Factorización no única de polinomios sobre clases
residuales de los enteros

Trabajo de Grado que Presenta

Fernando Pérez Berŕıo
Para optar al t́ıtulo de matemático

Asesor
Néstor Rodŕıguez Vega

Universidad de Cartagena
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Programa de Matemáticas

Cartagena de Indias D. T. y C.

Mayo de 2012



Dedico este trabajo a la memoria de mi abuela
Catalina Miranda.

Agradezco a mis padres y a mis amigos por haberme apoyado
en la consecución de este logro.

De igual manera, un agradecimiento especial al
Profesor Néstor Rodŕıguez Vega,

sin cuya ayuda esto no hubiera sido posible.



Índice general

Introducción IV

1. Preliminares 1
1.1. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Ideales Primos y Maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2. Anillos Cocientes y Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Elementos Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Valuación p-ádica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Irreducibilidad, Divisores de Cero Benignos y Atomicidad 15
2.1. Divisores de Cero Benignos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Atomicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Camino a la No Unicidad 18
3.1. De Polinomios arbitrarios a Elementos Regulares . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. De Elementos Regulares a Polinomios Mónicos . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. De Polinomios Mónicos a Polinomios Mónicos Primarios . . . . . . . . . 23

4. No Unicidad de la Factorización 27
4.1. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. No Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Bibliograf́ıa 30

iii



Introducción

En teoŕıa de números, el teorema fundamental de la Aritmética afirma que todo
entero positivo se puede expresar de manera única como producto de factores primos.
Por ejemplo, 49392 = 24 · 32 · 73 y 1200 = 24 · 3 · 52. No existe ninguna otra factorización
de 49392 y 1200 en números primos. Como la multiplicación es conmutativa, el orden
de los factores es irrelevante.

Existen anillos en los cuales la factorización en irreducibles no es única. Un ejemplo
es lo que sucede con el campo k = Q(

√
−5), ya que

21 = 3 · 7 = (1 + 2
√
−5)(1− 2

√
−5).

Este fenómeno ha sido poco estudiado. La teoŕıa de factorización no única se encarga
principalmente de clasificar y analizar los distintos fenómenos de no unicidad de factor-
izaciones que pueden ocurrir en un dominio entero. Poca importancia en este estudio
han tenido aquellos anillos que contienen divisores de cero, como es el caso de Zpn [x]. La
gran mayoŕıa de los estudios sobre factorización no única han sido desarrollados sobre
el anillo de los enteros de un campo numérico K.

Al estudiar la factorización en elementos irreducibles al interior de Zpn [x] hay que
tener en cuenta que este anillo posee divisores de cero, lo cual le quita la posibilidad de
ser un dominio entero. Los divisores de cero en Zpn [x] tienen una caracteŕıstica especial:
si a es un divisor de cero en Zpn [x], a puede ser expresado como a = 1 + u, donde u es
una unidad en Zpn [x] y se dice que a es un divisor de cero benigno. El hecho anterior,
junto con el de que Zpn [x] es Noetheriano nos llevan a la conclusión de que Zpn [x] es
atómico, lo cual es muy importante a la hora de hablar de unicidad de factorizaciones.

En el caṕıtulo 3 se pasa de factorización de polinomios arbitrarios a factorización de
polinomios primarios mónicos, los cuales van a permitir definir monoides cuya elasticidad
es infinita, y cuya suma directa es igual al monoide de los no divisores de cero en Zpn [x].

iv



Caṕıtulo 1

Preliminares

En este caṕıtulo se introducen conceptos fundamentales que deben ser tenidos en
cuenta a lo largo de este trabajo. Se muestran algunos resultados básicos de teoŕıa de
anillos, enfatizando en lo que son los ideales y lo referente a la factorización.

1.1. Anillos

Definición 1.1 (Anillo). Un conjunto no vaćıo R junto con dos operaciones binarias
+, ·, llamadas suma y multiplicación, respectivamente, se llama anillo si:

(i) (R,+) es un grupo abeliano, o sea

• a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a, b, c ∈ R;

• Existe 0 ∈ R tal que a+ 0 = 0 + a = a para todo a ∈ R;

• Para todo a ∈ R existe −a ∈ R tal que a+ (−a) = −a+ a = 0;

• a+ b = b+ a para todo a, b ∈ R.

(ii) · es asociativa, o sea,
a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ R.

(iii) Se cumplen las leyes distributivas:
a · (b+ c) = (a · b) + (a · c),
(b+ c) · a = (b · a) + (c · a) para todo a, b, c ∈ R.

Notación: (R,+, ·) denotará un anillo con las operaciones +, ·.

Ejemplo 1.1. Sean R = Zn = {0, 1, . . . n− 1}, n > 0, + y · operaciones en Zn definidas
por:

1



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2

a+ b = a+ b

a · b = ab para todo a, b ∈ Zn

(Zn,+, ·) es un anillo en donde la operación · es conmutativa y existe un elemento neutro
1. Este anillo se llama el anillo de las clases residuales módulo n o anillo de los enteros
módulo n.

Nota: Por a se entiende el residuo que se obtiene al dividir a entre n. Por tanto, si a y
b son elementos de Zn decir que a = b es equivalente a decir que a ≡ b mod n.

Definición 1.2. Un anillo (R,+, ·) donde la operación · es conmutativa se llama anillo
conmutativo. Un anillo en el que la operación · tiene elemento neutro se llama anillo
con (elemento) identidad, o unitario, o simplemente, anillo con 1. Tal elemento neutro
será denotado por 1R o simplemente 1 cuando no haya riesgo de confusión.

Definición 1.3 (Subanillo). Sea (R,+, ·) un anillo. Un subconjunto U ⊆ R, U 6= ∅ se
llama subanillo de R si (U,+, ·) es un anillo.

Por simplicidad, a partir de ahora se escribirá R en vez de (R,+, ·).

1.2. Polinomios

Definición 1.4. Sea R un anillo. Un polinomio f(x) con coeficientes en R es una suma
formal infinita de la forma

∞∑
i=0

aix
i = a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ anx
n + · · ·

donde ai ∈ R y ai 6= 0 sólo para una cantidad finita de valores de i. Los ai son los
coeficientes de f(x). El grado de f(x) es el mayor valor de i para el cual ai 6= 0, y se
notará por deg f . Si todos los ai son nulos, el grado de f(x) es indefinido. El conjunto
de todos los polinomios con coeficientes en R es un anillo y será denotado por R[x].

Por simplicidad, se escribirá f(x) = a0 +a1x+ · · ·+anx
n cuando ai = 0 para todo i > n.

Si R tiene elemento unitario 1, escribiremos el elemento 1xk simplemente como xk.

Definición 1.5. Si f(x) = a0 + a1x + · · · + anx
n con an 6= 0, an se llama coeficiente

principal de f(x). Si R es un anillo unitario y an = 1, entonces f(x) se dice mónico.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 3

Las operaciones de suma y multiplicación en R[x] se definen como sigue:
En lo que se refiere a la suma, esta se realiza ”componente a componente”, o sea

n∑
i=0

aix
i +

n∑
i=0

bix
i =

n∑
i=0

(ai + bi)x
i

(aqúı an o bn no necesariamente tienen que ser no nulos, con el fin de que la suma de
polinomios de grados diferentes esté definida).
La multiplicación se lleva a cabo definiendo primero (axi)(bxj) = abxi+j para polinomios
con un solo coeficiente no nulo; y después extendiendo esto a polinomios más generales
mediante la aplicación de leyes distributivas:(

n∑
i=0

aix
i

)(
n∑
i=0

bix
i

)
=

n+m∑
k=0

(
k∑
i=0

aibk−i

)
xk

El anillo R aparece en R[x] como el conjunto de los polinomios constantes. Por la forma
en la que se ha definido la multiplicación, R[x] resulta ser un anillo conmutativo con
identidad (el 1 de R).

1.3. Ideales

Definición 1.6. Un subanillo I de R se llama un ideal (bilátero) de R si para todo x ∈ I
y todo y ∈ R se tiene que xy ∈ I y yx ∈ I, es decir, si la multiplicación de elementos
de I por cualquier lado produce otro elemento de I.

Afirmación. La intersección de ideales es otra vez un ideal.

Definición 1.7. Sea R un anillo conmutativo. El ideal

(a) =
⋂
{U |U es un ideal de R y a ∈ U}

se llama ideal principal generado por a.

Definición 1.8. Sean I y J dos ideales de un anillo R. Se define la multiplicación de
I y J como

IJ =

{ n∑
i=1

xiyi|xi ∈ I, yi ∈ J
}



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4

1.3.1. Ideales Primos y Maximales

Definición 1.9. Un ideal propio P de un anillo R se llama ideal primo si xy ∈ P
implica que x ∈ P o y ∈ P .

Definición 1.10. Sea M un ideal propio de un anillo R. M se dice maximal si M ⊆
K ⊆ R, K ideal de R es equivalente a M = K o K = R.

Definición 1.11. Un ideal propio P de un anillo R se llama un ideal primario si siempre
que ab ∈ P se tiene que a ∈ P o bn ∈ P para algún n ∈ Z+.

Definición 1.12. Si R es un anillo, un elemento x ∈ R se dice nilpotente si existe
n ∈ N tal que xn = 0.

Definición 1.13. Sea R un anillo conmutativo.

(i) Nil(R) denota el nilradical de R, es decir, la colección de todos los elementos
nilpotentes de R.

(ii) Jac(R) denota el radical de Jacobson de R, es decir, la intersección de todos los
ideales maximales de R.

(iii) Z(R) denota el conjunto de los divisores de cero de R.

(iv) U(R) denota el grupo de las unidades de R.

Proposición 1.1. El nilradical de un anillo arbitrario R es la intersección de todos los
ideales primos de R.

Demostración. Sea N la intersección de todos los ideales primos de R. Si f ∈ R es un
elemento nilpotente y si P es un ideal primo, entonces fn = 0 para algún n > 0, de
aqúı que f ∈ P (porque P es primo). Aśı que f ∈ N .
Rećıprocamente, supóngase que f no es nilpotente. Sea Σ el conjunto de ideales I con
la propiedad

n > 0 =⇒ fn 6∈ I.

Entonces Σ es no vaćıo porque 0 ∈ Σ. El Lema de Zorn puede ser aplicado al conjunto Σ,
ordenado por inclusión, y por lo tanto Σ tiene un elemento maximal. Sea P un elemento
maximal de Σ. Vamos a mostrar que P es un ideal primo. Supongamos que x 6∈ P ,
y 6∈ P . Está claro que los ideales P + (x), P + (y) contienen a P estrictamente y, por
tanto, no pertenecen a Σ; de aqúı que

fm ∈ P + (x), fn ∈ P + (y)

para algunos m,n. Se sigue que fm+n ∈ P + (xy) no está en Σ y por tanto xy 6∈ P . De
aqúı que tenemos un ideal primo P tal f 6∈ P , de modo que f 6∈ N .



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5

1.3.2. Anillos Cocientes y Homomorfismos

Definición 1.14 (Homomorfismo de Anillos). Sean R y S anillos.

(i) Un homomorfismo es un mapeo φ : R→ S que satisface:

• φ(a+ b) = φ(a) + φ(b) para todo a, b ∈ R
• φ(ab) = φ(a) · φ(b) para todo a, b ∈ R.

(ii) El núcleo del homomorfismo φ, denotado por ker φ es el conjunto de los elementos
x de R tales que φ(x) = 0S.

(iii) Un homomorfismo de anillos biyectivo se llama isomorfismo.

Si el contexto es claro sólo se dirá homomorfismo en vez homomorfismo de anillos.

Sean R un anillo e I un ideal de R. Pongamos

R/I = {a+ I : a ∈ R},

donde a+ I está dado por a+ I = {x ∈ R : x− a ∈ I}.
En R/I definamos las operaciones ⊕ y � mediante:

(a+ I)⊕ (b+ I) = (a+ b) + I

(a+ I)� (b+ I) = (a · b) + I

para todo a, b ∈ R.
El lector puede probar que (R/I,⊕,�) es un anillo con 1 = 1 + I y 0 = 0 + I. Este
anillo se llama el anillo cociente de R por I.

Teorema 1.1. Sea R un anillo e I un ideal de R. La función π : R→ R/I definida por
π(a) = a + I, para todo a ∈ R, es un homomorfismo sobreyectivo de anillos con núcleo
I.

Demostración. Veamos que π es un homomorfismo:
π(a+ b) = (a+ b) + I = (a+ I) + (b+ I) = π(a) + π(b)
π(a · b) = (a · b) + I = (a+ I) · (b+ I) = π(a) · π(b).
Ahora ker(π) = {a ∈ R : π(a) = 0 + I} = {a ∈ R : a+ I = 0 + I} = {a ∈ R : a ∈ I} =
I

El homomorfismo π del teorema anterior se llama la proyección canónica (u homomor-
fismo canónico) de R en R/I.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6

Teorema 1.2. Sea f : R → S un homomorfismo sobreyectivo; y sea φ : R → R/ker f
el homomorfismo canónico. Entonces existe un isomorfismo ψ : R/ker f → S, tal que
ψ ◦ φ = f .

Demostración. Definiendo la función ψ : R/ker f → S como ψ(x + ker f) = f(x),
tenemos que (ψ ◦ φ)(x) = ψ(x + ker f) = f(x). La función ψ está bien definida, pues
si x + ker f = y + ker f , tenemos que x − y ∈ ker f , y, por tanto, f(x) = f(y). Ahora
mostremos que ψ es un isomorfismo:

ψ((x+ ker f) + (y + ker f)) = ψ((x+ y) + ker f)

= f(x+ y)

= f(x) + f(y)

= ψ(x+ ker f) + ψ(y + ker f)

ψ((x+ ker f)(y + ker f)) = ψ((xy) + ker f)

= f(xy)

= f(x) · f(y)

= ψ(x+ ker f) · ψ(y + ker f)

y
ψ(1 + ker f) = f(1) = 1

Como f es sobreyectivo, para todo y ∈ S existe x ∈ R tal que f(x) = y. Entonces
tenemos ψ(x+ ker f) = f(x) = y. Y aśı, ψ es también sobreyectivo.
Ahora supongamos que ψ(x + ker f) = ψ(y + ker f), entonces f(x) = f(y), de donde
x− y ∈ ker f , con lo cual x+ ker f = y + ker f , y aśı se tiene que ψ es inyectivo.
Se concluye que ψ es un isomorfismo de R/ker f en S con ψ ◦ φ = f .

Teorema 1.3. Sea f : R → S un homomorfismo de anillos sobreyectivo. Un conjunto
H es un subanillo (ideal) de R que contiene a ker f si y sólo si f(H) es subanillo (ideal)
de S. Además, si I es un ideal que contiene a ker f , entonces

x+ I → f(x) + I

donde I = f(I) es un isomorfismo de R/I en S/I

Demostración. Como la imagen mediante un homomorfismo es un anillo, se tiene que
si H es un subanillo de R, entonces f(H) es un subanillo de S. SI H es un ideal en
R, se tiene que f(H) es un subgrupo del grupo (S,+). Si x ∈ S, existe x ∈ R tal que
f(x) = x. Aśı, para h ∈ H, se tiene que f(h)x = f(h)f(x) = f(hx) ∈ f(H), y por



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7

tanto, f(H) es un ideal.
Si f(H) es un subanillo (ideal) en S, entonces f−1(H) es un subgrupo de (R,+), y
también es subanillo (ideal) de R. Se sigue que la correspondencia biuńıvoca entre entre
el conjunto de los subgrupos de (R,+) que contienen a ker f y los subgrupos de S induce
una correspondencia biuńıvoca entre los conjuntos de los subanillos y también entre los
ideales contenidos en los subgrupos.
Además, x+ I → f(x)+ I es un isomorfismo de grupos entre R/I y S/I, si I es un ideal
de R que contiene a ker f e I = f(I). Como (x + I)(y + I) = (xy + I)→ f(xy) + I =
f(x)f(y) + I = (f(x) + I)(f(y) + I), se tiene un isomorfismo de anillos.

Corolario 1.1. Existe una correspondencia biuńıvoca que preserva el orden entre los
ideales J de R que contienen a I y los ideales J de R/I, dada por J = φ−1(J).

Proposición 1.2. Todo anillo R 6= 0 tiene un ideal maximal.

Demostración. Sea A el conjunto de todos los ideales propios de R. Ordenemos A por
inclusión. El anillo A es no vaćıo, ya que 0 ∈ A. Ahora sea (Iα) una cadena de ideales
en A, de modo que para cada par de ı́ndices α, β se tiene que Iα ⊆ Iβ o Iβ ⊆ Iα. Sea I
el ideal dado por I =

⋃
α Iα. Es claro que 1 6∈ I, pues 1 6∈ Iα para todo α. De aqúı que

I ∈ A e I es una cota superior de la cadena en cuestión. Por el Lema de Zorn, A tiene
un elemento maximal.

Corolario 1.2. Si I es un ideal propio de R, entonces existe un ideal maximal de R
que contiene a I.

Demostración. Consideremos R/I. Por la proposición anterior, R/I contiene un ideal
maximal M ; y por el Corolario 1.1 existe un ideal M de R tal que I ⊂M ⊂ R. Tomemos
un ideal J de R tal que M ( J ⊂ R. Nuevamente, usando ese mismo corolario tenemos
que M ( J ⊂ R/I. Como M es maximal, entonces J = (I), y aśı, J = R. Por tanto M
es maximal en R y contiene a I.

Corolario 1.3. Todo elemento no unidad de R está contenido en un ideal maximal.

Demostración. Sea a ∈ R no unidad, entonces (a) es un ideal propio de R. Por el
corolario anterior existe un ideal maximal M que contiene a (a), de modo que a ∈ M
con M maximal.

1.4. Elementos Enteros

Definición 1.15. Un dominio entero R es un anillo conmutativo con elemento unitario
1 6= 0 y que no tiene divisores de cero.

Definición 1.16. Sean S y R anillos. Decimos que S es una extensión (de anillos) de
R si R ⊂ S. Este hecho se denota por S/R.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8

Definición 1.17. Sea D un dominio entero y K un campo que contenga a D. Un
elemento a ∈ K se dice entero sobre D si es ráız de un polinomio mónico sobre D.

Definición 1.18. Sean R un anillo y K un campo que contiene a R. El conjunto de
todos los elementos de K que son enteros sobre R es un anillo llamado la clausura entera
de R sobre K.

Definición 1.19. Un dominio entero D contenido en un cuerpo de cocientes K es
ı́ntegramente cerrado en K si todo elemento de K entero sobre D está en D o, equiva-
lentemente, si D coincide con su clausura entera en K.

1.5. Dominios de Dedekind

Definición 1.20. Sea R un anillo. Un R-módulo es un par (M,µ), donde M es un
grupo abeliano y µ : R × M → M es una aplicación tal que, si escribimos ax para
µ(a, x) con a ∈ R, x ∈M satisface los siguientes axiomas:

a(x+ y) = ax+ ay,

(a+ b)x = ax+ bx,

(ab)x = a(bx),

1x = x

para a, b ∈ R y x, y ∈M .

Definición 1.21. Un conjunto A parcialmente ordenado satisface la condición de cadena
ascendente si para cada colección ai de elementos de A tales que ai 6 aj se tiene que
existe N ∈ Z+ tal que para todo m ∈ Z+ con N 6 m se tiene que am = aN .

Definición 1.22. Un anillo R es Noetheriano por la izquierda si sus ideales por la
izquierda satisfacen la condición de cadena ascendente. De manera análoga se define
un anillo R Noetheriano por la derecha. Se dirá que un anillo es Noetheriano, si es
Noetheriano por la izquierda y por la derecha.

Definición 1.23. Un dominio entero R se llama un dominio de Dedekind si tiene las
siguientes propiedades:

(i) R es Noetheriano;

(ii) R es ı́ntegramente cerrado;

(iii) Todo ideal primo no nulo de R es maximal.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9

Ejemplo 1.2. El anillo OK, de los enteros de un campo numérico K, es decir, la
clausura algebraica de Z en K es uno de los casos más estudiados en lo concerniente a
Dominios de Dedekind, pues OK satisface las tres condiciones de la definición 1.23. Ver
[16, pág. 690-697]

Definición 1.24. Dados dos ideales I, J de R, decimos que I divide a J si existe un
ideal N de R con J = IN .

Teorema 1.4. Sea R un dominio de Dedekind. Entonces todo ideal no nulo y propio de
R se factoriza de manera única como producto de ideales primos no nulos.

Demostración. Ver [16, pág. 765]

Ejemplo 1.3. Tómese el campo K = Q(
√
−5) con OK = Z[

√
−5]. Entonces se tiene

2OK = p2

donde p = (2,
√
−5 + 1).

En lo que resta de esta subsección R será un dominio de Dedekind, K su cuerpo de
cocientes, L/K una extensión finita y B la clausura entera de R en L.

Proposición 1.3. B es un dominio de Dedekind.

Demostración. Ver [20, pág. 54]

Ahora, teniendo en cuenta la Proposición 1.3, si p ⊂ R es un ideal primo no nulo de R,
su extensión a B, pB, es un ideal no nulo que no es todo el anillo B porque la extensión
B/R es entera. Por tanto, de acuerdo con el Teorema 1.4, el ideal pB se descompone en
producto de ideales primos de B de manera única como sigue:

pB = P e1
1 P

e2
2 · · ·P er

r

donde los ei son números enteros y los Pi son ideales primos de B. Nótese que p ⊂ Pi
para todo i.

Nota. pB = {
∑n

i=1 xiyi|xi ∈ p, yi ∈ B}.

Definición 1.25. Se llama ı́ndice de ramificación de Pi sobre p al número entero ei.
Este número se designa por e(Pi|p). También escribimos f(Pi|p) (o fi) para denotar el
grado de la extensión [B/P : R/p], llamado el grado residual de L sobre K en P .

Teorema 1.5. Sea m el grado de L sobre K, sean P1, . . . , Pr ideales primos que dividen
a p. Entonces

r∑
i=1

eifi = m



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10

Demostración. Ver [20, pág. 58-61].

Definición 1.26. Sean R un dominio de Dedekind y K su anillo de fracciones. Un ideal
fraccional de R es un R-submódulo no nulo a de K tal que

da = {da|a ∈ a}

está contenido en R para algún elemento no nulo d ∈ R (o K), o equivalentemente, un
ideal fraccional I de R es un R-módulo de K tal que existe un d ∈ K, d 6= 0 con dI ⊂ R.

Definición 1.27. Se define la valuación P-ádica normalizada de un campo numérico
K correspondiente a un ideal primo P de la siguiente manera: para cualquier elemento
no cero a ∈ K, vP (a) es el exponente de P que aparece en la factorización del ideal
fraccional principal (a) en ideales primos. Se define vP (a) = 0 si P no aparece en esta
factorización.

Ejemplo 1.4. Continuando con los mismos K y OK del ejemplo 1.3, se tiene que
vp(2) = 2.

1.6. Valuación p-ádica

Definición 1.28. Una valuación discreta sobre un campo K es una función v : K∗ → Z
que cumple

(i) v es sobreyectiva;

(ii) v(xy) = v(x) + v(y);

(iii) v(x+ y) > mı́n(v(x), v(y))

para todo x, y ∈ K∗.

Un tipo particular de valuación discreta es la p-ádica para un número primo p dado, la
cual es una herramienta de bastante utilidad (especialmente, en Teoŕıa de Números) en
lo que respecta al estudio de la nilpotencia o divisibilidad de cero de algunos elementos
de ciertas estructuras algebraicas.

Definición 1.29. Sea α ∈ Z, α 6= 0. Podemos escribir α como

α = pkq, k ∈ Z+,

con (p, q) = 1 y p primo. Ponemos

vp(α) = k.

Se define vp(0) =∞.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11

Teorema 1.6. Sean a, b ∈ Z ambos distintos de 0 y sea p un número primo. Se tiene
que: vp(ab) = vp(a) + vp(b) y vp(a+ b) ≥ min{vp(a), vp(b)}. Además vp es sobreyectiva.

Demostración. Se puede escribir a = pvp(a)m y b = pvp(b)n donde m y n son enteros
que no son múltiplos de p. Como p es primo, mn no es múltiplo de p. Se tiene que
ab = pvp(a)+vp(b)mn, entonces vp(ab) = vp(a) + vp(b). Ahora supongamos, por ejemplo,
que vp(a) ≤ vp(b), entonces se puede escribir a + b = pvp(a)(m + pvp(b)−vp(a)n), de donde
vp(a + b) ≥ vp(a) = min{vp(a), vp(b)}. La sobreyectividad de vp es inmediata a partir
de la definición de ésta.

El mapeo vp puede ser extendido a un mapeo v′p sobre Q, poniendo v′p(
a

b
) = vp(a)−vp(b).

Definición 1.30. El mapeo vp que aparece en la definición 1.29 se llama valuación
p-ádica (en Z).

La valuación p-ádica vp puede ser extendida a Z[x] definiendo v(f) = mı́nk{vp(ak)} para
f(x) = Σkakx

k ∈ Z[x], y v(f/g) = v(f)− v(g).
Esto da un mapeo sobreyectivo de Z[x] −→ N0 ∪ {∞}.
Denótese por (Nn; +;≤) al monoide ordenado cuyos elementos son 0, 1, . . . , n − 1,∞.
Además se usará v para denotar el mapeo sobreyectivo v : Zpn −→ Nn, el cual no es
más que la restricción de vp al conjunto Zpn .

Proposición 1.4. v : Zpn −→ Nn satisface

(i) v(f) =∞⇐⇒ f = 0

(ii) v(f + g) ≥ mı́n{v(f), v(g)}

(iii) v(f � g) = v(f) + v(g)

Demostración. Considérese f(x) =
∑n

i=0 aix
i y g =

∑m
i=0 bix

i.

(i) Si v(f) = ∞, entonces v(ai) = ∞ para todo i = 1, . . . , n. Entonces ai = 0 para
todo i = 1, . . . , n. De donde f = 0.

(ii) Si n < m, sumenos a f la siguiente expresión:
∑m

i=n+1 aix
i con ai = 0 para

todo i = n + 1, . . . ,m. Esto no altera a f , pues esta suma es 0. Aśı tendremos
(f + g)(x) =

∑m
i=0(ai + bi)x

i. Supongamos que v(f) = vp(ak) ≤ vp(bj) = v(g).
Entonces v(

∑m
i=0(ai + bi)x

i) = mı́n{vp(ai + bi)} ≥ mı́n{mı́n{vp(ai), vp(bi)}} =
mı́n{{vp(ai)} ∪ {vp(bi)}} = vp(ai) = v(f).



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 12

(iii)

v(fg) = v

[
m+n∑
k=0

(
k∑
p=0

apbk−p

)
xk

]

= mı́n

{
vp

( k∑
p=0

apbk−p

)}
(k = 0, 1, 2, . . . , n+m)

= mı́n{mı́n{vp(apbk−p)}}(p = 0, 1, 2, . . . , k y k = 0, 1, 2, . . . ,m+ n)

= mı́n{mı́n{vp(ap) + vp(bk−p)}}(p = 0, 1, 2, . . . , k y k = 0, 1, 2, . . . , n+m)

= mı́n{vp(ap) + vp(bk−p)} (p = 0, 12, . . . , k y k = 0, 1, 2, . . . , n+m)

= v(f) + v(g).

Proposición 1.5. Para f ∈ Zpn las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) v(f) > 0, i.e., todos los coeficientes de f son divisibles (en Zpn) por p ;

(ii) f es nilpotente;

(iii) f es un divisor de cero.

Demostración. (iii) ⇒ (i) Supóngase que no todos los coeficientes de f son divisibles
por p, es decir, v(f) = 0. Si existe g ∈ Zpn [x] tal que fg = 0, entonces por la proposición
1.4 tenemos que

v(fg) = v(f) + v(g) = 0 + v(g) =∞
lo cual quiere decir que v(g) =∞, es decir, g = 0, lo cual es una contradicción.
(ii) ⇒ (iii) Supóngase ahora que f es nilpotente y distinto de cero. Sea N el entero
positivo mı́nimo para el cual fN = 0, entonces fN−1 6= 0 y se tiene que f � fN−1 = 0.
Esto prueba que f es un divisor de cero.
(i) ⇒ (ii) Si todos los coeficientes de f(x) son divisibles por p, entonces f(x) = ph(x)
para algún polinomio h(x) ∈ Zpn [x], de modo que pn−1f(x) = pn−1ph(x) = 0. Como
pn−1 es distinto de cero en Zpn [x] se sigue que f(x) es un divisor de cero.

Lema 1.1. Todo ideal primo no nulo de un Dominio de Ideales Principales es un ideal
maximal.

Demostración. Sea (p) un ideal primo no nulo del Dominio de Ideales Principales R y
sea I = (m) un ideal que contiene a (p). Se mostrará que I = (p) o I = R. Ahora
p ∈ (m) de modo que p = rm para algún r ∈ R. Como (p) es un ideal primo y rm ∈ (p),
se tiene que r ∈ (p) o m ∈ (p). Si m ∈ (p), entonces (m) = (p) = I. Si, por otro lado,
r ∈ (p), escŕıbase r ∈ ps. En este caso p = rm = psm, aśı sm = 1 (téngase en cuenta
que R es un dominio entero) y m es una unidad, con lo cual I = R.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 13

Lema 1.2. Los ideales maximales de Zpn [x] son de la forma (p, f), donde π(f) es un
polinomio irreducible en Zp[x].

Demostración. Sea N un ideal maximal de Zpn [x], entonces (p) ⊆ N ∩ Zpn , porque
N ∩ Zpn es un ideal primo de Zpn (y contiene a Nil(Zpn) = (p)). Ahora se tiene que

Zpn [x]

N
∼=

Zpn [x]/(p)

N/(p)
=

Zp[x]

N/(p)

Como el primer cociente es un campo, entonces
Zpn [x]

N/(p)
también lo es, lo cual quiere

decir que N/(p) es un ideal maximal del dominio de ideales principales Zp[x]. Aśı existe
un polinomio irreducible f ∈ Zp[x] tal que N/(p) = (f).
Rećıprocamente, para ver que Zpn [x]/(p, f) es un campo, considérese

Zpn [x]/(p, f) ∼=
Zpn [x]/(p)

(p, f)/(p)
∼= Zp[x]/(π(f)).

Como π(f) es irreducible, entonces es primo, por tanto (π(f)) es un ideal primo del
Dominio de Ideales Principales Zp[x]. Por el lema anterior (π(f)) es maximal y, en
consecuencia Zpn [x]/(π(f)) es un campo.

Proposición 1.6. Nil(Zpn [x]) = Jac(Zpn [x]) = (p) = Z(Zpn [x])

Demostración. Como los ideales maximales de Zpn [x] son precisamente los ideales (p, f)
donde f es un polinomio cuya imagen por la proyección canónica de Zpn [x] en Zp[x] es
un polinomio irreducible, se tiene que

Jac(Zpn [x]) =
⋂

(p, f) = (p) (1.1)

Ahora, por la Proposición 1.5 tenemos que

(p) = Nil(Zpn [x]) = Z(Zpn [x]). (1.2)

De (1.1) y (1.2) se concluye que

Nil(Zpn [x]) = Jac(Zpn [x]) = (p) = Z(Zpn [x]).

Lema 1.3. Si R es un dominio entero con 1 y p(x) =
∑m

j=0 ajx
j ∈ R[x], entonces p(x)

es una unidad si y sólo si a0 es una unidad y aj es nilpotente para todo j > 1.



CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 14

Demostración. Supóngase que a1, . . . , am son nilpotentes y a0 es una unidad. Entonces
p(x) − a0 es nilpotente, y aśı p(x) = p(x) − a0 + a0 es una unidad, pues en cualquier
anillo conmutativo la suma de un elemento nilpotente con una unidad es una unidad.
Rećıprocamente, supóngase que m > 1 y que existe q(x) =

∑r
i=0 x

i ∈ R[x] tal que
p(x)q(x) = 1. Entonces ambr = 0, que es imposible porque am y br son no cero y R es
un dominio entero. Aśı m = 0 y de aqúı que aj = 0 para todo j > 1.

Proposición 1.7. Sea R un anillo conmutativo. Las unidades de R[x] son precisamente
los polinomios a0 + a1 + · · ·+ am con a0 una unidad en R y ak nilpotente para k > 0.

Demostración. Sea P un ideal primo de R y sea R = R/P . Para todo r ∈ R sea
r = r+P . Sea p(x) =

∑m
j=0 ajx

j ∈ R[x] y supóngase que existe q(x) =
∑m

j=0 bix
i ∈ R[x],

tal que p(x)q(x) = 1, sean p(x) =
∑m

j=0 ajx
j y q(x) =

∑n
i=0 bix

i. Entonces, claramente

p(x) · q(x) = 1 en R[x], y como R es un dominio entero aj = 0 para todo j > 1 (por el
Lema anterior). De aqúı que aj ∈ P para todo j > 1. Aśı aj (j > 1) está en todo ideal
primo de R, ya que P es arbitrario, de modo que aj es nilpotente.

Corolario 1.4. Sea p un primo y n > 1. Entonces U(Zpn [x]) consta de precisamente
los polinomios f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n tales que (en Zpn) p - a0 y p|ak para k > 0.
Se sigue que un polinomio en Z[x] representa una unidad en Zpn [x] para algún n > 1 si
y solo si representa una unidad en Zpn [x] para todo n.

Demostración. Si f(x) = a0 +a1x+ · · ·+anx
n, entonces, por la Proposición 1.7 se tiene

que a0 es una unidad en Zpn y ak es nilpotente para todo k > 0, entonces p - a0 y
ak ∈ Nil(Zpn) = (p). Rećıprocamente, si a0 es una unidad y g(x) ∈ Zpn [x] tal que todos
sus coeficientes son divisibles por p, entonces g(x) es nilpotente (por la Proposición 1.5).
Por tanto f = a0 + g es una unidad. La segunda afirmación se sigue de la independencia
de n.



Caṕıtulo 2

Irreducibilidad, Divisores de Cero
Benignos y Atomicidad

Definición 2.1. Si c ∈ R es un elemento distinto de cero y no unidad, se dice que c es
débilmente irreducible si para todo a, b ∈ R

c = ab =⇒ c|a o c|b

y que c es irreducible si para todo a, b ∈ R

c = ab =⇒ a ∈ U(R) o b ∈ U(R).

Un elemento c distinto de cero y no unidad se llama primo si para todo a, b ∈ R

c|ab =⇒ c|a o c|b.

Definición 2.2. Sean a, b ∈ R. Se dice que a y b son débilmente asociados si a|b y b|a
(o equivalentemente, (a) = (b)). Si existe una unidad u ∈ R tal que a = bu, entoces se
dice que a y b son asociados.

2.1. Divisores de Cero Benignos

Definición 2.3. Sea R un anillo conmutativo. Se dice que R es un anillo con divisores
de cero benignos, si Z(R)⊆ 1−U(R)= {1− u|u es una unidad de R}.

Lema 2.1. Sea R un anillo con divisores de cero benignos. Sean a, b, c, u, v ∈ R. En-
tonces

(i) a 6= 0, a = bu y b = av, implica que u y v son unidades;

(ii) a y b son débilmente asociados si y sólo si son asociados;

15



CAPÍTULO 2. IRREDUCIBILIDAD, DIVISORES DE CERO BENIGNOS Y ATOMICIDAD16

(iii) c es débilmente irreducible si y sólo si es irreducible;

(iv) c primo, implica que c irreducible.

Demostración. (i). a = avu; por lo tanto a(1− uv) = 0, con lo cual 1− uv es un divisor
de cero. Ahora 1− uv = 1− w para alguna unidad w; de aqúı que uv = w y u y v son
unidades.
(ii). a = br y b = as para algunos s, r ∈ R. Entonces b = brs, de donde b(1 − rs) = 0.
Con lo cual 1−rs es un divisor de cero, y aśı 1−rs = 1−w para alguna unidad w de R,
es decir, rs = w. De aqúı que r y s son unidades. Se concluye que a y b son asociados.
Rećıprocamente, si a y b son asociados, trivialmente son débilmente asociados.
(iii). Supóngase que c = rs, entonces c | r o c | s por ser débilmente irreducible. Dı́gase
c | r ; entonces existe t ∈ R tal que r = ct. Se tiene entonces que c = rs y r = ct lo cual
quiere decir que c y r son débilmente asociados. Por la parte (ii), c y r son asociados,
por lo cual s es una unidad, puesto que c = rs. Rećıprocamente, si c es irreducible,
trivialmente, es débilmente irreducible.
(iv). Supóngase que c = rs, entonces c | rs y de aqúı que c | r o c | s por ser c primo.
Digamos c | r, entonces r = ct para algún t ∈ R. Entonces se tiene que c y r son
débilmente asociados. De (ii) se sigue que s es una unidad, y aśı c es irreducible.

Proposición 2.1. Para todo elemento x ∈ R, x ∈ Jac(R) si y sólo si 1 − xy es una
unidad en R para todo y ∈ R.

Demostración. Suponga que 1 − xy no es una unidad, por el corolario 1.3, 1 − xy
pertence a algún ideal maximal M , pero x ∈ Jac(R) ⊆ M por la definición de Jac(R),
aśı xy ∈M , y entonces 1 ∈M , lo cual es absurdo.
Suponga ahora que x 6∈M para algún ideal maximal M , entonces M y x generan el ideal
R = (1), y se tiene que u+ xy = 1 para algún u ∈M y algún y ∈ R. Aśı 1− xy ∈M , y
por tanto, no es unidad.

Corolario 2.1. Si R es un anillo unitario que satisface Z(R) ⊆ Jac(R) entonces las
afirmaciones del Lema 2.1 se cumplen para R. En particular, se cumplen para Zpn [x].

Demostración. Sea x ∈ Jac(R), entonces, por la Proposición 2.1 se tiene que 1 − x ∈
U(R), es decir, existe u ∈ U(R) tal que 1−x = u, de donde x = 1−u ∈ 1−U(R). Como
por hipótesis se tiene que Z(R) ⊆ Jac(R), entonces se tendrá que Z(R) ⊆ 1− U(R), y
aśı R es una anillo con divisores de cero benignos.
Además, en la proposción 1.6, ya se vio que Z(Zpn [x]) = Jac(Zpn [x]), con lo cual
Z(Zpn [x]) ⊆ Jac(Zpn [x]), y por lo probado en el párrafo anterior se concluye que Zpn es
un anillo con divisores de cero benignos.

Definición 2.4. Si x es un elemento de un anillo R, entonces se dice que x es regular
si no es divisor de cero.



CAPÍTULO 2. IRREDUCIBILIDAD, DIVISORES DE CERO BENIGNOS Y ATOMICIDAD17

2.2. Atomicidad

Definición 2.5. Sea R un anillo conmutativo, R se llama atómico si todo elemento no
unidad distinto de cero de R es un producto de elementos irreducibles. El anillo R se
llama débilmente atómico si todo elemento no unidad distinto de cero se puede factorizar
como producto de elementos débilmente irreducibles.

Lema 2.2. Si R es un anillo conmutativo que satisface la condición de cadena ascen-
dente para ideales principales, entonces R es débilmente atómico.

Demostración. Supóngase que R no es débilmente atómico. Sea S el conjunto de aque-
llos elementos no cero, no unidad de R que no se factorizan en elementos débilmente
irreducibles. Supóngase que s ∈ S, entonces s no es débilmente irreducible, por lo tanto
existen a, b ∈ R tales que s = ab con s - a y s - b . Como s 6= 0, a y b son también
distintos de cero, además a y b son no unidades, pues si, digamos, a ∈ U(R), entonces
a fuera débilmente irreducible (lo cual contradiŕıa s ∈ S). En efecto, si a = cd para
algunos c, d ∈ R, entonces c = aa−1c, con lo cual c = a(a−1c) de donde a|c.
Ahora bien, o a ∈ S o b ∈ S. Dı́gase a ∈ S. Como a|s y s - a, entonces (s) $ (a).
Repitiendo este proceso se obtiene una cadena ascendente infinita de ideales principales.
Aśı R no satisface la condición de cadena ascendente para ideales principales.

Lema 2.3. Si R es un anillo conmutativo con divisores de cero benignos que satisface
la condición de cadena ascendente para ideales principales, entonces R es atómico; en
particular, todo anillo Noetheriano con divisores de cero benignos es atómico.

Demostración. Por el lema anterior se tiene que todo elemento de R es débilmente atómi-
co, o sea, es producto de elementos débilmente irreducibles, pero como R es un anillo
con divsores de cero benignos, el Lema 2.1 (iii) nos dice que esos elementos son también
irreducibles, por tanto, todo elemento de R es producto de elementos irreducibles, y
aśı R es atómico.

Corolario 2.2. Zpn [x] es atómico.



Caṕıtulo 3

Camino a la No Unicidad

El objetivo de este caṕıtulo es factorizar elementos regulares, luego se factorizan poli-
nomios mónicos, después se realiza lo concerniente a la factorización de polinomios
primarios mónicos. En lo que sigue, se trata el tema central del trabajo que es la no
unicidad de la factorización en Zpn [x].

3.1. De Polinomios arbitrarios a Elementos Regu-

lares

Lema 3.1. Sea p un primo, n ≥ 2. Para f ∈ Zpn [x], las siguientes afirmaciones son
equivalentes:

(i) f = pu para algún u ∈ Zpn [x];

(ii) f es primo;

(iii) f es irreducible y un divisor de cero.

Demostración. (i⇒ ii). Supóngase que g, h ∈ Zpn [x] tales que f | gh, entonces pu | gh,
de donde p | ghu−1. Como p - u−1 (por ser u−1 ∈ U(Zpn [x])) entonces p | gh, y aśı, al
ser p primo, o p | g o p | h. Dı́gase p | g, entonces g = pt para algún t ∈ Zpn [x], de donde
g = fu−1t (puesto que p = fu−1, ya que, por hipótesis, f = pu), por tanto f | g; y se
concluye que f es primo.
(ii ⇒ iii). El Lema 2.1 junto con el Corolario 2.1 garantizan la irreducibilidad de f .
Ahora, como f es primo, (f) es un ideal primo, de aqúı que (f) ⊇ Nil(Zpn [x]) = (p),
lo cual quiere decir que existe g ∈ Zpn [x] tal que fg = p. Aśı (fg)n = 0, de donde
f(fn−1gn) = 0. Como p es primo, entonces, por el Lema 2.1 (iv), se tiene que p es

18



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 19

irreducible, y aśı g debe ser una unidad, y por tanto, regular; de modo que gn 6= 0. Y se
tiene que f es un divisor de cero.
(iii⇒ i). Como Z(Zpn [x]) = (p), al ser f divisor de cero, se tiene que f = pg para algún
g ∈ Zpn [x]. Del hecho de que f es irreducible se sigue que g es una unidad.

Proposición 3.1. Sea f ∈ Zpn [x] con f 6= 0. Entonces:

(i) Existe un polinomio regular g ∈ Zpn [x], y 0 6 k < n tal que f = pkg. Además, k
está determinado de manera única mediante k = v(f), y g es único módulo (pn−k).

(ii) En toda factorización de f en irreducibles, exactamente v(f) de esos factores ir-
reducibles son asociados a p.

Demostración. (i) Si f es un divisor de cero, entonces por la Proposición 1.6 p divide
a todos los coeficientes de f . Sea pk la mayor potencia de p que divide a f ; y
aśı se tiene que f = pkg con k = v(f), donde p - g, y por tanto, por la misma
Proposición 1.7, g es regular. Supóngase ahora que existe h ∈ Zpn tal que f =
pv(f)h, entonces pk(h− g) = 0, de donde pk(h− g) ∈ (pn), entonces h− g ∈ (pn−k),
y aśı h ∈ g + (pn−k).

(ii) Sea f = h1h2 · · ·hm una factorización de f en irreducibles. Por la parte (i) se
tiene que para i = 1, 2, . . . ,m hi = pv(hi)h′i para polinomios regulares h′i, además
por la misma parte (i) se tiene que f = pv(f)g. Como p es primo, se tiene que
g = h′1h

′
2 · · ·h′m y v(f) = v(h′1) + v(h′2) + · · · + v(h′m). Por tanto, v(f) de los

factores irreducibles son asociados a p.

3.2. De Elementos Regulares a Polinomios Mónicos

Lema 3.2. Sea R un anillo conmutativo. Si a, b, c ∈ R son tales que (a, b) = (a, c) = 1,
entonces (a, bc) = 1.

Demostración. Por hipótesis, existen γ1, γ2, δ1, δ2 ∈ R tales que

γ1a+ γ2b = 1 =⇒ γ2b = 1− γ1a (3.1)

δ1a+ δ2c = 1 =⇒ δ2c = 1− δ1a (3.2)

De (3.1) y (3.2) se tiene que



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 20

γ2δ2bc = 1− (γ1 + δ1)a+ γ1δ1a
2

de donde

(γ1 + δ1 − γ1δ1a)a+ (γ2δ2)bc = 1.

Lema 3.3. Sean f1 y f2 polinomios de Zpn [x]. Entonces f1 y f2 son coprimos en Zpn [x]
si y sólo si π(f1) y π(f2) son coprimos en Zp[x]

Demostración. Supóngase que π(f1) y π(f2) son coprimos en Zp[x]. Entonces existen
λ1, λ2 ∈ Zpn [x] (ya que π es sobreyectivo) tales que π(λ1)π(f1) + π(λ2)π(f2) = 1, de
donde

λ1f1 + λ2f2 = 1 + pg (3.3)

para algún g ∈ Zpn [x]. Ahora multipĺıquese (3.1) por h = 1− pg+ p2g2− · · · ± pn−1gn−1
para obtener λ1hf1 + λ2hf2 = 1, de modo que f1 y f2 son coprmios en Zpn [x].
El rećıproco se sigue del hecho de que π mapea el 1 de Zpn [x] en el 1 de Zp[x].

Teorema 3.1 (Lema de Hensel). Sea f ∈ Zpn [x] y supóngase que π(f) = g1 · g2 · · · g3,
donde los gi son coprimos a pares. Entonces existen g1, g2, . . . , gn ∈ Zpn [x] tales que:

(i) g1, g2, . . . , gn son coprimos a pares;

(ii) π(gi) = gi para todo i 6 i 6 n;

(iii) f = g1 · g2 · · · gn.

Demostración. Se procederá por inducción. Supóngase que n = 2. Si π(f) = g1g2,
entonces, como es sobreyectivo, existen h1, h2 ∈ Zpn [x] tales que π(h1) = g1 y π(h2) = g2,
y t ∈ (p) tales que f = h1h2 + t. Usando el lema anterior, se tiene que h1 y h2 son
coprimos, y por tanto, existen a1, a2 ∈ Zpn [x] tales que a1h1 + a2h2 = 1. Ahora póngase

h11 = h1 + a2t

h21 = h2 + a1t

luego

h11h21 = (h1 + a2t)(h2 + a1t)

= h1h2 + t(a2h2 + a1h1) + a1a2t
2

= h1h2 + t+ a1a2t
2

= f + a1a2t
2



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 21

lo cual quiere decir que f = h1h2 mod t2 con π(hi1) = πhi, i =1, 2. Como h11 y h21
son coprimos, se puede repetir el mismo proceso varias veces hasta obtener que para un
entero positivo m, existen h1m y h2m tales que f = h1mh2m mod t2m y π(him) = πhi,
i =1, 2. Como t ∈ (p), entonces t es nilpotente, y se puede escoger m de modo que
f = h1mh2m. Con esto terminamos el caso n = 2.
Supóngase que el teorema se cumple para todo producto g1·g2 · · · gn−1 de n−1 polinomios
coprimos a pares y que π(f) = g1 · g2 · · · gn con gi coprimos a pares, entonces, por el
Lema 3.2 g1 y g2 · · · gn son coprimos; por tanto existen h y g1 en Zpn [x] coprimos tales
que π(h) = g2 · · · gn y π(g1) = g1 y f = g1h (por el caso n = 2). Por la hipótesis de
inducción, existen polinomios g2,..., gn ∈ Zpn [x] coprimos a pares tales que π(gi) = gi
(2 6 i 6 n) y h = g2 · · · gn, de donde f = g1 · · · gn con gi coprimos a pares y π(gi) = gi
con i = 1, . . . n.

Lema 3.4. Sea f un polinomio regular en Zpn [x]. Entonces existe una sucesión {fk} de
polinomios mónicos en Zpn [x] con

deg fk = deg π(f)

fk = fk+1 mod pk

Y para algún gk ∈ pZpn [x] y una unidad λk ∈ Zpn

λkf = fk + gkfk mod pk.

Demostración. Sea f =
∑n

i=0 bix
i, donde bn 6= 0 y deg π(f) = m 6 n. Entonces bm es

una unidad (por el corolario 1. 4 y la proposición 1.6). Como

b−1m f = b−1m (b0 + b1x+ · · ·+ bmx
m + · · ·+ bnx

n)

= b−1m (b0 + b1x+ · · ·+ bmx
m) + b−1m (bm+1x

m+1 + · · ·+ bmx
n)

= b−1m b0 + b−1m b1x+ · · ·+ xm + b−1m (bm+1x
m+1 + · · ·+ bmx

n)

se puede escoger λ1 = b−1m y f1 = b−1m b0 + b−1m b1x + · · · + xm, y g1 = 0 (ya que
b−1m (bm+1x

m+1 + · · · + bnx
n) ∈ pZpn [x]). Ahora se procederá por inducción: Asúmase

que {fi}ki=1 satisface el lema, entonces λkf = fk + gkfk + h, donde h ∈ pkZpn [x].
Como fk es mónico, se puede escoger q y r en Zpn [x] tales que h = fkq + r con
deg r < deg fk = deg π(f) o r = 0. Póngase fk+1 = fk+r y gk+1 = gk+q. Ahora se pro-
barará que gk+1 ∈ pZpn [x] y r ∈ pkZpn [x]. Si r = 0, entonces r ∈ pkZpn [x] y además, como
h = fkq+r = fkq ∈ pkZpn [x], q ∈ pkZpn [x], puesto que fk es mónico (y pk divide a todos
los coeficientes de h). Supóngase que r 6= 0 y que fk = a0 + a1x+ · · ·+ am−1x

m−1 + xm

y q = c0 + c1x + · · · + csx
s. En el producto fkq, el coeficiente de xs+m es cs, el de

xs+m−1 es cs−1 + am−1cs, etc. Como h ≡ 0 mod pk y deg r < deg fk = m, cs ∈ pkZpn ,
también cs−1 ∈ pkZpn , cs−2 ∈ pkZpn y aśı sucesivamente (puesto que el término de h



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 22

de mayor grado seŕıa csx
m, que debe ser divisible por pk, de modo que cs ∈ pkZpn , y

aśı am−1cs ∈ pkZpn , de donde cs−1 ∈ pkZpn por ser cs−1 + am−1cs ∈ pkZpn y aśı sucesi-
vamente), de donde q ∈ pkZpn [x], con lo que q ∈ pZpn [x], y aśı, al ser gk+1 = gk + q se
tiene que gk+1 ∈ pZpn [x] y r = h− qfk ∈ pkZpn [x]
Esto termina la demostración porque con esta elección de fk+1 y gk+1 se tiene que

λkf = fk + gk + h

= fk + gkfk + r + qfk

= fk + gkfk + r + qfk + rgk − rgk + rq − rq
= (fk + r) + (gkfk + qfk + rgk + rq)− rgk − rq
= (fk + r) + (gk + q)(fk + r)− rgk − rq
= fk+1 + gk+1fk+1 − r(gk − q)
= fk+1 + gk+1fk+1 mod pk+1

Proposición 3.2. Todo elemento regular f ∈ Zpn [x] tiene una única representación
como f = ug, con u ∈ U(Zpn [x]) y g mónico. Además deg g = deg π(f).

Demostración. Como pn = 0, usando el lema anterior, tenemos que

λnf = fn + gnfn, (3.4)

con g ∈ pZpn [x], fn es mónico con deg fn = deg π(f), y λn es una unidad. De (3.3)
tenemos que

f = λ−1n fn + λ−1n gnfn = λn−1(1 + gn)fn.

Como gn ∈ pZpn [x], entonces 1 + gn es una unidad. Por tanto, podemos escoger u =
λ−1n (1 + gn) y g = fn.
Para mostrar la unicidad, supongamos que ug = vh con u, v ∈ U(Zpn [x]) y g y h
mónicos en Zpn [x]. Entonces uv−1g = h. Como h es mónico, uv−1 también lo es. Como
deg g = deg h = deg π(f), entonces uv−1 no tiene términos en x y, al ser mónico, se
debe tener uv−1 = 1 y aśı u = v y g = h.

Lo que sigue es el paso crucial para llegar a los polinomios mónicos, el cual es una con-
secuencia directa de la proposición anterior.

Proposición 3.3. Sea f ∈ Zpn [x], regular. Sean u y g la unidad y el polinomio mónico,
respectivamente, en Zpn [x] tales que f = ug. Para cada factorización f = c1 · · · ck
en irreducibles, existen únicos polinomios mónicos irreducibles d1, . . . , dk ∈ Zpn [x] y
unidades u1, . . . , uk en Zpn [x] con ci = uidi, u = u1 · · ·uk, y g = di · · · dk.

Como f es regular, los ci también lo son, y aśı podemos aplicar la Proposición 3.2 a los
ci.



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 23

3.3. De Polinomios Mónicos a Polinomios Mónicos

Primarios

Definición 3.1. Un elemento r de un anillo R se dice primario si y sólo si el ideal (r)
es un ideal primario.

Proposición 3.4. En un dominio de ideales principales (DIP) todo ideal primario es
generado por una potencia de un elemento irreducible.

Demostración. Sean R un DIP, P un ideal primario de R (a propósito, note que, por
definición, P es propio). Si P = 0, no hay nada más que demostrar. Supongamos que
P 6= 0. Como estamos en un DIP, P = (c) para algún elemento c 6= 0 no unidad de
R. Si c es irreducible, entonces c es primo y estamos hechos. Supongamos que c no es
irreducible. Entonces podemos escribir c = c1c2 · · · cm para factores irreducibles (todo
DIP es un DFU). Queremos mostrar que c = c1 = c2 = · · · = cm. Note que c1(c2c3 · · · cm)
está en P , pero c2c3 · · · cm no. (Estamos en un DFU). Entonces, como P es primario,
cn ∈ P para n conveniente. Esto es cn = rc1c2 · · · cm para algún r ∈ R. Por factorización
única, tenemos que cada ci en la derecha es un asociado del lado izquierdo. En particular,
los ci son todos asociados de cada uno de los otros. De aqúı que c = c1c2 · · · cm es un
asociado de cm, y por tanto, P = (c) = (cm) como se deseaba mostrar.
Rećıprocamente, supongamos que d es cero o un elemento primo de R. Ahora, el caso
cero es trivial. Supongamos que d es primo. Sea n ∈ Z+ y considere el ideal P = (dn).
Entonces P es propio porque dn no es unidad. Supongamos que ab ∈ P . Entonces
ab = rdn para algún r ∈ R. Considerando la unicidad de la factorización en irreducibles,
tenemos

a1a2 · · · ctb1b2 · · · bs = r1r2 · · · rmdn.
Si asumimos que a 6∈ P , entonces algún bi debe ser asociado de d (por que
d | a1a2 · · · ctb1b2 · · · bs y d es primo). De aqúı que bni ∈ P y aśı bn ∈ P .

Proposición 3.5. Si P es un ideal primario de un anillo R, entonces rad(P ) es primo.

Demostración. Supongamos que ab ∈ rad(P ) con a 6∈ rad(P ). Entonces existe n ∈ N
tal que (ab)n = anbn ∈ P , de modo que (bn)m ∈ P para algún m ∈ N. Sea r = nm.
Entonces br ∈ P por lo cual b ∈ rad(P ), y aśı rad(P ) es primo.

Lema 3.5. Sea f ∈ Zpn [x] regular. Entonces (f) es un ideal primario de Zpn [x] si y
sólo si la imagen de f bajo la proyección canónica π : Zpn [x]→ Zp[x] is asociada a una
potencia de un polinomio irreducible.

Demostración. Por la Proposición 3.4, los ideales principales no triviales de Zp[x] son
generados por potencias de elementos irreducibles. La proyección canónica induce una
correspondencia biyectiva entre los ideales primarios de Zp[x] y los ideales primarios de
Zpn [x] que contienen a (p).



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 24

Ahora un ideal de Zpn [x] que contiene elementos regulares es primario si y sólo si su
radical es un ideal maximal (ya que el único ideal primo no maximal es (p) = Z(Zpn [x])).
Sea f ∈ Zpn [x]. Entonces, como todo ideal primo de Zpn [x] contiene a (p), el radical de
(f) es igual al radical de (f) + (p) = π−1(π((f))).
Para un elemento regular f , por tanto, (f) es primario si y sólo si (f) + (p) es primario,
que es equivalente al hecho de que π(f) es un elemento primario de Zp[x].

Corolario 3.1. Un elemento regular de Zpn [x] es primario si su imagen bajo la proyec-
ción canónica a Zp[x] es asociado a una potencia de un polinomio irreducible.

Proposición 3.6. Sea f ∈ Zpn [x] un polinomio mónico con deg f > 1. Entonces:

(i) f puede ser factorizado como el producto de r polinomios mónicos primarios co-
primos f1, f2, . . . , fr ∈ Zpn [x], y para cada i = 1, 2, . . . , r se tiene que π(fi) es un
polinomio mónico irreducible en Zp[x]

(ii) Sea
f = f1 · · · fr = h1 · · ·hs (3.5)

dos factorizaciones de f en productos de polinomios irreducibles coprimos a pares
en Zpn [x], entonces r = s y después de un reordenamiento se tiene que fi = hi,
i = 1, 2, . . . , r.

Demostración. (i) Podemos asumir que π(f) = he11 · · ·herr , donde h1, . . . , hr son poli-
nomios irreducibles distintos mónicos, por el lema de Hensel, existen g1, . . . , gr ∈
Zpn [x], tales que f = g1 · · · gr y π(gi) = heii para cada i. Además por el hecho de que
los polinomios heii son coprimos, usando el Lema 3.3, se tiene que los polinomios
gi son coprimos.

(ii) De la ecuación 3.5, se deduce que f1 · · · fr ∈ (hi) para todo i = 1, . . . , s. Ya que
(hi) es un ideal primario, existen un entero ki con 1 6 ki 6 r, y un entero positivo
ni, tales que fni

ki
∈ (hi). Ahora probamos que ki es único. Asumamos que existe

otro k′i 6= ki y n′i tales que f
n′
i

k′i
∈ (hi), como fki y fk′i son coprimos en Zpn [x],

existen a, b ∈ Zpn [x] tales que 1 = afki + bfk′i . Entonces

1 = 1ni+n
′
i−1 = (afki + bfk′i)

ni+n
′
i−1 ∈ (hi)

y esto es una contradicción.
Similarmente, para cada j = 1, . . . , r, existen un único lj, con 1 6 lj 6 s y un
entero positivo mj, tales que h

mj

lj
∈ (fj). Para cada i, tenemos que h

mki
ni

lki
∈ (hi),

entonces π(hlki )
mki

ni ∈ (π(hi)). Como los polinomios hi son coprimos, usando el
Lema 3.3, los polinomios π(hi) son coprimos y aśı debemos tener lki = i, para
cada i = 1, . . . , s. Se sigue que el mapeo i 7→ ki está bien definido y es inyectivo, y



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 25

debemos, entonces, tener s 6 r. Similarmente r 6 s, de donde r = s. Después de
re-enumerar, podemos asumir que i = ki para i = 1, . . . , r, entonces lj = j para
j = 1, . . . , r. Aśı, fni

i ∈ (hi) y hmi
i ∈ (fi) para i = 1, . . . , r.

Usando el Lema 3.3, para j 6= 1, fj y f1 son coprimos, aśı que π(fj) y π(f1) también
lo son, y esto implica que π(fj) y π(f1)

n1 son coprimos. De aqúı que π(f2) · · · π(fr)
y π(f1)

n1 son coprimos. Usando el Lema 3.3, f2 · · · fr fn1
1 son coprimos. Como

fn1
1 ∈ (h1), entonces f2 · · · fr y hr son coprimos. Entonces existen c, d ∈ Zpn [x]

tales que
cf2 · · · fr + dh1 = 1.

Multiplicando ambos lados de la igualdad de arriba por f1, obtenemos

f1 = cf1f2 · · · fr + df1h1 = ch1h2 · · ·hr + df1h1,

lo cual implica que h1 | f1. Similarmente, f1 | h1. Tanto f1 como h1 son mónicos,
de donde f1 = h1. Similarmente, fi = hi, i = 2, . . . , r.

La sisiguiente proposición es una consecuencia directa de aplicar las proposiciones 3.1,
3.3 y 3.6.

Proposición 3.7. Todo polinomio no nulo f ∈ Zpn [x] se puede representar como

f = pkuf1 · · · fr

con 0 6 k < n, u una unidad de Zpn [x], r > 0, y f1, . . . , fr ∈ Zpn [x] polinomios mónicos
tales que la clase residual fi en Zp[x] es una potencia de un polinomio irreducible mónico
gi ∈ Zp[x], y g1, . . . , gr son distintos.
Además, k ∈ N0 es único, u ∈ Zpn [x] es único módulo pn−kZpn [x], y también los fi son
únicos (salvo el orden) módulo pn−kZpn [x].

Si aplicamos la anterior proposición al monoide de los elementos regulares de Zpn [x]
obtenemos el siguiente teorema:

Teorema 3.2. Sean M el monoide multiplicativo de los elementos regulares de Zpn [x], y
U su grupo de unidades. Sea M ′ el submonoide de M que consta de todos los polinomios
mónicos. Entonces

M ' U ⊕M ′.

Para todo polinomio mónico irreducible f ∈ Zp[x] sea Mf el submonoide de M ′ que
consta de todos aquellos polinomios mónicos g ∈ Zpn [x] cuya imagen bajo la proyección
a Zp[x] es una potencia de f . Entonces

M ′ '
∑
f

Mf

donde f recorre todos los polinomios mónicos irreducibles de Zp[x].



CAPÍTULO 3. CAMINO A LA NO UNICIDAD 26

Demostración. Basta, simplemente, aplicar la Proposición 3.7 a los elementos regulares
de Zpn [x], de modo que se suprimiŕıa aśı las potencias de p, resultando sólo el grupo de
las unidades y el monoide M de los polinomios mónicos no divisores de cero. La segunda
afirmación se sigue de la Proposición 3.6.



Caṕıtulo 4

No Unicidad de la Factorización

4.1. Elasticidad

Si M es un monoide conmutativo cancelativo atómico. Para un elemento no unidad
x ∈M definimos

L(x) = {n | x = a1 · · · an, ai irreducible ∀i}

como el conjunto de las longitudes de las factorizaciones de x en irreducibles y

L′(M) = {L(x) | x ∈M, x no unidad}

como el conjunto de las longitudes de M .
Además definmos

L(x) = supL(x)

y
l(x) = ı́nf L(x).

Y aśı definimos

ρ(x) =
L(x)

l(x)
.

La cantidad ρ(x) se llama la elasticidad de x.
Ahora definimos R(M) = {ρ(x) | x ∈ M,x no unidad} como el conjunto de las elas-
ticidades de los elementos de M que no son unidades. Y definimos ρ(M) = supR(M)
como la elasticidad de M .
Además, para todo k > 2, definimos ρk(M) como el supremo de aquellos m ∈ N para
los cuales existe un producto de k irreducibles que puede también ser expresado como
un producto de m irreducibles.

27



CAPÍTULO 4. NO UNICIDAD DE LA FACTORIZACIÓN 28

4.2. No Unicidad

Lema 4.1. Sea f un polinomio mónico en Z[x] cuya imagen en Zp[x] es un polinomio
irreducible. Sea d = deg f . Sean n, k ∈ N con 0 < k < n, m ∈ N con mcd(m, kd) = 1,
y c ∈ Z con p - c. Entonces

fm(x) + cpk

representa un polinomio irreducible en Zpn [x].

Demostración. Supongamos lo contrario. Entonces existen g, h, r ∈ Z[x], con g y h
mónicos, g irreducible en Zpn [x] tal que

fm(x) + cpk = g(x)h(x) + pnr(x)

y 0 < deg g < dm = (deg f)m = deg fm. Como Zp[x] es un dominio de factorización
única, g es una potencia de f , en Zp[x].
Sea α una ráız de g. Sea R la clausura algebraica de Z en Q[α] y P un ideal primo de R
sobre (p) con ı́ndice de ramificación e. Sea v la valuación P -ádica normalizada en Q[α].
Como fm(α) = pnr(α)− cpk, tenemos que

Lema 4.2. ρ2(M) =∞ =⇒ ρ(M) =∞.

Demostración. Si ρ(M) <∞, entonces supR(M) <∞, de donde para todo x ∈ M no
unidad ρ(x) < ∞. De modo que L(x) < ∞ para todo x ∈ M no unidad. Aśı que todo
producto de dos irreducibles puede tener otra factorización en irreducibles con sólo una
cantidad finita de factores. De modo que ρ2(M) <∞.

Teorema 4.1. Sea n > 2. Sea f un polinomio irreducible mónico en Zpn [x]. Sea Mf el
submonoide del monoide multiplicativo de Zpn [x] definido en el Teorema 3.2. Entonces
la elasticidad de Mf es infinita.

Demostración. Por abuso de notación, denotaremos con f al polinomio mónico en Z[x]
que bajo la proyección canónica a Zp[x] es enviado al f del teorema.
Sea q un primo con q > máx(n− 1, deg f). Por el Lema 4.1, f q(x) + pn−1 es irreducible
en Zpn [x] (ya que M.C.D.(q, (n− 1)deg f) = 1) y

(f q(x) + pn−1)2 = f 2q(x) + 2f q(x)pn−1

= f q(f q(x) + 2pn−1)

es un ejemplo de una factorización de un polinomio en Mf (en efecto, π((f q(x) +
pn−1)2) = f 2q(x)) en, o dos factores irreducibles –en el lado izquierdo– o más de q
fatores irreducibles –en el lado derecho (de hecho, el número de factores irreducibles en
el lado derecho es q+1 si p 6= 2 por el Lema 4.1, 2q si p = 2)– Como q puede ser tomado
arbitrariamente grande, ρ2(Mf ) =∞ y por el Lema 4.2, ρ(Mf ) =∞.



CAPÍTULO 4. NO UNICIDAD DE LA FACTORIZACIÓN 29

Corolario 4.1. Sea M el monoide multiplicativo de los elementos regulares de Zpn [x] y
M ′ el submonoide de los polinomios mónicos. Entonces la elasticidad de M ′ es infinita.
Por tanto, la elasticidad de M es infinita.

Demostración. M es la suma directa de U y M ′, donde la elasticidad de M ′ es infinita.
En efecto, el teorema 3.2 nos permite expresar M como suma directa de monoides Mf ,
cuyas elasticidades, por el Teorema 4.2 son infinitas.

Se mostrará ahora un sencillo ejemplo de no unicidad de factorización:
En el anillo Z33 [x] consideremos el polinomio x2 + 3. Este polinomio es irreducible.
En efecto, supongamos, lo contrario, es decir, que existen dos polinomios no unidades
f(x), g(x) ∈ Z33 [x], tales que x2 + 3 = f(x)g(x). Entonces podemos escribirlo en la
forma

x2 + 3 = a0 + a1x+ a2x
2

= (b0 + b1x)(c0 + c1x)

donde podemos asumir que b1c1 6= 0.
Como 3 es primo y 3 = b0c0, entonces se da uno y sólo uno de los siguientes dos casos:

3 | b0 y 3 - c0, (4.1)

o
3 | c0 y 3 - b0.

Supongamos que se da el primer caso, es decir, existe b′ ∈ Z33 tal que b0 = 3b′. Como
b1c1 = 1 y 3 - 1, entonces se tiene que

3 - b1 y 3 - c1. (4.2)

De la expresión
x2 + 3 = b0c0 + (b0c1 + b1c0)x+ b1c1x

2

tenemos que 3b′c1 + b1c0 = 0, de donde 3 | b1c0, lo cual, por el hecho de que 3 es primo,
contradice (4.1) y (4.2).
Se ha mostrado que el polinomio x2+3 es irreducible. Consideremos ahora las igualdades

(x2 + 3)4 = x8 + 12x5 = x4(x4 + 12x).

Aqúı hay un ejemplo de un polinomio que tiene una factorización en cuatro factores irre-
ducibles, en la izquierda, y una en más de que cuatro factores irreducibles en la derecha.
El ejemplo anterior puede ser generalizado, mostrándose mediante esto la infinitez de la
elasticidad de Zpn [x]. Ver [7].



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