presente es 58% de lo que había inicialmente, la cantidad presente es 0.58N0. Se debe buscar t para el cual N(t) = 0.58N0. Se resuelve en- tonces la ecuación (0.58)N0 = N(t) = N e −0.0001216t 0 0.58 = e−0.0001216t usando logaritmo natural, ln(0.58) = −0.0001216t ln(0.58) t = = 4.479.66. −0.0001216 Es decir la muestra tiene aproximadamente 4.480 años. Eliminación de drogas. La cantidad A(t) de cierta droga en el torrente sanguí- neo, medida como el exceso sobre el nivel normal, típicamente decrece a una tasa proporcional a la cantidad en exceso. Es decir, si DA representa la variación de A entonces DA = kA para cierta constante k negativa (puede suponerse λ positiva y tomarse −λ como constante de proporcionalidad). Esto significa que A(t) = A e−λt0 , donde A0 es la cantidad inicial. Aquí λ se llama constante de eliminación y 1 T = λ se llama tiempo de eliminación [8]. Disminución de ventas. De acuerdo con estudios de mercadeo, si la publicidad de un producto determinado se detiene y otras condiciones de mercado -tales como el número y promoción de productos de la competencia, sus precios, y así sucesi- vamente se mantienen sin cambios, entonces las ventas de los productos que no se anuncian se reducirán a una velocidad que es proporcional en cualquier momen- to t a las ventas actuales S. Es decir, si DS representa la variación de las ventas, DS = −λS lo que lleva a S(t) = S e−λt0 [8]. Aquí S0 denota el valor inicial de las ventas, que se toman como las ventas en el último mes de la publicidad. Si se toman meses como las unidades para el tiempo t, entonces S(t) da el número de ventas de t meses después que la publicidad se detuvo, y podría ser llamada la constante de decaimiento de ventas. Lingüística. Considere la posibilidad de una lista básica de palabras N0 en uso en un idioma determinado en el tiempo t = 0. SeaN(t) el número de estas palabras que todavía están en uso en el momento t-aquellas que no han desaparecido de la lengua ni han sido reemplazadas-. Según una teoría en lingüística, la tasa de disminución de 309 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS N es proporcional a N. Esto es, siDN representa la tasa de disminución,DN = −λN de donde N = N0e −λt Si t se mide en miles de años (como es habitual en lingüística), entonces k = e−λ es la fracción de las palabras de la lista original que sobrevive durante 1000 años [8]. Crecimiento de poblaciones con inmigración. Considere una población P (t) con tasas de nacimientos constantes β y tasa de muertes constante δ, pero con una tasa de inmigración I personas por año entrando al país. Entonces la población en el año t viene dada por I P (t) = P ekt + (ekt0 − 1), k = β − δ k (P0k + I) e kt − I P (t) = . k Enfriamiento y calentamiento. De acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo de un cuerpo es pro- porcional a la diferencia entre T y la temperatura A de su medio. Si T0 representa la temperatura en el tiempo t = 0 entonces para A constante la temperatura T en el tiempo t viene dada por T (t) = A+ (Tn − A)e−kt. Difusión de información y esparcimiento de enfermedades. Ejemplo 6.1.12. Crecimiento de bacterias Suponga que un cultivo de 200 bacterias se coloca en una caja de Petri y el cultivo se duplica cada hora. Estime cual es el número de bacterias que se desarrollan en 6 horas. Solución Detallemos los primeros cálculos en las horas iniciales, con el fin de observar el patrón que le corresponde. 400 = 200 · 2 Bacterias en una hora 800 = 200 · 22 Bacterias en dos horas 1600 = 200 · 23 Bacterias en tres horas ... ... P (t) = 200 · 2t Total de bacterias transcurridas t horas 310 CAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS Así que la función P (t) = 200 ·2t representa el total de bacterias transcurridas t horas en la caja de Petri. Por tanto P (6) = 200 · 26 = 12.800, la población de bacterias en la caja de Petri es de 12.800 transcurridas 6 horas. Ejemplo 6.1.13. Propagación de un rumor En el Programa de Matemáticas hay 140 estudiantes y Fabiana inicia un rumor que se propaga de la siguiente forma 140S(t) = . Esta expresión (1 + 39 · e−0.9t) modela el número de estudiantes que han escuchado el rumor a lo largo de t horas ¿Cuántos estudiantes han escuchado el rumor al final del día cero? ¿Cuánto tiempo tarda en que 50 estudiantes escuchen el rumor? Ejercicios 63. Solucione cada uno de los siguientes enunciados. 1. Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años. a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la po- blación de aves? b) ¿Cuántas aves hay después de 4 años? c) ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1.000 indivi- duos? 2. Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas. a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medica- mento restante en el torrente sanguíneo del paciente ? b) ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas? c) ¿Después de cuanto tiempo quedará solo un miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente? 3. Encontrar la función a partir de valores dados. En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas y después de 4 días hay 300 moscas. a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la po- blación de moscas? 311 6.1. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOSCAPÍTULO 6. EXPRESIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS b) ¿Después de cuánto tiempo la población de moscas será de 1.000 indivi- duos? 4. Se tiene un cultivo de bacterias en un laboratorio y se sabe que su crecimiento es exponencial. El conteo del cultivo de bacterias fue de 800 después de un minutos y 1.280 después de dos minutos. a) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento del cultivo de bacterias? b) ¿Cuántas bacterias hay después de 5 minutos? c) ¿Después de cuanto tiempo el número de bacterias será de 10.000? 312 Bibliografía [1] Carl B Allendoerfer and Cletus Oakley. Fundamentals of Freshman Mathe- mathics. McGraw-Hill, second edition, 1965. [2] Tom M Apostol. Calculus. Reverte, 1999. [3] N. Bacaër. Verhulst and the logistic equation (1838). Springer, London, 2011. [4] Carl B Boyer and Uta C Merzbach. A history of mathematics. John Wiley & Sons, 1986. [5] Carl B Boyer and Uta C Merzbach. A history of mathematics. John Wiley & Sons, 2011. [6] David C Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson, 2007. [7] Charles Lehmann. Geometría analítica. Limusa, 1995. [8] David E. Penney and Charles Henry Edwards. Calculus with Analytic Geometry. Prentice-Hall, 1998. [9] James Stewart. Introducción al cálculo. Thomson, 2007. [10] James Stewart, Lothar Redlin, and SaleemWatson. Precálculo. Cengage, 2017. [11] Wikipedia contributors. Radioactive decay — Wikipedia, the free encyclopedia, 2020. [Online; accessed 9-March-2020]. [12] Dennis G Zill. Matemáticas 1. McGrawHill, 2011. 313 La impresión de este libro se realizó en papel bond blanco 90grs. para páginas interiores y propalcote de 280 grs. Para la portada con plastificado mate. con un tiraje de 200 ejemplares. El libro MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO, de los autores Juan Cárdenas Guerra y Germán Buelvas Medina, se diseñó y diagramó en la Editorial Universitaria – Sección de Publicaciones de la Universidad de Cartagena y se terminó de imprimir en el año 2022 en la empresa Alpha Group, en la ciudad de Cartagena de Indias, Colombia.