NOTAS DE CLASE
TEORIA DE GRUPOS
Maŕıa Ofelia Vásquez Ávila
NOTAS DE CLASE – Teoría de grupo 
Autor: María Ofelia Vásquez 
ISBN: 978-958-5439-53-5 
Rector:   Willian Malkún Castillejo Edna 
Vicerrector Académico:  Gómez Bustamante  Harold 
Vicerrector de Investigación: Gómez Estrada 
Vicerrector Administrativo:  José Ángel Villanueva Llerena 
Secretaria General:  Katia del Carmen Joly Villareal 
512.2 / V985 
Vásquez Ávila, María Ofelia 
Teoría de grupos: Notas de clase / María Ofelia Vásquez Ávila; Freddy Badrán Padauí, editor -- 
Cartagena de Indias: Editorial Universitaria, c2023. 
115 páginas; -- x -- centímetros 
Incluye referencias bibliográficas (p. 113) 
Incluye índice alfabético 
ISBN: 978-958-5439-53-5 
1. Teoría de los grupos – Enseñanza 2. Estructuras algebraicas 3. Isomorfismo (matemáticas) 4. Subgrupos 
de sylow 5. Grupos nilpotentes I. Badrán Padauí, Freddy, editor CEP: Universidad de Cartagena. Centro de 
Recursos para el Aprendizaje y la Investigación. Biblioteca José Fernández de Madrid.
Editor: Freddy Badrán Padauí 
Jefe de Sección de Publicaciones 
Universidad de Cartagena 
Diseño de Portada: Jorge Barrios Alcalá 
Editorial Universitaria, Centro, Calle de la Universidad, Cra. 6, Nº 36 -100, Claustro de 
San Agustín, primer piso Cartagena de Indias, primera edición 2023. 
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio, sin previa autorización escrita 
de sus autores.  Derechos reservados. 2023. Universidad de Cartagena: Alfonso Segundo Gómez Mulett 
Hecho en Colombia /Made in Colombia 
Prólogo
Históricamente la teoŕıa de grupos se ha basado en la teoŕıa de las ecua-
ciones algebraicas, la teoŕıa de números y la geometŕıa. En lo referente a las
ecuaciones algebraicas, es un tema que se estudia con más detalle en la teoŕıa
de campos de lo que surgió la teoŕıa de Galois, dentro de la cual la teoŕıa de
grupos juega un papel importante. Esta teoŕıa de las ecuaciones algebraicas,
espećıficamente en lo concerniente a la solución de polinomios de grado mayor
que cinco se debe al matemático francés Evaristo Galois. Es también nece-
sario destacar que el estudio de los grupos solubles son útiles para encontrar
soluciones de polinomios. La teoŕıa de números estudia las propiedades de
los números, particularmente la de los números enteros, los cuales también se
pueden considerar como soluciones de ecuaciones algebraicas. Esta teoŕıa es
valiosa dentro de la teoŕıa de grupos dado que la relación de congruencia es
básica en el estudio de los grupos cocientes y el grupo aditivo de los enteros
módulo n. La geometŕıa ha estado y sigue estando presente en la teoŕıa de
grupos, pues si se observa con detalle cuando se estudia la solución de los
polinomios estamos hablando de curvas y al estudiar el grupo simétrico Sn se
están estudiando las rotaciones y las traslaciones. es de importancia destacar
que estos grupos se aplican a la cristalograf́ıa en qúımica. Es esencial también
recalcar la contribución de matemáticos destacados, a la teoŕıa de grupos,
como lo fueron Gauss, Lagrange, Cayley, Abel, entre otros.
Las notas aqúı presentadas son el producto del curso de Teoŕıa de Grupos
conducido por el autor, quien se apoyó en los textos que se indican en la
bibliograf́ıa que aparece al final de las notas.
Este curso que tiene requisito previo la teoŕıa de conjuntos y los fundamen-
tos básicos de la teoŕıa de números, busca familiarizar al estudiante con los
temas básicos de la teoŕıa de grupos como son los conceptos y ejemplos de
subgrupos, grupos, grupos normales, grupo producto, grupo cociente, homo-
3
4
morfismo e isomorfismo de grupos y algunas propiedades de los grupos finitos,
donde el teorema de Lagrange es de gran importancia. Los grupos ćıclicos se
caracterizan en el estudio de los grupos abelianos, dado que los grupos abe-
lianos finitamente generados se expresan a través de los grupos ćıclicos; el
estudio de los grupos finitos de permutaciones, los cuales proporcionan algu-
nos ejemplos de grupos no abelianos, revisten importancia no solo en la teoŕıa
de grupos sino en el estudio del álgebra moderna. Se introduce también en
estas notas la acción de grupos sobre conjuntos tema que es fundamental para
la demostración de los teoremas de Sylow, aśı como también el teorema de
Cayley, los grupos solubles y nilpotentes los cuales conparten propiedades con
los grupos abelianos.
Este primer curso de álgebra como lo es la teoŕıa de grupos, también busca
familiarizar a los estudiantes con el método deductivo en matemáticas. Se
destaca también que este curso tiene como objetivo asimilar las nociones y
resultados básicos de la teoŕıa de grupos, indispensables para el estudio de la
teoŕıa de anillos y campos y temas posteriores relacionados con el álgebra.
El autor de estas notas agradece muy especialmente a los estudiantes Eiver
Julio Rodŕıguez Pérez y Alberto Enrique Rodŕıguez Castilla, quienes se de-
dicaron de una manera muy especial a colaborar en la digitalización de estas
notas de clase.
Índice general
1. Grupos 7
1.1. Operación binaria interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Concepto de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Otros ejemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Subgrupos 23
2.1. Concepto de subgrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Ejemplos de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Grupos y subgrupos ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4. Grupo simétrico y alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Cicloestructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Propiedades de los grupos ćıclicos: . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Isomorfismos 55
3.1. Concepto de isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Subgrupo normal y caracteŕıstico. Grupo cociente . . . . . . . 64
4. Producto de grupos 77
4.1. Producto directo externo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2. Producto directo interno de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3. Grupos abelianos finitamente generados . . . . . . . . . . . . . 81
5. Teoremas de Sylow 87
5.1. Acción de un grupo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2. Órbita y estabilizadores: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5
6 ÍNDICE GENERAL
6. Grupos nilpotentes y solubles 95
6.1. Conmutador de un grupo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2. Definición y propiedades de los grupos nilpotentes y solubles . 98
6.3. Clasificación de grupos finitos nilpotentes y solubles . . . . . . 101
Bibliograf́ıa 113
Índice alfabético 114
Caṕıtulo 1
Grupos
Este caṕıtulo inicia con una definición, la cual es fundamental para el es-
tudio de las estructuras algebraicas, como lo es la estructura de grupo, y con
la cual se ha estado familiarizado desde que iniciamos a operar los elementos
de los conjuntos numéricos. A partir de la definición de operción binaŕıa, se
definirá la estrucutura de grupo y sus propiedades, también se presentarán
diferentes ejemplos de grupos, dentro de los cuales se encuentra la estructura
de grupo de los conjuntos numéricos Z, Q, R y C.
1.1. Operación binaria interna
Definición 1.1 Sea G =6 ∅ un conjunto cualquiera, definimos ∗ una opera-
ción binaria interna (o.b.I) de elementos de G al par de elementos de G
que se le asigna cualquier otro elemento de G.
Observación 1.1 .
i) Es importante tener en cuenta que es a un par de elementos de G, puesto
que al par (a, b) se le puede asignar un elemento de G, diferente al del
par (b, a).
ii) Tanto la definición como la parte i. se pueden expresar de la siguiente
manera:
∗ : G×G −→ G
(a, b) −7 → a ∗ b
iii) La o.b.I “∗” suele denotarse como “·”.
7
8 CAPÍTULO 1. GRUPOS
Definición 1.2 .
i) Sea G =6 ∅ y ∗ una o.b.I en G. Decimos que ∗ es asociativa si se cumple
que para cualesquiera a, b, c ∈ G se tiene que:
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
ii) Si en G 6= ∅ la o.b.I ∗ es asociativa decimos que G es un semigrupo.
iii) En G existe un elemento el cual notaremos por “e” tal que e∗a = a∗e = a
para todo a ∈ G y lo llamaremos neutro.
iv) Sea G con o.b.I ∗, existe a′ ∈ G tal que a′ ∗ a = a ∗ a′. Decimos que a′ es
el inverso de a ∈ G. a′ también suele denotarse como a−1.
v) Decimos que la o.b.I ∗ en G es conmutativa si para todo a, b ∈ G
a ∗ b = b ∗ a
1.2. Concepto de grupo
Definición 1.3 Sea G 6= ∅ un conjunto cualquiera al que se le ha definido
una o.b.I ∗. Decimos que G es un grupo si se cumple:
i) La operación ∗ es asociativa
ii) Existe un elemento neutro “e” en G.
iii) Existe para todo x ∈ G el inverso x′ ∈ G de x.
y lo simbolizamos como 〈G, ∗, e〉.
Ejemplos de grupos:
1. Grupos numéricos:
〈Z,+, 0〉 〈R,+, 0〉 〈Q,+, 0〉 〈C,+, 0〉
2. 〈M(2,R),+, O〉. {( ) }
a b
(M(2),R) =( ) (| a, b, c ∈ Rc d )
a b x y a+ x b+ y
+ =
c d z w c+ z d+ w
1.2. CONCEPTO DE GRUPO 9
Problema 1.1 ¿Lo siguiente define una estructura de semigrupo o de
grupo?
4 : N× N −→ N  min{a, b} si a =6 b
(a, b) 7−→ a4 b = 
a si a = b
3. 〈G,4, e〉 es un semigrupo. Sea G∗ = {x ∈ G | x es invertible} el conjunto
de elementos invertibles de G, entonces, 〈G∗,4, e〉 es un grupo, llamado
el grupo de elementos invertibles de G.
4. Grupo de elementos invertibles de los conjuntos numéricos:
〈Z, ·, 1〉 −→ Z∗ = {1,−1} 〈R, ·, 1〉 −→ R∗ = R− {0}
〈Q, ·, 1〉 −→ Q∗ = Q− {0} 〈C, ·, 1〉 −→ C∗ = C− {0}
5. Apli(X) = {f : X −→ Y | f es una función.}. 〈Apli(X), ◦〉 donde “◦” es
la operación composición. El conjunto de elementos invertibles de Apli(X)
es: Apli(X)∗ = {f : X −→ Y | f es una función biyectiva.}.
6. 〈R[x],+, 0〉 donde {R[x] = p(x) | p(x) es un polinomio con coeficiente en
R} es un grupo.
〈R[x], ·, 1〉 es un semigrupo, en el cu∑al R[x]
∗ = R∗ donde p(x)·q(x) = r(x),
con
ri = pj · qk
i=j+k
7. Conjuntos finitos
G = { } ∗ ee
e e
∗ e a
G = {e, a} e e a
a a e
Problema 1.2 Dar una estructura de grupo a G = {e, a, b}
10 CAPÍTULO 1. GRUPOS
1.3. Propiedades básicas
Teorema 1.1 Sea G 6= ∅ un grupo y ∗ una o.b.I entonces se cumple que si
a ∗ b = a ∗ c entonces b = c y si b ∗ a = c ∗ a entonces b = c. Es decir se
cumplen las cancelativas a izquierda y a derecha.
Demostración:
Como G 6= ∅ es un grupo entonces existe a′ tal que:
a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c)
(a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c; Por asociatividad
e ∗ b = e ∗ c; Por existencia de inverso
b = c; Por elemento neutro
Por lo tanto si a ∗ b = a ∗ c entonces b = c. De manera análoga se prueba que
si b ∗ a = c ∗ a entonces b = c. 
Teorema 1.2 Sea G 6= ∅ un grupo y ∗ una o.b.I entonces las ecuaciones
a ∗ x = b y y ∗ a = b
tienen una única solución.
Demostración:
Consideremos a′ ∗ b donde a′ es el inverso de a, con lo cual:
a′ ∗ (a ∗ b) = (a′ ∗ a) ∗ b; Por asociatividad
a′ ∗ (a ∗ b) = e ∗ b; Por existencia de inverso
a′ ∗ (a ∗ b) = b; Por elemento neutro
Aśı, hemos probado que la ecuación a ∗ x = b tiene solución x = a′ ∗ b.
Mostraremos que la solución es única. Sean x y x1 con x 6= x1 soluciones de
a ∗ x = b, es decir que:
a ∗ x = b y a ∗ x1 = b
Igualando las ecuaciones anteriores obtenemos:
a ∗ x = a ∗ x1 = b
1.3. PROPIEDADES BÁSICAS 11
Aplicando el Teorema 1.1 se tiene que:
x = x1
Contradicción, luego la solución es única.
De manera análoga se prueba que y∗a = b tiene una única solución. 
Teorema 1.3 Sea G 6= ∅ un grupo y ∗ una o.b.I entonces:
i) e ∈ G el elemento neutro de G es único.
ii) a′ ∈ G el inverso de a ∈ G es único, para todo a ∈ G.
Demostración:
Sean e y e1 dos elementos neutros en G. Si consideramos a e como neutro de
G y e1 cualquier elemento de G, entonces:
e ∗ e1 = e1
Si consideramos a e1 como neutro de G y e cualquier elemento de G, entonces:
e ∗ e1 = e
Aśı; e = e ∗ e1 = e1. Por lo tanto e = e1, lo que prueba i).
Ahora sean a′ y a′′ en G inversos de a ∈ G. Entonces:
a′ ∗ a = a ∗ a′ = e y a′′ ∗ a = a ∗ a′′ = e
Entonces:
a ∗ a′ = a ∗ a′′
Por Teorema 1.1 a′ = a′′, lo que prueba ii). 
Teorema 1.4 Sea G 6= ∅ un grupo y ∗ una o.b.I entonces:
i) (a−1)−1 = a para todo a ∈ G
ii) (a ∗ b)−1 = (b−1) ∗ (a−1)
Demostración:
i) Probar que (a−1)−1 = a es exactamente el problema de demostrar que a es
el inverso de a−1, (por Teorema 1.3 a tiene un único inverso). Note que
el inverso de a−1 es (a−1)−1, luego debe cumplirse que a−1 ∗ (a−1)−1 = e,
multiplicando a ambos lados por “a” tenemos, a ∗ a−1 ∗ (a−1)−1 = a ∗ e,
asociando nos queda (a ∗ a−1) ∗ (a−1)−1 = e ∗ (a−1)−1 = (a−1)−1 = a,
entonces (a−1)−1 = a
12 CAPÍTULO 1. GRUPOS
ii) Sea c = (a ∗ b)−1, luego por definición debe suceder que (a ∗ b) ∗ c = e,
usando la propiedad asociativa tenemos que a ∗ (b ∗ c) = e, multiplicando
a ambos lados por a−1 se obtiene que
a−1 ∗ [(a ∗ b) ∗ c] = a−1 ∗ e
Asociando
(a−1 ∗ a) ∗ (b ∗ c) = a−1
e ∗ (b ∗ c) = a−1
(b ∗ c) = a−1
Ahora multiplicando a ambos lados por b−1:
b−1 ∗ (b ∗ c) = b−1 ∗ a−1
(b−1 ∗ b) ∗ c = b−1 ∗ a−1
e ∗ c = b−1 ∗ a−1
c = b−1 ∗ a−1
como se queŕıa probar. 
1.4. Grupos abelianos
Los grupos abelianos son la base de la construcción de estructuras más
complejas, como son los anillos, los campos, los espacios vectoriales o los
módulos. En el caso concreto de la teoŕıa de categoŕıas, los grupos abelianos
son el objeto de estudio de la categoŕıa AB. Estos grupos son aśı llamados en
honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos
en el estudio de las ecuaciones algebraicas.
Definición 1.4 Sea G 6= ∅ un grupo y ∗ una o.b.I. Decimos que G es un
grupo abeliano si ∗ es una operación conmutativa, esto es, a ∗ b = b ∗ a,
para todo a, b ∈ G.
Observación 1.2 Al grupo G también lo podemos llamar conmutativo.
1.5. OTROS EJEMPLOS DE GRUPOS 13
Ejemplos de grupos abelianos o conmutativos:
1. Grupos numéricos:
〈Z,+, 0〉 〈R,+, 0〉 〈Q,+, 0〉 〈C,+, 0〉
2. Definamos en Q+ la operación ∗ de la siguiente manera:
a ∗ abb =
2
Observemos que:
a ∗ (b ∗ abcc) = = (a ∗ b) ∗ c ∗ es asociativa
4
a ∗ 2 = a = 2 ∗ a 2 es el elemento neutro de ∗
∗ 4 4 ∗ 4a = 2 = a es el inverso de a ∈ Q+
a a a
Aśı, 〈Q+, ∗, 2〉 es un grupo. Además, 〈Q+, ∗, 2〉 es un grupo abeliano.
1.5. Otros ejemplos de grupos
1. Grupo de permutaciones Pij(S), con S ⊆ N.
Pij(S) = {σ : S −→ S | σ es biyectiva.}
〈Pij(S), o〉 donde “o” es la composición de funciones.
σ está definida de la siguiente manera:
σ : S −→ S
k 7−→ σ(k) = ik
Por ejemplo; si S = {1, 2, 3, 4, 5} entonces σ : {1, 2, 3, 4, 5} −→ {1, 2, 3, 4, 5}.
Aśı; ( )
1 2 3 4 5
σ = =⇒ σ(1) = 4, σ(2) = 3, σ(3) = 5, σ(4) = 2 y σ(5) = 1
4 3 5 2 1
14 CAPÍTULO 1. GRUPOS
a. Para S = {1, 2, 3, · · · , n}, Pij(S) se nota en la forma Sn y se deno-
mina el grupo simétrico de orden n. Este grupo tiene n! elementos.
Consideremos el grupo simétrico de orden 3, S3 es un grupo que tiene
6 elementos.
Determinaremos estos elementos encontrando las rotaciones y las re-
flexiones de los vértices por medio de las bisectrices de los ángulos de
un triángulo equilátero. Estos son:
Problema 1.3 Llenar la tabla:
◦ id σ1 σ2 τ1 τ2 τ3
id id σ1 σ2 τ1 τ2 τ3
σ1 σ1
σ2 σ2
τ1 τ1
τ2 τ2
τ3 τ3
b. Grupo diédrico de orden n; Dn: Este grupo consta de n rotaciones
y n reflexiones de un n-ágono regular, es decir un poĺıgono regular de
n lados y el número de elementos de este grupo es 2n.
1.5. OTROS EJEMPLOS DE GRUPOS 15
Observación 1.3 El grupo simétrico S3 es en particular un grupo
diédrico de orden 3.
Encontremos los elementos del grupo diédro de orden 4 el cual también
se denomina grupo octal.
Problema 1.4 Llenar la tabla:
◦ id σ1 σ2 σ3 τ1 τ2 τ3 τ4
id id σ1 σ2 σ3 τ1 τ2 τ3 τ4
σ1 σ1
σ2 σ2
σ3 σ3
τ1 τ1
τ2 τ2
τ3 τ3
τ4 τ4
16 CAPÍTULO 1. GRUPOS
2. Grupo de matrices:
a. Grupo lineal general de orden n; GL(n, k), donde k es un campo
cualquiera:
GL(n, k) = {A ∈M(n, k) | A es invertible}
= {A ∈M(n, k) | detA =6 0}
b. Grupo lineal especial en dimensión n; SL(n, k) :
SL(n, k) = {A ∈M(n, k) | detA = 1}
SL(n, k) ⊆ GL(n, k)
c. Grupo ortogonal en dimensión n; O(n):
O(n) = {A ∈M(n,R) | At = A−1}
= {A ∈M(n,R) | [∀ v, w ∈ Rn] [(Av,Aw) = (v1, w1)]}
= {A ∈M(n,R) | ||Av|| = ||v||}
d. Grupo ortogonal especial en dimensión n; SO(n):
SO(n) = {A ∈M(n,R) | detA = 1}
= O(n) ∩ SL(n,R)
3. Grupo de clases residuales; Zn: Una clase residual [x] = [x]n = x es
el residuo de dividir x ∈ Z entre n, con n ∈ (N ∪ {0}). Aśı;
Zn = {0, 1, 2, 3, · · · , n− 1}
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}
4 = 9 = −1 = −6
4 = {· · · ,−6,−1,−4, 9, 14, · · · }
= {4 + 5x | x ∈ Z} = 4 + 5Z
= {z ∈ Z | x− z es divisible por 5}
Observación 1.4 Existen x, y ∈ Z con x 6= y tales que x = y.
1.5. OTROS EJEMPLOS DE GRUPOS 17
Decimos que x es con︷g︸r︸u︷ente con y módulo n, si x− y es divisible por n,n
y lo notamos como x ≡ y o x ≡ y(mod n).
Definamos entonces una operación (+) y una operación (·) en Zn de la
siguiente manera:
Si x, y ∈ Z;
x+ y = x+ y; x · y = x · y
Además;
︷︸n︸︷
x = y ⇒ x ≡ y ⇒ x− y = nt, t ∈ Z
Problema 1.5 Mostrar que “≡” es una relación de equivalencia.
Veamos que la operación “ + ” está bien definida en Zn. Sean x = x′ y
y = y′ tales que:
x+ y = x′ + y′ (1)
En efecto; (1) se puede expresar como x+ y ≡ x′ + y′; es decir que:
(x+ y)− (x′ + y′) = (x− x′) + (y − y′)
lo cual es divis〈ible por n〉. Por tanto “ + ” está bien definida.
De lo anterior Zn,+, 0 es un grupo, esto es:
i) Asociatividad: Se obtiene por ser Z asociativa.
ii) Neutro: El elemento neutro es la clase residual del cero.
iii) Inverso: Para cada a ∈ Zn, existe −a ∈ Zn tal que a + (−a) = 0 =
−a+ a.
Veamos que la operación “ · ” está bien definida en Zn
Sean x = x′ y y = y′ tales que x · y = x′ · y, se tiene que
x · y = x′ · y′
18 CAPÍTULO 1. GRUPOS
· ︷︸n︸︷En efecto x y ≡ x′ · y′, pero como x = x′, entonces x − x′ es divisible
por n y y = y′ es tal que y − y′ es divisible por n. Luego
(x · y)− (x′ · y′) = (x · y) + (x′ · y)− (x′ · y)− (x′ · y′)
= (y · (x− x′)) + (x′ · (y − y′))
De donde (x · y) − (x′ · y′) es divisible por n. Por lo tanto “ · ” está bien
definida. 〈 〉
Problema 1.6 ¿Es Zn, ·, 1 un grupo?
Observación 1.5 .
i) 〈Zn, ·〉 es un conjunto que cumple la propiedad asociativa con la ope-
ración punto y además tiene elemento neutro, luego Zn es monoide.
ii) El conjunto de elementos invertibles de 〈Zn, ·〉 es:
〈 〉 Z∗n = {x | (x, n) = 1}
y Z∗n, ·, 1 es un grupo.
1.5. OTROS EJEMPLOS DE GRUPOS 19
EJERCICIOS
1. Sea S = {a, b, c, d, e} un conjunto y ∗ una o.b.I definida mediante la tabla:
∗ a b c d e
a a b c b d
b b c a e c
c c a b b a
d b e b e d
e d b a d c
a. Calcular b ∗ d, c ∗ c y [(a ∗ b) ∗ e] ∗ a de la tabla.
b. Calcular (a ∗ b) ∗ c y a ∗ (b ∗ c) de la tabla. ¿Se puede decir que ∗ es
asociativa?
c. ¿Es conmutativa ∗? ¿Por qué?
2. Completar la siguiente tabla de tal forma que se defina una o.b.I ∗ con-
mutativa en S = {a, b, c, d}.
∗ a b c d
a a b c
b b d c
c c a d b
d d a
3. Para cada operación binaria ∗ definida a continuación, determinase cuál
∗ es conmutativa y cuál no es conmutativa:
a. En Q, a ∗ b = ab+ 1 c. En Z+, a ∗ b = 2ab
ab
b. En Q, a ∗ b =
2 d. En Z
+, a ∗ b = ab
4. ¿Cuántas operaciones binarias conmutativas diferentes pueden definirse
en un conjunto de 2 elementos? ¿ En un conjunto de 3 elementos? ¿ En
un conjunto de n elementos?
5. Sea 〈G, ◦〉 un semigrupo. Muestre que los siguientes enunciados son equi-
valentes:
20 CAPÍTULO 1. GRUPOS
a. Para cualquiera a, b ∈ G las ecuaciones ax = b y ya = b tienen
soluciones x, y ∈ G.
b. 〈G, ◦〉 es un grupo.
c. Para cualquiera a, b ∈ G las ecuaciones ax = b y ya = b tienen solucion
única x, y ∈ G.
d. Todas las translaciones izquierdas lg : G → G y las translaciones
derechas rg : G →→ G dadas por lg(x) = gx y rg(x) = xg son
biyecciones.
6. Cuales de las siguientes operaciones binarias sobre R define una estructura
de grupo: √
a. x ∗ y = 3 x3 + y3 b. x ∗ y = xy + x+ y c. x ∗ y = x
7. Muestre que una operación binaria interna que da estructura de grupo al
conjunto R \ {1} es dada por a ∗ b = a+ b+ ab.
8. Sea 〈G, ∗〉 un grupo y sea x ∈ G un elemento fijo de G. Definimos una
nueva operación sobre G por a4b = axb. Muestre que 〈G,4〉 es de nuevo
un grupo.
9. Muestre que:
a. El grupo simétrico Sn es de orden n!
b. Pij(S) es abeliano si y solo si S tiene a lo más dos elementos.
10. Sea G un grupo y x ∈ G. Definimos las potencias xm, con m ∈ Z, de x
como sigue
 x · x · · ·x (m factores) si m > 0
xm =  e si x = 0
x′ · x′ · · ·x′ (|m| factores) si m > 0
Muestre que xmxn = xm+n y (xm)n = xmn para todo m,n ∈ Z.
1.5. OTROS EJEMPLOS DE GRUPOS 21
11. Sea G un grupo y g ∈ G. La aplicación:
kg : G → G
x 7→ gxg−1
es llamada la conjugación por g, y dos elementos x, y ∈ G son llamados
conjugados si existe un elemento g ∈ G tal que y = kg(x) = gxg−1. Donde
g−1 es el inverso de g.
12. Sean a, b y c elementos de un grupo G, muestre que si aba−1 = bk entonces
an
n
ba−n = bk para todo n ∈ N.
13. Sea G un grupo tal que x2 = e para todo x ∈ G. Muestre que G es
abeliano.
14. Sea G un grupo finito. Muestre que cada elemento de G ocurre exacta-
mente una vez en cada fila y cada columna de la tabla de grupo G. ¿Cómo
podemos detectar en la tabla de grupo si G es o no abeliano?.
15. Construya la tabla de grupo para los siguientes grupos:
a. El grupo (Z3,+). b. Los grupos S3 y D4. c. Los grupos Z∗7 y
Z∗14.
16. Sea G el conjunto de todos los números reales excepto −1. Definase ∗ en
G por a ∗ b = a+ b+ ab.
a. Muestre que ∗ es una operación binaria interna en G.
b. Muestre que 〈G, ∗〉 es un grupo.
c. Encontrar la solución de la ecuación 2 ∗ x ∗ 3 = 7 en G.
17. Si ∗ es una operación binaria interna en un conjunto G, un elemento x
de G es idempotente para ∗ si x ∗ x = x. Muestre que un grupo tiene
exactamente un elemento idempotente.
18. Para cada operación binaria ∗ definida en los siguientes conjuntos, diga
cuando ∗ dota al conjunto de una estructura de grupo. De no ser grupo
diga cuál de los axiomas de la definición de grupo, en su orden, no cumple.
(a) Def́ınase ∗ en Q por a ∗ b = ab.
22 CAPÍTULO 1. GRUPOS
(b) Def́ınase ∗ en C por a ∗ b = a+ b.
(c) Def́ınase ∗ en el conjunto de todos los números reales distintos de cero
por a ∗ b = ab
(d) Def́ınase ∗ en Z por a ∗ b = ab.
19. Muestre que si G es un grupo, X un conjunto arbitrario y se define el
conjunto de funciones
F = {f | f : X −→ G}.
Entonces F es un grupo si en el se define la siguiente operación
(fg)(x) = f(x)g(x).
20. Sea (S, ◦) un monoide y sea G el conjunto de todos los elementos inver-
tibles en S. Muestre que (G, ◦) es un grupo. Encuentre este grupo para
los siguientes monoides:
(a) {( ) }
a b
S = |a, b, c, d ∈ Z ,
c d
con la operación multiplicación de matrices.
(b) {( ) }
a b
S = |a, b, c, d ≥ 0 ,
c d
con la operación multiplicación de matrices.
(c)
S = {f | f : R −→ [0, 1]},
con la operación composición de funciones.
Caṕıtulo 2
Subgrupos
2.1. Concepto de subgrupo
Consideremos el grupo S3 = {id, σ1, σ2, τ1, τ2, τ3} y su tabla, (Problema
1.3). Veamos cuales de los siguientes subconjuntos son grupos:
U1 = {id, τ1}; U2 = {id, σ1}; U3 = {id, σ1, σ2}; U4 = {σ1, σ2}
Las tablas de cada uno de ellos con la operación “o” son:
o id σ σ
o id τ1 o id σ
1 2
1 o σ σid id σ 1 2
id id τ id id σ 1
σ2
1 1 σ σ idσ1 σ1 σ2 id
1 2
τ1 τ1 id σ1 σ1 σ2 σ id σσ2 σ2 id σ
2 1
1
De donde; U1, U3 son grupos y U2, U4 no son grupos.
Definición 2.1 Sea G =6 ∅ un grupo con ∗ una o.b.I, S 6= ∅ y S ⊆ G. Si para
cada a, b ∈ S, a ∗ b ∈ G es tal que a ∗ b ∈ S, decimos que S es cerrado bajo
la operación ∗.
Definición 2.2 .
i) Sea H ⊆ G 6= ∅; H 6= ∅. Decimos que H es subgrupo de G, si H bajo ∗
una o.b.I es un grupo.
ii) {e} y G son los subgrupos triviales de G.
iii) H =6 e, H =6 G. H es un subgrupo propio de G y lo notamos por
H ≤ G.
23
24 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
Algunos ejemplos de subgrupos son:
ˆ 〈Z,+〉 ≤ 〈Q,+〉. 〈Q+, ·〉 no es subgrupo de 〈R+,+〉 aunque Q+ ⊆ R+.
ˆ Sean 〈Z4,+〉 y 〈V, ·〉, con Z4 = {0, 1, 2, 3} y V = {e, a, b, c}, donde en V
se cumple que a2 = b2 = c2 = e, ab = c = ba, ac = b = ca, bc = a = cb. Z4
y V son grupos de orden 4 abelianos. V se denomina 4-grupo de Klein.
Problema 2.1 Construir la tabla de 〈Z4,+〉 y 〈V, ·〉. Encontrar los subgru-
pos propios de estos grupos.
Observación 2.1 .
i) Como H ≤ G, entonces en H como grupo, la ecuación a ∗ x = a con
a ∈ H tiene una única solución que en este caso es el neutro, pero por
ser H ⊆ G, G como grupo cumple también que a ∗ x = a tiene una única
solución “e” la cual es el mismo neutro de H.
ii) También la ecuación a ∗ x = e con a ∈ H tiene una única solución en H
como grupo, la cual es a′ ∈ H, el inverso de a, por ser H ⊆ G y G como
grupo cumple también que a ∗ x = e tiene una única solución “a′”, esta
es la misma de H.
Teorema 2.1 Sea H ⊆ G y G un grupo. H 6= ∅ y G 6= ∅. H es un subgrupo
de G si y solo śı, se cumplen:
i) H es cerrado bajo la operación ∗ del grupo G.
ii) Existe un elemento neutro “e” en H tal que e ∈ G es el neutro de G.
iii) Para todo a ∈ H, existe a′ ∈ H.
Demostración:
Por ser H ≤ G; H es un grupo, por definición de subgrupo; por tanto en H se
cumplen i), ii) y iii). Ahora, sea H ⊆ G tal que en H se cumplan i), ii) y iii).
Entonces H es un grupo y por definición de subgrupo se tiene que H ≤ G. 
2.2. Ejemplos de subgrupos
1. Sea m ∈ Z fijo. 〈mZ,+〉.
mZ = {mx | x ∈ Z}; mZ ≤ Z
2.2. EJEMPLOS DE SUBGRUPOS 25
2. Sea S un conjunto arbitario y s0 ∈ S. H ≤ Bij(S).
H = {σ ∈ Bij(S) | σ(s0) = s0}
3. Sea |S| =∞ entonces, H ≤ Bij(S).
H = {σ ∈ Bij(S) | σ(x) 6= x; ∀x ∈ S}
4. El grupo de todas las rotaciones que dejan invariante al n-ágono regular
es un subgrupo del grupo diédrico de orden n.
5. {1} ≤ SO(n) ≤ O(n) ≤ {A ∈M(n,R) | det(A) = 1} ≤ GL(n,R)
6. Sea K un campo. T ≤ U ≤ GL(n,K), donde:
T (n,K) = T = {A ∈M(n,K) | A es diagonal e invertible}
U(n,K) = U = {A ∈M(n,K) | A es triangular superior e invertible}
7. Grupo Heissenberg:
H =: 
→−  1 x t z 0 I →−y | →−x ,→−y ∈ Rnn , z ∈ R
0 0 1
H ≤ U(n,R)
   x1 y1→− x2 y2Donde x = →−..  y y =  .. .. . 
xn yn
8. Si U ≤ H y H ≤ G entonces U ≤ G.
9. La intersección de subgrupos de un grupo G es de nuevo un subgrupo de
G. Más exactamente, si {Hi}i∈I es una colección de subgrupos propios de
G entonces H = ∩i∈IHi es un subgrupo propio de G.
10. Sea G =6 ∅ un grupo y H ≤ G y sea S un subconjunto cualquiera de G,
entonces:
CH(S) = {x ∈ H | xs = sx; ∀s ∈ S} = {x ∈ H | xsx−1 = s; ∀s ∈ S},
26 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
este conjunto se denomina el centralizador de S en H, CH(S) ≤ H.
NH(S) = {x ∈ H | xS = Sx} = {x ∈ H | xSx−1 = S}
se denomina el normalizador de S en H, NH(S) ≤ H y
xS = {xs | s ∈ S}
Observación 2.2 .
i) Si S = {a} ⊆ G y H ≤ G entonces CH(a) = NH(a).
ii) Teniendo en cuenta lo anterior,
C(G) = CG(G) = {x ∈ G | gx = xg; ∀g ∈ G}
el centralizador de G en G, se denomina el centro del grupo G. El
centro de G es un subgrupo abeliano de G.
11. Sea S un subconjunto cualquiera de G⋂6= ∅ un grupo,
〈S〉 = H
H≤G;H⊇S
se denomina el subgrupo de G generado por S, y es de la forma
〈S〉 = {e} ∪ {x1x2 · · · xn | n ∈ N y x ∈ S ∪ S−1i }.
Observación 2.3 Con el subgrupo generado por un conjunto S de un
grupo, podemos encontrar todos los subgrupos de un grupo G.
Por ejemplo, consideremos a S3 y su tabla. Tomemos S = {τ1}; 〈τ1〉 =
{id, τ1} puesto que τ 21 = id; ya que si hacemos 〈τ1, x〉 con x ∈ S3, y
consideramos x = τ2;
〈τ1, x〉 = 〈τ1, τ2〉 = {id, τ1, τ2, σ2 = τ1τ2, σ22 = σ1, τ3 = τ1σ1} = S3,
aśı que los únicos subgrupos de S3 que contienen a τ1 son {id, τ1} y S3.
Encontramos aśı que los subgrupos de S3 son:
{id, τ1}, {id, τ2}, {id, τ3}, {id, σ1, σ2}.
2.3. GRUPOS Y SUBGRUPOS CÍCLICOS 27
Para Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} se obtiene que todos los subgrupos de 〈Z6,+〉
son:
{0, 2, 4}, {0, 3}
Estos subgrupos los podemos representar en el siguiente diagrama:
Estos diagramas reciben el nombre de ret́ıculos.
Problema 2.2 Encontrar todos los subgrupos del grupo D4 y construir
su ret́ıculo.
Observemos que si S = {a}, entonces 〈a〉 = 〈S〉 = {am | m ∈ Z}.
2.3. Grupos y subgrupos ćıclicos
El estudio de los grupos ćıclicos es muy importante dentro la teoŕıa de
grupos, especialmente en lo referente a los grupos abelianos. Esta sección está
dedicada a estudiar la estructura interna de los grupos ćıclicos, sus subgrupos
y algunas propiedades de estos.
Definición 2.3 Sea G 6= ∅; 〈G, ·〉 un grupo y x ∈ G. El subgrupo generado
por x
〈x〉 = {xm | m ∈ Z},
28 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
se denomina el subgrupo ćıclico generado por x.
Definición 2.4 .
i) Sea a ∈ G, G =6 ∅ un grupo. El elemento “a” se denomina el generado
de G o que genera a G, si 〈a〉 = G.
ii) El grupo G se dice que es ćıclico si existe a ∈ G tal que 〈a〉 = G.
iii) El orden de un subgrupo 〈x〉 es llamado el orden del elemento “x” y se
denota por:
ord x = |x| = | 〈x〉 |
Algunos ejemplos de grupos ćıclicos son:
ˆ 〈Z,+〉; un grupo ćıclico que tiene dos generadores 1 y −1. 〈Z,+〉 = 〈1〉 =
〈−1〉. 〈 〉
ˆ 〈Zn,+〉; un grupo ćıclico y su generador es 1. 〈Zn,+〉 = 1 .
〈G, ·〉, con G = {· · · , 2−3, 2−2, 2−1, 1, 2, 22ˆ , 23, · · · }, es decir que G = 〈2〉
es un grupo ćıclico infinito.
Teorema 2.2 .Sea G 6= ∅ un grupo, x ∈ G
i) Si xm 6= e para todo m ≥ 1, entonces 〈x〉 = G tiene cardinalidad igual a
la de Z y el orden de xk, con k 6= 0, es infinito.
ii) Sea n el menor entero tal que para m ≥ 1, xm = e, entonces 〈x〉 = G es
finito y el orden de xk es igual al orden de G.
iii) El orden de xk es finito si y solo si k es un múltiplo de n, entonces;
n
ord xk = ∀k 6= 0
m.c.d. (n, k)
ord xk es n si y solo si (n, k) = 1.
Demostración:
i) Si xm 6= e, entonces todos los elementos de 〈x〉 son distintos. En efecto,
si suponemos xm1 = xm2 con m1 > m2, de donde x
m1−m2 = e con lo cual
m1 −m2 = 0, m1 = m2, lo cual no es posible por la escogencia de m1 y m2.
De igual forma se prueba que m2 > m1 no es posible. Luego m1 = m2. Por
2.3. GRUPOS Y SUBGRUPOS CÍCLICOS 29
lo tanto 〈x〉 es infinito y tiene cardinalidad igual a la de Z. De otra parte
(xk)m = xkm 6= e, por lo tanto ord xk es infinito.
ii) Sean x, x2, · · · , xn, tal que n es el menor entero tal que xm = e con m ≥ 1,
entonces x, x2, · · · , xn son distintos. En efecto, si suponemos que xj = xi
con 0 < i < j < n, entonces xj−i = e de donde j = i lo que contradice
la escogencia de i y j, por tanto {x, x2, · · · , xn} tiene n elementos. Además
todos son de la forma xm.
iii) Sean a, r ∈ Z tales que m = an + r con 0 ≤ r < n. Por el algoritmo de
la división:
xm = xan+r = (xn)axr = eaxr = xr
El ord xk es tal que (xk)m = xkm = e. Sean B = m.c.m(k, n) y b = m.c.d(k, n).
Como xkm = e, entonces km es el menor entero que es múltiplo de n, de donde
n
km = B. Además kn = Bb = kmb, por lo cual m = . Aśı;
b
n
ord xk =
m.c.d.(n, k)
Si (k, n) = 1, entonces ord xk = n. 
Observación 2.4 .
i) Como los elementos del generado por “a” son de la forma am con m ∈ Z,
entonces anam = aman = am+n de donde un grupo ćıclico es abeliano.
ii) 〈a〉 contiene al CG(a).
iii) En particular todo grupo ćıclico es abeliano.
Teorema 2.3 Sea G 6= ∅ un grupo con xy = yx para todo x, y ∈ G. Si ord x
y ord y son coprimos entonces ord (xy) = (ord x)(ord y).
Demostración:
Si m = ord x y n = ord y, entonces xm = e y yn = e. De donde:
(xy)mn = (xm)n(yn)m = enem = e
Aśı; ord (xy) = mn, por lo que:
ord (xy) divide al (ord x)(ord y). (1)
30 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
Si k = ord (xy), entonces (xy)k = xkyk = e, esto es xk = y−k. Como ord y =
n;
xnk = y−nk = (yn)−k = e−k = e
Y como ord x = m entonces nk es múltiplo de m, es decir m divide a k.
Análogamente n divide a k. Como (n, k) = 1, entonces mn divide a k. Aśı;
(ord x)(ord y) divide al ord (xy). (2)
De (1) y (2) se obtiene que ord (xy) = (ord x)(ord y). 
Teorema 2.4 Sea G = 〈x〉 un grupo ćıclico de orden n. El elemento g = xk
es un generador de G si, y solo si, k y n son coprimos. Consecuentemente el
número de generadores de G está dado por la función ϕ de Euler
ϕ : N → N
n → ϕ(n) = l
donde l es el número de primos relativos 1 ≤ k ≤ n con n.
Demostración:
⇒] Sea g = xk un generador de G; entonces
n
n = ord (g) = ord (xk) =
m.c.d(k, n)
de donde m.c.d(k, n) = 1. Aśı k y n son coprimos.
⇐] Supongamos que k y n son primos relativos, es decir que (k, n) = 1.
Sean α y β enteros tal que αk(+ β)n = 1, entonces:
x = xαk+βn
α
= xk (xn)β = gαeβ = gα ∈ 〈g〉
Luego G = 〈x〉 ⊆ 〈g〉 por lo tanto, g = xk es un generador de G. 
Proposición 2.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. gH = H si y sólo si
g ∈ H.
Demostración:
⇒] Si gH = H, entonces g = ge ∈ {hg ∈ G : h ∈ H} = Hg, aśı, g ∈ H.
⇐] Como H un subgrupo de un grupo G: ( )
g ∈ H ⇒ g ∈ H ∧ g(−1 ∈ H ⇒ (∀h ∈ H) gh ∈ H)∧ g−1h ∈ H
⇒ (∀h ∈ H) gh ∈ H ∧ h = g(g−1h) ∈ gH
⇒ gH ⊆ H ∧ U ⊆ gH ⇒ gH = H. 
2.3. GRUPOS Y SUBGRUPOS CÍCLICOS 31
Proposición 2.2 Cualquier grupo ćıclico finito de orden n tiene exactamente
un subgrupo de cada orden d dividiendo n, y estos son todos los subgrupos que
tiene.
Demostración:
Trabajemos con Zn. Sea d|n, entonces 〈n/d〉 = {0, n/d, 2n/d, ..., (d−1)n/d} es
un subgrupo de Zn de orden d y consta precisamente de todos los elementos
x ∈ Zn tal que dx = x+x+· · ·+x para d sumandos es igual a cero, esto debido
a que un elemento x de cualquier subgrupo de orden d de Zn debe satisfacer
dx = 0, vemos que 〈n/d〉 es el único subgrupo dado que el orden de un subgru-
po debe dividir al orden de todo el grupo, por lo que estos son los únicos sub-
grupos que contiene Zn. 
Teorema 2.5 . ∑
i) Para todo n ∈ N tenemos que d| ϕ(d) = nn
ii) Sea G un grupo finito tal que para cada d ∈ N hay a lo más d elementos
con xd = e, entonces G es un grupo ćıclico.
Demostración
i) Cada elemento de Zn genera un subgrupo de algún orden d dividiendo a n,
y el número de generadore∑s de ese subgrupo es ϕ(d), esto por resultadoanterior. Por ejercicio anterior hay un único subgrupo tal de orden d
d∑ividiendo a n por tanto d| ϕ(d) cuenta cada elemento de Zn una ynsolo una vez como generador de un subgrupo d dividiendo a n. Por tanto
d| ϕ(d) = n. La prueba más formalmente seŕıa: Para cualquier Divisorn
d de n existe un único subgrupo Hd de Zn de orden d. Sea Gd el conjunto
generador de Hd entonces |Gd| = ϕ(d). Como cada elemento de Zn genera
exactamente uno de los subgrupos Hd, aśı, tenemos que Zn = ∪d| Gn d
(Unión disjunta) ∑ ∑
n = |Zn| = |Gd| = ϕ(d)
d| dn |n
ii) Sea d un divisor de n = |G|. Ahora bien, si G contiene un subgrupo
de orden d, entonces cada elemento del subgrupo satisface la ecuación
32 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
xm = e. Por hipótesis xd = e tiene a lo más d soluciones en G, donde
puede haber a lo sumo un subgrupo de cada orden m dividiendo a n.
Ahora, cada a ∈ G tiene algún orden m dividiendo a n, y 〈a〉 tiene
exactamente ϕ(m) generadores porque a ∈ G debe ser el único subgrupo
de orden m; vemos que el número de elementos de orden m de cada divisor
m de d no pu∑ede exceder ϕ(m) por tanto tenemos:∑
n = de elementos de G de orden m ≤ ϕ(m) = n
d| dn |n
La prueba más formalmente seŕıa: Sea |G∑| = n para cada
d|n, y sea f(d) el
número de elementos de orden d; como cada elemento de G tiene un orden
único determinado por d|n tenemos que d| f(d) = n. Luego f(d) ≤ ϕ(d)n
para todo d. En efecto, si f(d) ≥ 1 entonces existe un elemento g de orden
d, entonces cada elemento gk con 1 ≤ k ≤ d relativamente primos a d
tienen también orden d; por tanto hay por lo menos ϕ(d) elementos de
orden d, por tanto ∑ ∑
n = f(d) ≤ ϕ(d) = n
d| dn |n
como f(d) ≤ ϕ(d) para todo d es posible solo si f(d) = ϕ(d) para todo
d|n. En particular, tenemos f(n) = ϕ(n) ≥ 1 lo cual prueba que existe un
elemento de orden n = |G| por tanto existe un elemento x tal que
ord (x) = |x| = |〈x〉| = |G| = n
Luego G es ćıclico. 
Definición 2.5 Si H ≤ G entonces los conjuntos gH(g ∈ G) son llamados
clases laterales a izquierda de H en G y los conjuntos Hg(g ∈ G) son llamados
clases laterales a derecha de H en G. El conjunto de todos los conjuntos a
izquierda es denotado por G/H; el conjunto de todos los conjuntos a derecha
de H en G es denotado por H/G.
Teorema 2.6 Sea H ≤ G
i) xH = yH si y solo si x−1y ∈ H. Análogamente Hx = Hy si y solo si
yx−1 ∈ H.
2.3. GRUPOS Y SUBGRUPOS CÍCLICOS 33
ii) Las relaciones [x ∼ Ly :⇐⇒ xH = yH] y [x ∼ Ry :⇐⇒ Hx = Hy] son
relaciones de equivalencia en G.
iii) |xH| = |H| = |Hx| para todo x ∈ G.
iv) La aplicación
G/H → H/G
xH 7→ Hx−1
es una biyección.
Demostración:
i) Sea xH = yH, entonces x−1xH = x−1yH por existencia del elemento
inverso, aśı eH = x−1yH por lo que H = x−1yH, esto por existencia
del elemento neutro y por Proposición 2.1 se concluye que x−1y ∈
H. Análogamente Hx = Hy, entonces Hxx−1 = Hyx−1 por existencia
del elemento inverso, aśı He = Hyx−1, por lo que H = Hyx−1, y por
Proposición 2.1 se concluye que yx−1 ∈ H.
ii) Por i) tenemos que x ∼ Ly ⇐⇒ x−1y ∈ H.
Veamos que se cumplen las propiedades Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Reflexiva: Sea x ∈ G. x−1x = e, y e ∈ H dado que H es subgrupo. Por
tanto x ∼ Lx.
Simétrica: Suponga que x ∼ −1Ly y esto es, x y ∈ H, como H es un
subgrupo (x−1y)−1 ∈ H y (x−1y)−1 = y−1x, aśı y−1x ∈ H por lo que
y ∼ Lx.
Transitiva: Supongamos que: x ∼ y y y ∼ z, entonces, x−1L L y ∈ H y
y−1z ∈ H, pero x−1z = (x−1y)(y−1z) ∈ HH ⊆ H. Aśı, x ∼ Lz.
Por otra parte veamos que x ∼ Ry :⇐⇒ Hx = Hy
Veamos que se cumplen las propiedades Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Reflexiva: Sea x ∈ G. xx−1 = e, y e ∈ H dado que H es subgrupo. Por
tanto x ∼ Rx
Simétrica: Suponga que x ∼ Ry y esto es, yx−1 ∈ H, como H es un
subgrupo (yx−1)−1 ∈ H y (yx−1)−1 = xy−1, aśı xy−1 ∈ H por lo que
y ∼ Rx.
Transitiva: Suponga que: x ∼ Ry y y ∼ Rz, esto es, yx−1 ∈ H y zy−1 ∈ H,
34 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
pero zx−1 = (zy−1)(yx−1) ∈ HH ⊆ H. Aśı, x ∼ Rz.
Por tanto se concluye que
[x ∼ Ly :⇐⇒ xH = yH] y [x ∼ Ry :⇐⇒ Hx = Hy]
son relaciones de equivalencia en G.
iii) Las traslaciones izquierdas lh : H → H y las traslaciones derechas rh :
H → H dadas por lh(x) = hx y rh(x) = xh respectivamente son biyec-
ciones.
iv) Tenemos que comprobar primero que la aplicación está bien definida
f : G/H → H/G
xH → Hx−1
y esto es, xH = yH implica que Hx−1 = Hy−1. Pero que xH = yH
significa que x−1y ∈ H y Hx−1 = Hy−1, es decir, x−1(y−1)−1 = x−1y ∈
H esto por i); por lo tanto la aplicación está bien definida. f es sobre,
mostremos que es también inyectivo, y esto es, Hx−1 = Hy−1 implica que
xH = yH. Por i) tenemos que y−1x ∈ H, esto implica que x−1y ∈ H, esto
es cierto porque x−1y = (y−1x)−1 y H−1 = H por lo tanto el mapeo está
bien definido. square
Definición 2.6 Sea H ≤ G.
i) Un conjunto {gi : i ∈ I} ⊆ G es llamado el conjunto mı́nimo de repre-
sentantes de clases laterales izquierdas de H si contiene exactamente un
elemento de cada clase lateral izquierda, esto significa que las clases la-
terales giH con i ∈ I son disjuntos dos a dos y todas las posibles clases
laterales de H. Los conjuntos mı́nimos de representantes para las clases
laterales derechas se definen análogamente.
ii) El número de clases laterales izquierdas de H es igual al número de clases
laterales derechas de H, a este se le denomina ı́ndice de H en G y se
denota por [G : H].
Teorema 2.7 Teorema de Lagrange. Sea H un subgrupo propio de G,
entonces |H| es divisor del |G|, más precisamente
|G|
[G : H] =
|H|
2.3. GRUPOS Y SUBGRUPOS CÍCLICOS 35
En particular; si x ∈ G, entonces ord (x) divide |G| y x|G| = e.
Demostración:
Como G es un grupo finito, entonces el conjunto de clases laterales izquierdas
será un conjunto {g1H, g2H, · · · , gnH}. Consideremos la⋃relación de equiva-
lencia “∼ ” x ∼ y ⇐⇒ xH = yH ⇐⇒ x−1y ∈ H. G = n g H;
| | ∣∣∣∣
∣L⋃ L∣n ∣ i=1 i
G = giH∣∣∣ = |g1H ∪ g2H ∪ · · · ∪ gnH| = |g1H|+ |g2H|+ · · ·+ |gnH|
i=1
= |H|+ |H|+ · · ·+ |H| = n |H|
Por lo tanto, |H| divide a |G|.
Luego, si tomamos la relación de equivalencia “∼R” obtenemos que:
|G| = |Hg1|+ · · ·+ |Hgn| = |H|+ · · ·+ |H| = n |H|
Por lo cual concluimos que:
|G| = n |H| = [G : H] |H|
Esto es;
|G|
[G : H] =
|H|
Por otra parte, si x = e, entonces ord (x) = ord (e) = |〈e〉| = |{e}| = 1, y
como 1 divide a cualquier número entero positivo, se tiene que, ord (x) divide
|G|. Si x 6= e, entonces ord (x) = |〈x〉| = |{xm : m ∈ Z}| = ord (xk) donde k
es el menor entero para el cual xk = e.
Luego por Teorema 2.2 , tenemos que ord (x) = ord (xk) es finito si y sólo
si
|G|
ord (xk) =
ord (k, |G|)
Esto es:
| | |G| |G|m.c.d (k, G[) = =ord] (xk) ord (x)
Luego, x|G| = xord (x)m.c.d(k,|G|) ord (x)
m.c.d(k,|G|)
= x = em.c.d(k,|G|) = e.
Aśı, si x ∈ G, entonces el ord (x) divide a |G|, y x|G| = e. 
El rećıproco del Teorema de Lagrange en general no se cumple, pero po-
demos probar que si el grupo es abeliano, entonces si se cumple.
36 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
Ejemplo 2.1 El grupo simétrico S4, tiene |S4| = 24 y podemos verificar que
G es un divisor de 24, más sin embargo S4 no posee ningún subgrupo de orden
6.
Teorema 2.8 .Sea V ≤ H ≤ G.
i) Si {xi}i∈I es el conjunto minimal de representantes de clases laterales de
H en G y si {yj}j∈J es un conjunto minimal de representantes de clases
laterales de V en H, entonces {xiyj}i∈Ij∈j es un conjunto minimal de
representantes de las clases laterales de V en G.
ii) La siguiente formula de ı́ndices establece que: [G : V ] = [G : H] [H : V ].
Demostr⋃ación: ⋃
i) G = ni=1 xiH y H = j∈J yiV . Por locual⋃n ⋃ ⋃
G = x  y Vi i = xiyiV
i=1 j∈J (i,j)∈I×j
Esto significa que la familia {xiyi}i∈I,j∈J es el conjunto representativo de
las clases laterales izquierdas de V en G.
ii) Por el Teorema de Lagrange tenemos que; [G : H] = |G||H| , [G : V ] =
|G|
|V |
y [H : V ] = |H||V | . Luego;
|G| |H| |G|
[G : H] [H : V ] = = = [G : V ] . 
|H| |V | |V |
Ejemplo 2.2 〈Z12,+〉. {0, 6} ≤ {0, 3, 6, 9} ≤ Z12.
Teorema 2.9 Supóngase que G es un grupo finito de orden |G| = pn donde
p es un primo y n ≥ 1. Sea C el centro de G. Entonces p| |C| y |C| =6 pn−1.
En particular, el centro de G es no trivial.
Nota: Se deja la demostración del teorema al lector.
Corolario 2.1 Cualquier grupo de orden |G| = p2 con p primo es abeliano.
2.4. GRUPO SIMÉTRICO Y ALTERNANTE 37
Demostración:
Sea C el centro de G. Entonces |C| es divisible por p y diferente por p, por el
teorema 2.9. Por otro lado |C| es un divisor de |G| = p2 por el teorema de
Lagrange. Consecuentemente, |C| = p2 = |G| lo cual implica que C = G. Por
tanto G es abeliano. 
Teorema 2.10 .
i) Teorema de Euler: Si a es un primo relativo con otro entero n entonces
aϕ(n) − 1 es divisible por n.
ii) Teorema de Fermat: Supongamos que p es un número primo y que p
no divide a a, entonces ap−1 − 1 es divisible por p.
Demostración:
i) Si (a, n) = 1, entonces esto significa que la clase residual [a]n es un ele-
mento del grupo multiplicativo 〈Z∗n, ·〉, p = nq+ a, 0 ≤ a < n. Luego este
grupo tiene orden ϕ(n), por teorema de Lagrange aϕ(n) = 1. Esto significa
que aϕ(n) dividido por n tiene residuo 1,por lo tanto aϕ(n) − 1 es divisible
por n.
ii) Como p - a, entonces (p, a) = 1, por lo tanto por el Teorema de Euler se
tiene que: aϕ(p)−1 es divisible por p, como p es primo ϕ(p) = p−1 por lo
tanto ϕp−1 − 1 es divisible por p. 
Ejemplo 2.3 7 y 5 son primos relativos y además 5 es primo por lo tanto
4
7ϕ(5) − 7 − 1 24001 = 5x ⇒ 74 − 1 = 5x⇒ x = = = 480
5 5
2.4. Grupo simétrico y alternante
Consideremos el grupo de permutaciones de orden n, Sn:
pij(s) = Bij(s) = {σ : S → S|σ es biyectiva}
〈pij(s), o〉 = 〈Bij(s), o〉
Sea σ ∈ S10; ( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
σ =
3 9 7 4 8 5 10 6 2 1
esta permutación la podemos representar en la siguiente forma:
38 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
o también expresarla como:
σ = (1, 3, 7, 10)(2, 9)(4)(5, 8, 6) = (1, 3, 7, 10)(5, 8, 6)(2, 9). (2.1)
Observamos que el conjunto {1, 2, · · · , 10} se descompone en conjuntos disjun-
tos, cuyos elementos se permutan ćıclicamente por σ. Damos aśı la siguiente
definición.
Definición 2.7 .
i) Sea σ una permutación de Sn, σ se denomina un k − ciclo o un ciclo
de orden o de longitud k, si existen elementos i1, · · · , ik ∈ {1, · · · , n} con
i1 →−
σ →−σi2 · · · →−
σ
ik →−
σ
i1
y σ(i) = i para los demás elementos de σ. Notamos este k-ciclo como
σ = (i1, i2, · · · , ik) el cual es igual a escribir σ = (i2, i3, · · · , ik, i1).
ii) Dos ciclos (i1, i2, · · · , ik) y (j1, j2, · · · , jl) son disjuntos si {i1, i2, · · · , ik}
y {j1, j2, · · · , jl} son disjuntos .
iii) Una permutación σ que mueve solo dos elementos y los demás los deja
invariantes se denomina transposición.
iv) Los ciclos disjuntos conmutan, pues en una permutación no intervienen
elementos de la otra.
Observando la última expresión en (2.1), los elementos que no aparecen en
los ciclos son fijos. Además el primer ciclo es de longitud 4, el segundo de
longitud 3 y el otro es de longitud 2.
2.4. GRUPO SIMÉTRICO Y ALTERNANTE 39
Teorema 2.11 Sea Sn el conjunto de permutaciones de orden n. Todo ele-
mento σ de Sn se puede expresar como un producto de ciclos disjuntos, salvo
el orden de los factores.
Demostración:
(Por inducción sobre n). Si n = 1, efectivamente σ se puede escribir como
producto de ciclos. Supongamos que n ≥ 2 consideremos i1 de tal forma
que σ(i1) = i2, σ(i2) = i3 hasta σ(im−1) = im donde σ(im) = i1 pues si
σ(im) = ik con k =6 1, entonces σ(im) = σik−1 lo cual contradice que la apli-
cación es inyectiva. Aśı, c1 = (i1, i2, · · · , im) = (i1, σ(i1), σ2(i1), · · · , σm−1(i1))
es un ciclo de orden m. Si m = n termina la prueba. Si m =6 n, entonces
I = {1, 2, 3, · · · , n} − {i1, i2, · · · , im} es invariante para m − n elementos, y
podemos considerar la permutación σ|I , en Sm−n. Por la hipótesis de induc-
ción σ|I se puede descomponer como σ|I = c2c3 · · · cr en ciclos disjuntos y
esta descomposición es única salvo el orden de los factores, de esta manera se
tiene que σ = c2c3 · · · cr es la única descomposición de σ en ciclos disjuntos.
Ejemplo 2.4 .
i) Consideremos σ ∈ S6; ( )
1 2 3 4 5 6
( σ = (1, 4, 5,)6)((2, 1, 5) = 4 1 )3 2 6 5
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
= (1, 4, 2)(5, 6)
4 2 3 5 6 1 (5 1 3 4 2 6)
1 2 3 4 5 6
(2, 1, 5)(1, 4, 5, 6) = = (1, 6)(2, 4, 5)
6 4 3 5 1 2
ii) (1, 6) y (2, 5, 3)(∈ S6. Veamos qu)e esto(s ciclos que son)di(sjuntos conmun-tan: )
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
(1, 6)(2, 5, 3) = =
6 5 2 4 3 1 ( 6 2 3 4 5 )1 1 5 2 4 3 6
1 2 3 4 5 6
(2, 5, 3)(1, 6) =
6 5 2 4 3 1
Observación 2.5 1) El producto no es un ciclo, es producto de ciclos.
2) El producto de ciclos en i) del ejemplo (2.4) no conmuta, porque los ciclos
no son disjuntos.
40 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
2.5. Cicloestructura
Definición 2.8 Sea σ ∈ Sn escrito como producto de ciclos disjuntos y sea zk
el número de ocurrencia de los k− ciclos (1 ≤ k ≤ n). Entonces la n− tupla
(z1, · · · , zn) es llamada la ciclo estructura de σ. Note que
1 · z1 + 2 · z2 + ...+ n · zn = n
Ejemplo 2.5 Sea σ = (1, 3, 7, 10)(4)(5, 8, 6)(2, 9), la cicloestructura de σ es
(1, 1, 1, 1) y
1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Teorema 2.12 .
i) Si σ ∈ Sn tiene una ciclo estructura (z1, · · · , zn) entonces el orden de σ
en Sn es el mı́nimo común múltiplo de todos los k con zk 6= 0.
ii) Si n es un número primo entonces los únicos elementos de Sn de orden n
son los n− ciclos.
iii) Si (i1, · · · , ik) es un k − ciclo y ϕ ∈ Sn entonces
ϕ ◦ (i1, · · · , ik) ◦ ϕ−1 = (ϕ(i1), · · · , ϕ(ik)).
iv) Dos elementos σ y τ de Sn son conjugados si y solo si ellos tienen la
misma cicloestructura.
Demostración:
i) Por definición 2.7 el orden de un k − ciclo es k. Sea σ = c1 · · · cm la
descomposición de σ en ciclos disjuntos, por la misma definición con-
mutan, puesto que en una permutación no intervienen elementos de la
otra; aśı se tiene que σr = cr1 · · · crm. Si c es un k − ciclo entonces cri es la
identidad o nuevamente un k−ciclo. Por tanto por la unicidad de la ciclo-
descomposición se tiene que σr = id si y solo si cr r r1 = c2 = · · · = cm = id
y esto es si r es un múltiplo común de los órdenes de todos los k− ciclos
que ocurren.
ii) Sea σ = c1 · · · cr, donde ci tiene longitud li ≤ n. Entonces por i) el orden
de σ es el mı́nimo común múltiplo de l1, · · · , lr. Como n es primo, el
orden de σ es n si y solo si li = 1 ó n y al menos una n ocurre. Pero
l1 + · · ·+ lr = n.
2.5. CICLOESTRUCTURA 41
iii) Para mostrar este inciso, veamos que
ϕ ◦ (i1, · · · , ik) = (ϕ(i1), · · · , ϕ(ik)) ◦ ϕ
Si i es uno de los elementos i1, · · · , ik, digamos i = ir, entonces tanto el
lado izquierdo como el lado derecho aplican i en ϕ(ir+1) donde in+1 = i1.
Si i es cualquier otro elemento, entonces ambos lados aplican i en ϕ(i).
Por tanto el lado derecho y el lado izquierdo toman el mismo valor en
cada elemento de {1, · · · , n}, y aśı son iguales.
iv) ⇒) Sea σ = c1c2 · · · cr la descomposición de σ en ciclos disjuntos, y sea τ
la descomposición de σ, esto es τ = ϕσϕ−1. Entonces
τ = ϕc (ϕ−11 ϕ)c (ϕ
−1
2 ϕ) · · · (ϕ−1ϕ)c ϕ−1r
= (ϕc −11ϕ )(ϕc2ϕ
−1) · · · (ϕc ϕ−1r ),
por la parte iii) se tiene que cada (ϕckϕ
−1) tiene la misma estructura de
ck, por tanto τ tiene la misma ciclo-estructura de σ.
⇐) Sean σ y τ tales que
(1)
σ = (i1 , · · ·
(2) (m)
, i(1)r )(i1 , · · · , i(2)r ) · · · (i1 , · · · , i(m)1 2 r )m
y
(1) (2) (m)
τ = (j , · · · , j(1)1 r )(j1 , · · · , j(2)r ) · · · (j (m)1 2 1 , · · · , jr ).m
(s) (s)
Definimos ϕ ∈ Sn como ϕ(ik ) = jk para todo s y todo k. Entonces
(s) (s) (s) (s)
(ϕ ◦ σ)(ik ) = ϕ(σ(ik )) = ϕ(ik+1) = jk+1
y
◦ (s) (s) (s) (s)(τ ϕ)(ik ) = τ(ϕ(ik )) = τ(jk ) = jk+1,
con lo cual ϕ ◦ σ = τ ◦ ϕ, de donde ϕσϕ−1 = τ 
Teorema 2.13 i) Cada permutación σ ∈ Sn se puede escribir como produc-
to de transposiciones, esto es, Sn es generado por todas las transposicio-
nes.
ii) Sn es generado por las transposiciones
(1, 2), (1, 3) (1, 4), · · · , (1, n).
42 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
iii) Sn es generado por las transposiciones
(1, 2), (2, 3) (3, 4), · · · , (n− 1, n).
iv) Sea σ ∈ Sn un n-ciclo y τ ∈ Sn una transposición. Entonces Sn es
generado por σ y τ .
v) Supongase que H ≤ Sn, es tal que para cualesquiera dos elementos i, j ∈
{1, · · · , n}, existe σ ∈ H tal que σ(i) = j ( esta propiedad se denomina
transitividad). Si H contiene un 2-ciclo y un (n− 1)-ciclo entonces H =
Sn.
Demostración:
i) Cada permutación σ se puede escribir como producto de ciclos disjuntos,
entonces cada ciclo se puede expresar en la siguiente forma
(i1, i2, i3, · · · , ik) = (i1, i2)(i2, i3) · · · (ik−1, ik),
aśı Sn es generada por todas las transposiciones.
ii) Por i) es suficiente mostrar que cada transposición se puede escribir como
producto de (1, 2), (1, 3), · · · , (1, n). En efecto, sea i 6= j, entonces
(i, j) = (1, i)(1, j)(1, i).
iii) Por ii) es suficiente mostrar que cada transposición (1, j) se puede expre-
sar como el producto de (1, 2)(2, 3) · · · (n− 1, n).
Se prueba por inducción sobre j, para j ≥ 3, la fórmula
(1, j) = (1, j − 1)(j − 1, j)(1, j − 1).
Si j = 3 se tiene que (1, 3) = (1, 2)(2, 3)(1, 2). Suponemos que la fórmula
es cierta para j − 1.
Por ii), (j−1, j) = (1, j−1)(1, j)(1, j−1) y además (1, j−1)(j−1, 1) = id,
luego (1, j) = (1, j − 1)(j − 1, j)(1, j − 1), es decir que,
(1, j) = (1, 2)(2, 3) · · · (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(1, j − 1).
Aśı Sn es generado por
(1, 2), (2, 3), (3, 4), · · · , (n− 1, n).
2.5. CICLOESTRUCTURA 43
iv) Se supone que τ = (1, 2). Como σ es un n-ciclo, se tiene que σk(1) = 2
para algún k. Sea σ̂ = σk entonces 〈τ, σ〉 contiene los elementos σ̂τ σ̂−1 =
(2, i ), σ̂(2, i )σ̂−1 = (i , i ), σ̂(i , i )σ̂−13 3 3 4 3 4 = (i4, i5) y aśı sucesivamente.
Consecuentemente 〈σ, τ〉 contiene
(1, 2)(2, i3)(1, 2) = (1, i3)
(1, i3)(i3, i4)(1, i3) = (1, i4)
(1, i4)(i4, i5)(1, i4) = (1, i5)
y aśı sucesivamente. Por tanto 〈σ, τ〉 contiene (1, 2), (1, 3), (1, 4), · · · , (1, n).
Luego por ii) se tiene que 〈σ, τ〉 = Sn.
v) Sean (1, 2, · · · , n−1) un n-ciclo y (i, j) un 2-ciclo. Por transitividad existe
un elemento σ ∈ H tal que σ(j) = n. Sea k = σ(i) ∈ {1, · · · , n − 1}.
Como H ≤ Sn entonces H contiene elementos de la forma
σ(i, j)σ−1 = (σ(i), σ(j)) = (k, n).
Por iii) del teorema 2.12, para cada r ∈ {1, 2, · · · , n − 1} se pue-
de encontrar θ de (1, 2, · · · , n − 1) la cual mapea r en k, esto es, se
cumple la condición para H; entonces θ ∈ H y además θ−1(k, n)θ =
(θ−1(k), θ−1(n)) = (r, n), aśı H contiene todas las transposiciones de la
forma (1, n), (2, n), · · · , (n− 1, n) que generan a Sn. Por tanto H = Sn.
Ejemplo 2.6 σ = (1, 6)(2, 5, 3) = (1, 6)(2, 5)(2, 3)
Observación 2.6 La id ∈ Sn se puede expresar como el producto de un núme-
ro par de transposiciones.
Teorema 2.14 Sea σ ∈ Sn. σ se puede expresar o bien como el producto
de un número par de transposiciones o bien como el producto de un número
impar de transposiciones.
Demostración:
Sea σ ∈ Sn tal que σ = τ1τ2 · · · τr = σ1σ2 · · ·σm donde σi y τj son transposi-
ciones, con r par y m impar. Aśı;
id = σ−1σ = σ−1m · · ·σ−1 −12 σ1 τ1τ2 · · · τr
es una representación de la idéntica como un producto de r+m transposicio-
nes, pero r+m es impar. De donde, id se ha expresado como el producto de un
44 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
número impar de transposiciones, lo que contradice la observación anterior.
Aśı, mostramos que σ se expresa o bien como el producto de un número par
de transposiciones o bien como el producto de un número impar de transposi-
ciones. 
Definición 2.9 .
i) σ ∈ Sn se dice que es una permutación par si σ se puede expresar como
el producto de un número par de transposiciones.
ii) σ ∈ Sn se dice que es una permutación impar si σ se puede expresar
como el producto de un número impar de transposiciones.
Definición 2.10 El signo de una permutación σ ∈ Sn se define de la
siguiente manera: {
1 si σ es par
Signo σ = Sign σ = −1 si σ es impar
Definición 2.11 El grupo alternante el cual notamos por Alt = An es el
grupo que contiene todas las permutaciones pares. Esto es:
An = {σ ∈ Sn | Sign σ = 1}
Teorema 2.15 Sea n ≥ 2 y An el grupo alternante de orden n. Entonces:
i) Sea Bn ⊂ Sn el conjunto de permutaciones impares. Si σ ∈ Bn, entonces
Bn = σAn = Anσ
n!
ii) El orden del grupo alternante An es .
2
iii) Para cualquier permutación σ ∈ S , se tiene que σA σ−1n n = An.
iv) El grupo alternante An está generado por los 3-ciclos.
v) Si n ≥ 3 entonces An es generado por todos los ciclos (1, 2, k) con 3 ≤
k ≤ n.
Demostración
i) Sea τ ∈ An, entonces στ es impar, puesto que σ es impar y τ es par,
aśı σAn ⊆ B −1n . Sea α ∈ Bn, entonces σ α ∈ An, pues σ−1 y α son
impares. Por lo tanto, α ∈ σAn y aśı Bn ⊆ σAn . Probar que Bn = Anσ
es análogo.
2.5. CICLOESTRUCTURA 45
ii) El grupo de permutaciones Sn se puede expresar como Sn = An ∪ Bn y
por i) se tiene que hay tantas clases laterales izquierdas como derechas y
son precisamente dos. Aśı; [Sn : An] = 2. Por Teorema de Lagrange:
|Sn|
[Sn : An] = =⇒ |
|Sn| n!
An| = =|An| [Sn : An] 2
iii) σA −1nσ = An es lo mismo que tener σAn = Anσ. Por ii) hay solo 2 clases
laterales izquierdas o derechas a saber An y Bn, y por i) Bn = σAn = Anσ,
por tanto σAnσ
−1 = An.
iv) Como una permutación en An es par, esto es, se puede expresar como
un producto de un número par de transposiciones, basta observar que
un producto de un número par de transposiciones está generado por los
3-ciclos de la siguiente manera:
(a, b)(c, d) = (a, c, d)(a, b, d)
(a, b)(b, c) = (a, b, c)
los cuales se cumplen para todos los distintos pares de elementos a, b, c, d ∈
{1, · · · , n}.
v) Sea H ≤ An, tal que H esta generado por los 3-ciclos de la forma (1, 2, a)
con 3 ≤ a ≤ n.
Sean a, b ∈ {3, · · · , n}. Se tiene que:
(1, a, 2) = (1, 2, a)(1, 2, a)
(1, a, b) = (1, 2, b)(1, 2, a)(1, 2, a)
Aśı H contiene todos los 3-ciclos de la forma (1, a, b). Sea c ∈ {3, · · · , n},
entonces
(a, b, c) = (1, a, b)(1, b, c)
De donde H está generado por los 3-ciclos de la forma (1, 2, k) con 3 ≤ k ≤
n. Por iv) H = An. 
Problema 2.3 Construir la tabla del grupo A4. Donde:
σ1 = id, σ2 = (1, 2)(3, 4), σ3 = (1, 3)(2, 4), σ4 = (1, 4)(2, 3), σ5 = (1, 2, 3),
σ6 = (2, 4, 3), σ7 = (1, 4, 2), σ8 = (1, 3, 4), σ9 = (1, 3, 2), σ10 = (1, 4, 3)
σ11 = (2, 3, 4), σ12 = (1, 2, 4)
46 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
2.6. Propiedades de los grupos ćıclicos:
Definición 2.12 .
i) H ≤ G es un subgrupo ćıclico si
H = {xn | n ∈ Z}.
ii) Si G está generado por el elemento x, esto es, si G = 〈x〉 y
〈x〉 = {xn | n ∈ Z}.
Decimos que G es un grupo ćıclico.
Teorema 2.16 Todo grupo ćıclico G es abeliano.
Demostración:
Sea G = 〈x〉 y g1, g2 ∈ G, esto es g1 = xr, g2 = xs con r, s ∈ Z. Entonces:
g g = xrxs = xr+s = xs+r = xs1 2 x
r = g2g1
y aśı G es abeliano. 
Teorema 2.17 Los subgrupos de un grupo ćıclico son ćıclicos.
Demostración:
SeaH ≤ G,G un grupo ćıclico. SiH = 〈e〉, entonces H es ćıclico. Supongamos
que H 6= {e}. Afirmamos que c = xm genera a H, es decir,
H = 〈c〉 = {ct | t ∈ Z}.
Sea b ∈ H ≤ G, entonces b = xn con n ∈ Z+. Sea m ∈ Z+ un minimal tal que
xm ∈ H. Por el algoritmo de la división, existen q, r ∈ Z, tales que:
n = mq + r con 0 ≤ r < m
Entonces;
xn = xmq+r = (xm)qxr.
De donde xr = xn(xm)−q. Pero xm ∈ H y (xm)−q ∈ H. Luego xn(xm)−q ∈ H,
de donde xr ∈ H con 0 ≤ r < m. Como m es minimal, entonces r = 0. Aśı;
xn = (xm)q, es decir, b = cq es una potencia de c, b ∈ H y H = 〈c〉 es ćıclico.

2.6. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS CÍCLICOS: 47
Observación 2.7 .
i) Los subgrupos del grupo ćıclico 〈Z,+〉 son de la forma 〈nZ,+〉, n ∈ Z.
ii) Los subgrupos ćıclicos se clasifican en infinitos y finitos.
Grupos ćıclicos infinitos: Los elementos del grupo ćıclico son todos
distintos, es decir, que no existen h, k ∈ Z tal que an = ak con h > k.
En efecto, si an−k = e, h − k > 0 y existe m ∈ Z tal que am = e, luego
se tienen los elementos e, a, a2, · · · , am−1. Por el algoritmo de la división
existen q, r ∈ Z tal que n = mq + r, 0 ≤ r < m. Aśı, an = amq+r =
amqar = (am)qar = eqar = ar. Luego G = {e, a, a2, · · · , am−1} es finito,
contradiciendo el hecho de que G es infinito. Por tanto los elementos de
G son todos distintos, esto es, an 6= ak con h, k ∈ Z.
Grupos ćıclicos finitos: Los elementos del grupo ćıclico no son todos
distintos. Aśı; an = ak, para algunos h, k ∈ Z y h > k, con lo cual existe
m ∈ Z tal que am = e y se obtiene G = {e, a, a2, · · · , am−1} de la manera
como se argumentó en los grupos ćıclicos infinitos.
iii) Z = 〈1〉 es un grupo ćıclico infinito y 〈Zn,+〉, donde Zn = 〈1̄〉, es un
grupo ćıclico finito.
El teorema 2.17, nos proporciona información sobre los subgrupos de los
grupos ćıclicos infinitos. A continuación se estudiará un resultado relacionado
con los subgrupos de un grupo ćıclico finito.
Teorema 2.18 Sea G un grupo ćıclico de orden n. Si b = xs ∈ G, entonces
b genera un subgrupo H ≤ G de orden nd con d = m.c.d.(n, s).
Demostración:
Sea H = {xn | n ∈ Z}. H es el subgrupo más pequeño de G que contiene a
x. Aśı; cualquier otro subgrupo de G contiene a x y contiene a H. Podemos
entonces considerar el subgrupo generado por b. Veamos que el subgrupo
generado por b tiene nd elementos con d = m.c.d.(n, s). En efecto, sea m ∈ Z,
el menor entero tal que bm = e, si y solo si, (xs)m = xsm = e, si y solo si,
n|sm. Sea n = d(nd) con d = m.c.d.(n, s), entonces, d(
n
d)|sm, pero como d|s,
entonces nd |m, esto es,
n
d ≤ m. Pero m es el menor entero tal que b
m = e, aśı
que nd = m, por lo tanto, H = 〈b〉 tiene orden
n
d . 
Ejemplo 2.7 Sea G = 〈Z12,+〉. Encontremos algunos subgrupos de G.
48 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
n
1. Si tenemos que m.c.d (12, 3) = 3, = 4.
d
〈 〉 |H| = | 〈sx〉 | = 4.
3 = {0, 3, 6, 9} ≤ G = 〈Z12,+〉 .
2. Si m.c.d(12, 8) = 4, se genera un subgrupo de 124 = 3 elementos a saber
〈8〉 = {0, 4, 8}.
3. Si m.c.d.(12, 5) = 1 se genera un subgrupo de 121 elementos, es decir, 〈5〉
genera a Z12.
Corolario 2.2 Sea G un grupo ćıclico finito de orden n, si x es un generador
de G, entonces los otros generadores de G son elementos de la forma ar = ra
con m.c.d(r, n) = 1.
Nota: Se deja la demostración al lector.
2.6. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS CÍCLICOS: 49
EJERCICIOS
1. Determine cuáles de los subconjuntos de los números complejos son sub-
grupos bajo la suma del grupo C de los números complejos bajo la suma.
a. R, Q+, 7Z.
b. El conjunto iR de los números imaginarios puros incluyendo 0.
c. El conjunto πQ de los múltiplos racionales de π.
d. El conjunto {πn | n ∈ Z}.
2. ¿Cuáles de los siguientes grupos son ćıclicos?.
a. G1 = 〈Z,+〉. e. El grupo G5 = {6n | n ∈ Z} ba-
b. G1 = 〈Q,+〉. jo la multiplicación.√
c. G1 = 〈Q+,+〉. f. G6 = {a + b 2 | a, b ∈ Z} bajo
d. G1 = 〈6Z,+〉. la suma.
Para cada grupo ćıclico obtenga todos los generadores del grupo.
3. Construir la tabla de grupo para 〈Z6,+〉.
a. Calcule los subgrupos 〈1〉, 〈2〉, 〈3〉, 〈4〉 y 〈5〉 de Z6.
b. ¿Es G = 〈Z6,+〉 ćıclico?, ¿Qué elementos son generadores para el
grupo Z6?.
4. Sea G un grupo y H 6= ∅ un subconjunto finito de G. Muestre que H es
un subgrupo de G si, y solo si, H es multiplicativamente cerrado, es decir,
si HH ⊂ H.
5. Sea G un grupo y n ∈ N. Sea:
H1 = {x ∈ G | xn = e} y H n2 = {x | x ∈ G}.
Muestre que si G es abeliano entonces H1 y H2 son subgrupos de G. De
un ejemplo que ilustre que H1 y H2 no son subgrupos de G, si G no es
abeliano.
6. Encontrar un conjunto S tan pequeño como sea posible, tal que Z×Z =
〈S〉.
50 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
7. a. Sean A y B subgrupos de un grupo G. Muestre que A ∪ B ≤ G si, y
solo si, A ⊆ B o B ⊆ A.
b. Sea {Hi}i∈I una familia de subgrupos de un grup⋃oG. Enuncie y pruebe
una condición necesaria y suficiente para que Hi sea un subgrupo
i∈I
de G.
8. Supóngase que existe un n ∈ N tal que anbn = bnan, para todos los
elementos a, b de un grupo G.
Muestre que H = {x ∈ G | ord x es relativamente primo con n} es un
subgrupo abeliano de G.
9. Sea G un grupo H = {x ∈ G | x−1 = x}.
a. Muestre que H ≤ G si G es abeliano.
b. Encontrar un grupo G tal que H no es un subgrupo de G.
10. a. Muestre que si g y h son elementos del grupo G entonces el centrali-
zador de h−1gh en G es C(h−1gh) =(h−1C(g)h). ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
b. Encuentre centralizadores de α = y β =
2 1 3 4 2 3 4 1
en S4.
c. Sea Ĉ = C ∪ {∞}. Una transformación de Mobius es una aplica-
ción:
T : Ĉ → Ĉ
az + b
z →7 T (z) = Tz =
cz + d
con ad − bc 6= 0, y z, a, b, c y d números complejos. Muestre que
el conjunto de transformaciones de Mobius forma un grupo con la
composición de funciones. En este grupo determine los centralizadores
de todos los elementos de la forma Uλ(z) = λz y Vλ(z) = z+λ , donde
λ ∈ C.
11. a. Sean x, y elementos de un grupoG. Muestre que el ord x = ord (yxy−1)
y que ord (xy) = ord (yx).
b. Sea N ≥ 2 un número dado. Supóngase que un grupo G posee exac-
tamente un elemento x de orden N , entonces x pertenece al centro de
G.
2.6. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS CÍCLICOS: 51
12. a. Sea G un grupo finito de orden m. Muestre que G es ćıclico si, y solo
si, G posee un elemento de orden m.
b. Supóngase que G es un grupo finito de orden |G| = p, donde p es
primo. Muestre que G es ćıclico.
13. Sea G un grupo finito de orden n. Muestre que los siguientes enunciados
son equivalentes:
a. G es ćıclico;
b. Cada divisor d de n, tiene exactamente un subgrupo H ≤ G de orden
d;
c. para cada divisor d de n, existen ϕ(d) elementos en G de orden d.
14. Sean A y B subgrupos de un grupo finito G. Muestre:
|AB| |A||B|=
|A ∩B|
15. Sean A, B y C subgrupos de un grupo G. Muestre que si A ⊆ C, entonces
(AB) ∩ C = A(B ∩ C).
16. Dado un subconjunto H no vaćıo de un grupo G, definimos una relación
sobre G de la siguiente manera
a ∼ b⇔ ab−1 ∈ H.
Muestre que ∼ es una relación de equivalencia si y solo si H es un grupo
de G.
17. a. Sean A y B subgrupos de un grupo G. Muestre que AB es un subgrupo
de G si y sólo si AB = BA. (〈E(ste es)e〉l caso en〈e(l que)A〉normaliza aG, esto es, si aBa−1 = B para todo a ∈ A).
1 0 1 1
b. Considere los subgruposA = yB = deGL(2,R).
1 1 0 1
Describa A y B expĺıcitamente y muestre que AB no es un subgrupo
de GL(2,R).
18. Sea Q el subgrupo de GL(2,C) el cual es generado por los cuatro elemen-
tos: ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 i 0 0 −1 0 −i
1 = , I = , J = , K = .
0 1 0 −i 1 0 −i 0
52 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
Verifique las ecuaciones:
I2 = J2 = K2 = −1; IJ = K; JK = I; KI = J
y muestre queQ consiste exactamente de los ocho elementos±1,±I,±J,±K.
Estos elementos son llamados los cuaterniones puros.
19. Sean σ y τ elementos de Sn.
a. Si σ y τ son ambas pares o impares, entonces στ es par.
b. Si uno de los factores es par y el otro impar, entonces στ es impar.
c. Si σ es par entonces asi es σ−1. Si σ es impar entonces asi es σ−1.
20. Encuentre todos los subgrupos de (Z24,+). Determine el orden de cada
elemento en este grupo.
21. Pruebe los siguientes enunciados:
a. Cualquier permutación en Sn se puede escribir como un producto de
dos n-ciclos.
b. Ninguna permutación impar puede ser escrita como un producto de
dos ciclos de la misma longitud.
c. Ningún 3-ciclo es un cubo, esto es, Si σ = (abc) ∈ Sn es un 3-ciclo no
existe ninguna permutación σ ∈ Sn tal que σ = α3.
22. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de indice finito.
a. Muestre que para cada elememto g ∈ G existen elementos xi, yi ∈ H
tales que: HgH = ∪ixigyiH = ∪iHxigyi.
b. Muestre que existen element⋃os g1, · · · ,⋃gn ∈ H tal que:n n
G = giH = Hgi.
i=1 i=1
23. a. Sea G un grupo de orden |G| = p2 donde p es primo. Muestre que G
es ćıclico o es tal que xp = e para todo x2 ∈ G.
b. Sea G = {e, x, y, z} un grupo no ćıclico de orden 4. Encuentre la tabla
de multiplicar de G y muestre que G es abeliano.
24. a. Sean σ, τ ∈ Sn. Sign(σ)Sign(τ) = Sign(στ) y Sign(σ−1) = Sign(σ).
2.6. PROPIEDADES DE LOS GRUPOS CÍCLICOS: 53
b. Si σ es un k-ciclo entonces Sign(σ) = (−1)k.
25. Para cada una de las siguientes permutaciones, encuentre la descomposi-
ción en ciclos disjuntos, el orden y el signo. Además, escriba cada permu-
tación como un producto de pocas transposiciones como sea posible.
a. ( ) ( ) ( )
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
, ,
3 2 5 6 1 4 7 5 1 4 2 6 3 3 5 7 6 4 2 1
b. (1, 3)(1, 4)(2, 3); (1, 2)(2, 4)(4, 3, 1) y (1, 2, 3)−1(1, 4, 5, 3, 6)(1, 2, 3).
c. σ = (1, 2, 3, 4, 5, 6), σ2, σ3, σ4, σ5.
26. a. Encuentre el centralizador de (3, 4, 5) en S5.
b. Encuentre el centralizador de (3, 4, 5) en A5.
c. Muestre que si n ≥ 3 entonces el centro de Sn consiste solamente del
elemento identidad.
27. a. Muestre que A5 tiene únicamente elementos de órdenes 1, 2, 3 y 5.
b. Encuentre todos los posibles órdenes de elementos en A5.
c. Encuentre el número natural más pequeño n tal que σn = id para
todo σ ∈ A6.
28. Sea A = {σ ∈ S3 | σ(1) = 1} y B = {σ ∈ S3 | σ(2) = 2}. Encuentre AB
y BA.
29. Sea σ ∈ Sn una permutación fija. Muestre que una relación de equivalencia
∼ sobre {1, 2, 3, · · · , n} es dada por
i ∼ j ⇔ j = σm(i) para algun m ≥ 0.
Describa las clases de equivalencia.
30. Encuentre el número de generadores de los subgrupos ćıclicos de órdenes
6, 8, 12, 60.
31. Para cada uno de los siguientes grupos, encuentre todos los subgrupos y
elabore el diagrama reticular correspondiente.
54 CAPÍTULO 2. SUBGRUPOS
a. Z12. b. Z36. c. Z8.
32. Muestre mediante un contraejemplo que, si un grupo G es tal que todo
subgrupo propio es ćıclico entonces G es ćıclico, no es un teorema.
33. Sea 〈a〉 un grupo ćıclico finito de orden n.
a. Muestre que todo subgrupo H ≤ G tiene la forma 〈am〉, donde m > 0
es algún divisor de n y muestre q〈ue p〉ara enteros postivos m y m′ que′
dividen a n, se tiene que 〈am〉 = am = si y solo si m = m′.
b. Muestre que si dos subgrupos del grupo ćıclico finitoG tienen el mismo
orden, entonces son iguales. ¿Qué enteros son órdenes de los subgrupos
de G?.
c. Dé un ejemplo para mostrar que para grupos finitos no ćıclicos G, la
conclusión de la parte b. no es necesariamente cierta.
Caṕıtulo 3
Isomorfismos
En la teoŕıa de grupos es de utilidad determinar que grupos, aunque tengan
diferentes elementos y diferente operación binaria interna, estructuralmente se
comporten del mismo modo. Esto porque hay grupos según su estructura, los
cuales son más sencillos de estudiar y especialmente si se quiere usar la teoŕıa
de grupos como aplicación, como por ejemplo en las máquinas de Turing.
3.1. Concepto de isomorfismos
Consideremos los siguientes grupos de orden 4:
〈Z4,+〉, 〈G, ·〉 con G = {±1,±i}, F1 = {D0, D90, D180, D270} donde Da
es la rotación en “a” grados en sentido contrario a las manecillas del reloj.
F2 = {D0, D180, Rx, Ry} donde Rx y Ry son las reflexiones sobre el eje x y el
eje y respectivamente.
55
56 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Tabla de los grupos:
+ 0 1 2 3 · 1 i −1 −i
0 0 1 2 3 1 1 i −1 −i
1 1 2 3 0 i i −1 −i 1
2 2 3 0 1 −1 −1 −i 1 i
3 3 0 1 2 −i −i 1 i −1
◦ D0 D90 D180 D270 ◦ D0 D180 Rx Ry
D0 D0 D90 D180 D270 D0 D0 D180 Rx Ry
D90 D90 D180 D270 D0 D180 D180 D0 Ry Rx
D180 D180 D270 D0 D90 Rx Rx Ry D0 D180
D270 D270 D0 D90 D180 Ry Ry Rx D180 D0
Observamos que el comportamiento en las tres primeras tablas es similar, es
decir que una fila se obtiene de la anterior corriendo sus entradas una posición
hacia la izquierda, mientras que la cuarta tabla no cumple esta misma regla.
Se tiene aśı que los tres primeros grupos son ćıclicamente permutados. Luego
los tres primeros son grupos ćıclicos.
Si G es un grupo arbitrario de orden 4 con generador a, entonces su tabla
es de la forma
∗ e a a2 a3
e e a a2 a3
a a a2 a3 e
a2 a2 a3 e a
a3 a3 e a a2
Es decir que los tres primeros grupos, y en general todos los grupos ćıclicos
de orden 4 no son diferentes, ellos difieren únicamente en la naturaleza de sus
elementos, pero en general tienen la misma estructura. El cuarto grupo no
tiene la misma propiedad de los anteriores, pero si tiene la propiedad de que
el cuadrado de sus elementos es el neutro (x2 = e).
Se observa aśı, que en el cuarto grupo, los elementos de la diagonal en la
tabla es siempre el mismo, mientras que en los tres primeros, los elementos de
la diagonal en la tabla es ocupada por dos elementos diferentes. En conclusión
se tiene que los grupos ćıclicos 〈Z4,+〉 y 〈G, ·〉 con G = {±1,±i} son el mismo
3.1. CONCEPTO DE ISOMORFISMOS 57
grupo. La forma de representar eso es aplicar
〈Z4,+〉 −→ 〈G, ·〉
0 7−→ 1
1 7−→ i
2 7−→ −1
3 −7 → −i
donde se transforma la tabla del primer grupo en la tabla del segundo grupo.
La aplicación anterior es lo que llamamos un isomorfismo el cual definimos
a continuación.
Definición 3.1 Sean G y H grupos y f : G → H una aplicación. Decimos
que f es un isomorfismo del grupos si:
i) f es biyectiva.
ii) f es un homomorfismo, es decir, que dados x, y ∈ G se tiene que
f(xy) = f(x)f(y)
Si f : G→ H es un isomorfismo, se dice que G es isomorfo a H, y lo notamos
como G ∼= H.
Teorema 3.1 Sean G y H grupos y sea f : G→ H un isomorfismo, entonces,
f−1 : G→ H es un isomorfismo.
Demostración:
Como f es biyectiva, entonces f−1 es biyectiva.
Veamos que f−1 es un homomorfismo. Debemos ver que si u, v ∈ H, entonces,
f−1(uv) = f−1(u)f−1(v).
Sea x = f−1(u) e y = f−1(v), entonces, f(x) = u y f(y) = v. Aśı;
f−1(uv) = f−1(f(x)f(y))
= f−1(f(xy)) ya que f es un homomorfismo;
= xy ya que f es biyectiva;
= f−1(u)f−1(v)
Por tanto, f−1 es un isomorfismo. 
58 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Teorema 3.2 Sean G y H grupos y sea f : G→ H un isomorfismo, entonces,
f(e) es el elemento neutro de H con “e” elemento neutro de G y además para
cada a ∈ G se tiene que f(a−1) = (f(a))−1.
Demostración:
Como f es sobreyectiva, dado y ∈ H, existe x ∈ G tal que f(x) = y. Aśı;
y = f(x) = f(ex) = f(e)f(x) = f(e)y
Además;
y = f(x) = f(xe) = f(x)f(e) = yf(e),
aśı para cada y ∈ H se tiene que f(e)y = yf(e) = y y f(e) es la idéntica de
H. Además para a ∈ G
f(e) = f(aa−1) = f(a)f(a−1)
y también
f(e) = f(a−1a) = f(a−1)f(a).
Por lo tanto; f(a−1) = (f(a))−1. 
Definición 3.2 Si f : G→ G es un isomorfismo, entonces decimos que f es
un automorfismo de G.
Ejemplos de isomorfismos:
1. Sea T = {z = x + iy ∈ C | |z| = 1} y SO(2) = {A ∈ O(2) | det(A) = 1}
con O(2) = {A ∈ M(2,R) | At = A−1}. La aplicación de 〈T, ·〉 en
〈SO(2), ·〉 dada por.
f : T −→ S(O(2) )
iθ 7−→ cos θ − sin θe
sin θ cos θ
es un isomorfismo. Donde eiθ = cos θ + i sin θ.
2. Sea a > 0, a ∈ R, a =6 1, entonces 〈R,+〉 ∼= 〈R+,+〉 con
f : R −→ R+
x −7 → ax
3.1. CONCEPTO DE ISOMORFISMOS 59
3. 〈R+, ·〉 ∼= 〈R,+〉 con
f : R+ −→ R
7−→ lnxx loga x = y a 6= 1.ln a
Definición 3.3 Sea G un grupo arbitrario
i) Para cualquier elemento g ∈ G la aplicación
kg : G −→ G
x 7−→ gxg−1
es un automorfismo de G llamado la conjugación por g y gxg−1 se
denomina el conjugado de x.
ii) kg es llamado el automorfismo interior de G, puesto que todos los
elementos que intervienen están en G. Los demás automorfismos se de-
nominan automorfismos exteriores.
Teorema 3.3 .
i) Sea G un grupo ćıclico infinito, entonces G es isomorfo a 〈Z,+〉.
ii) Sea G un grupo ćıclico tal que |G| = n, entonces G es isomorfo a 〈Zn,+〉.
Demostración:
Sea x ∈ G tal que x genera a G.
i) Sea
f : Z −→ G
k −7 → xk
f es uno-uno: Sean k 6= l, entonces xk =6 xl, pues por Observación 2.6
todos los elementos de un grupo ćıclico infinito son distintos, por tanto
f(k) 6= f(l).
f es sobre: Como G =< x >= {xn | n ∈ Z}, entonces, para todo xk ∈ G,
existe k ∈ Z tal que f(k) = xk.
f es un homomorfismo: Sean k, l ∈ Z, entonces
f(k + l) = xk+l = xkxl = f(k)f(l)
60 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
ii) Sea
f : Zn −→ G
k 7−→ xk
Como |G| = n entonces G = {e, x, x2, · · · , xn−1}.
f está bien definida y es uno-uno. En efecto, sean k, l ∈ Zn. k = l si, y
solo si, k− l es un múltiplo de n si, y solo si, xk−l = e si, y solo si, xk = xl
si, y solo si, f(k) = f(l).
f es sobre, puesto que |G| = n y |Zn| = n y f es una aplicación uno-uno.
f es un homomorfismo. En efecto, sean k, l ∈ Zn, entonces:
f(k + l) = f(k + l) = xk+l = xkxl = f(k)f(l) 
Teorema 3.4 .
i) Sea f : G −→ H y g : H −→ K homomorfismo, entonces h : g ◦ f :
G −→ K es un homomorfismo.
ii) Sea G un grupo, el conjunto de automorfismo de G es un grupo el cual se
denomina el grupo de automorfismo de G y se denota por 〈Aut(G), ◦〉:
Aut(G) = {f : G −→ G | f es un automorfismo}
Demostración:
i) Sean x, y ∈ G. Como f y g son homomorfismos:
h(xy) = (g◦f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = h(x)h(y)
ii) Como la compuesta de funciones biyectivas es biyectiva y por i) la com-
puesta es de nuevo un homomorfismo. Luego Aut(G) es cerrado bajo la
composición de funciones.
Además id : G −→ G es un automorfismo y para cada f : G −→ G per-
teneciente a Aut(G) existe f−1 : G −→ G tal que f ◦ f−1 = id = f−1 ◦ f ,
el cual es un automorfismo, esto es f−1 : G −→ G pertenece a Aut(G).
Aśı; Aut(G) es un grupo, el cual es un subgrupo de
Bij(G) = {f : G −→ G | f es biyectiva}. 
3.1. CONCEPTO DE ISOMORFISMOS 61
Ejemplos de homomorfismos:
1. La función: Donde: {
f : Z −→ Z 1 si x es parn Sign x = −1 si x es impar
x 7−→ x
Sign es un homomorfismo entre
es un homomorfismo sobreyecti- los grupos 〈R∗, ·〉 y 〈G, ·〉.
vo.
5. La función:
2. Para cada n ∈ Z, definamos
f : 〈C∗, ·〉 −→ 〈G, ·〉
fn : Z −→ Z z −7 → |z|
x 7−→ fn(x) = nx
es un homomorfismo sobreyecti-
fn es un homomorfismo de 〈Z,+〉 vo.
en śı mismo.
6. La función:
3. Las funciones:
Sign : Sn −→ {−1, 1} = G
x −7 → Sign x
f : R −→ R2 g : R2 −→ R es un homomorfismo sobreyecti-
x 7−→ (x, x) (x, y) 7−→ x vo.
7. La función:
son homomorfismos.
det : GL(V ) −→ K∗
4. La función signo:
es un homomorfismo, donde V es
Sign : R∗ −→ {1,−1} = G un espacio vectorial sobre el cam-
x −7 → Sign x po K.
Definición 3.4 Sea f : G −→ H un homomorfismo con G y H grupos.
i) El núcleo de f , el cual notaremos como Ker f , está definido de la si-
guiente manera:
Ker f = {x ∈ G | f(x) = e}
ii) La imagen de f , la cual notaremos por Im f , está definida como:
Im f = {f(x) | x ∈ G}
62 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Enunciaremos las propiedades básicas de estos conjuntos.
Teorema 3.5 Sea f : G −→ H un homomorfismo con G y H grupos.
i) Ker f es un subgrupo de G.
ii) Im f es un subgrupo de H.
iii) f es uno-uno si, y solo si, Ker f = {e}.
iv) f es sobre si, y solo si, Im f = H.
Demostración:
i) e ∈ Ker f ya que f(e) = e. Sean x, y ∈ Ker f entonces f(xy) =
f(x)f(y) = e · e = e, aśı xy ∈ Ker f .
Sea x ∈ Ker f ; entonces f(x−1) = f(x)−1 = e−1 = e, luego x−1 ∈ Ker f .
Por tanto Ker f ≤ G.
ii) f(e) = e ∈ Img f . Sean u, v ∈ Img f , existen x, y ∈ G tales que
u = f(x) y v = f(y); luego uv = f(x)f(y) = f(xy) ∈ Img f .
Sea u ∈ Img f , u = f(x) entonces u−1 = f(x)−1 = f(x−1) ∈ Img f .
iii) ⇒) Sea f : G → H uno-uno y x ∈ Ker f arbitrario, entonces f(x) = e,
además f(e) = e aśı f(x) = f(e) y por la inyectividad de f x = e, por
tanto Ker f = {e}.
⇐) Supongase queKer f = {e} y que f(x) = f(y), entonces f(x)f(y)−1 =
e, como f(y)−1 = f(y−1), f(x)f(y−1) = e, y por ser f un homomorfismo
f(x)f(y−1) = f(xy−1) = e, luego xy−1 ∈ Ker f ; pero Ker f = {e} por
tanto xy−1 = e y aśı x = y de donde f es uno-uno.
iv) Si f es sobreyectiva entonces Img f = H.
Ahora si Img f = H, sea y ∈ H = Img f , existe x ∈ G tal que y = f(x)
y aśı f es sobreyectiva. 
Problema 3.1 Resolver:
1. Sea
f : Z −→ Zn
x 7−→ x
Compruebe que Ker f es el conjunto nZ de todos los múltiplos de n.
3.1. CONCEPTO DE ISOMORFISMOS 63
2. Sea
Sign : Sn −→ {1,−1} = G
x 7−→ Sign x
Ker Sign = An.
3. Sea V un espacio vectorial sobre k, det :GL(V ) −→ K∗, entonces Ker f =
SL(n,K).
4. Sea
f : Z −→ G
k 7−→ xk
con x ∈ G. Ker f = nZ, si x tiene orden finito, y si x tiene orden infinito
Ker f = {0}.
Teorema 3.6 Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos.
i) Si U es un subgrupo de G, entonces f(U) es un subgrupo de H. (contenido
en la imagen de f)
ii) Si V es un subgrupo de H, entonces f−1(V ) es un subgrupo de G. (con-
tenido en el núcleo de f)
Nota: Se deja la demostración al lector.
Teorema 3.7 Sea f : G −→ H un homomorfismo sobreyectivo. Existe una
correspondencia entre los subgrupos V de H y los subgrupos U de G que
contienen al núcleo. Además se tiene que:
[G : U ] = [H : f(U)]
con Ker f ≤ U ≤ G.
Demostración:
Por el teorema anterior si U es un subgrupo de G entonces f(U) es un sub-
grupo de H, y si V es un subgrupo de H entonces f−1(V ) es un subgrupo
de G que contiene al Ker f . Mostremos que U → f(U) y V → f−1(V ) son
biyecciones inversas cada una de la otra.
64 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Sea V ≤ H, como f es sobre f(f−1(V )) = V . Sea U ≤ G que contie-
ne al núcleo, entonces U = f−1(f(U)). En efecto, U ⊆ f−1(f(U)) (∗), vea-
mos que f−1(f(U)) ⊆ U (∗∗). Sea x ∈ f−1(f(U)) entonces f(x) = f(u)
aśı f(x)(f(u))−1 = e y como f es un homomorfismo (f(u))−1 = f(u−1), aśı
f(x)f(u−1) = f(xu−1 = e, de donde xu−1 ∈ Ker f ⊆ U luego x ∈ Uu = U
mostrando (∗∗). De (∗) y (∗∗) se tiene que U = f−1(f(U)).
Resta mostrar que el número de clases laterales derechas (o izquierdas) de G
en U , es igual al núm⋃ero de clases laterales derechas (o izquierdas) de H enf(U). En efecto; sea {gi}i∈I el conjunto minimal de las clases laterales de U
en G, entonces G = giU , de donde:
i∈I (⋃ ) ⋃ ⋃
H = f(G) = f giU = f (giU) = f (gi)f(U)
i∈I i∈I i∈I
Aśı; {f(gi)}i∈I es el conjunto minimal de representantes de las clases laterales
de H en f(U). Veamos que si f(gi)f(U) = f(gj)f(U) si, y sólo si, giU = gjU .
En efecto, f(gi)f(U) = f(gj)f(U) si, y sólo si, f(gi) = f(gj)f(u) con u ∈ U .
Por ser f un homomorfismo f(g−1i )f(gj)f(u) = e si, y sólo si, f(g
−1
i gju) = e
si, y sólo si, g−1i gju ∈ Ker f ⊆ U si, y sólo si, giU = gjU . 
3.2. Subgrupo normal y caracteŕıstico. Grupo cociente
Para estudiar los teoremas de isomorfismos, los conceptos de subgrupo nor-
mal y grupo cociente son fundamentales. De otra parte estos conceptos junto
con el de grupo caracteŕıstico y las propiedades de estos grupos; también
caracterizan los grupos nilpotentes que se estudiarán más adelante.
Definición 3.5 Sean G un grupo y H ≤ G.
i) Decimos que H es un subgrupo caracteŕıstico si él es invariante bajo todo
automorfismo. Es decir, que si f : G→ G es un automorfismo entonces
f(H) = H para todo f ∈ Aut(G) ó equivalentemente f(H) ⊆ H para
todo f ∈ Aut(G).
ii) Decimos que H es un subgrupo normal si H es invariante bajo el auto-
morfismo interior kg de G. Es decir que gHg
−1 = H para todo g ∈ G o
equivalentemente gHg−1 ⊆ H para todo g ∈ G y lo notamos por H EG.
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 65
Observación 3.1 Todo subgrupo caracteŕıstico es un subgrupo normal.
Teorema 3.8 Sea G un grupo y H ≤ G. Si [G : H] = 2, entonces H es un
subgrupo normal.
Demostración
[G : H] es el número de clases laterales derechas o izquierdas. Si[G : H] = 2
entonces hay dos clases que son H y G/H. Sea g ∈ G, si g ∈/ H entonces
gH = G/H = Hg.
Si g ∈ H entonces gH = H = Hg, es decir, que en ambos casos gH = Hg esto
es gHg−1 = H para todo g ∈ G y aśı H EG. 
Observación 3.2 Teniendo en cuenta el resultado anterior observamos que
si Hg = gH entonces H E G y aśı podemos estudiar el conjunto cociente
que se genera mediante H por medio de una relación de equivalencia, el cual
llamaremos grupo cociente módulo H.
Teorema 3.9 Sea G un grupo y H EG entonces
i) Para todo x, y ∈ G la operación xHyH = xyH es una operación binaria.
ii) G/H es un grupo llamado el grupo cociente de G módulo H.
iii) La aplicación
j : G → G/H
x 7→ xH
Es un homomorfismo sobreyectivo con kerj = H.
Demostración:
i) Veamos que la operación xHyH = xyH es una operación binaria.
Sean x, y ∈ G (xH)(yH) = x(Hy)H = x(yH)H = xyHH = xyH
ii) G/H es un grupo. En efecto:
Por i) xHyH = xyH, es decir que es cerrado bajo la operación.
Asociativa: Sean xH, yH y zH ∈ G/H;
[(xH(yH)]zH = (xyH)zH = (xy)zH
= x(yz)H = xH(yzH) = xH[(yH)(zH)]
66 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Elemento Neutro: Sea xH ∈ G/H
(xH)(eH) = xeH = xH y (eH)(xH) = exH = xH
Por lo tanto eH es el neutro de G/H.
Elemento inverso: Sea xH ∈ G/H;
(xH)(x−1H) = xx−1H = eH y (x−1H)(xH) = x−1xH = eH
Por lo tanto, existe para cada xH ∈ G/H existe x−1H ∈ G/H tal que
(xH)(x−1H) = eH = (x−1H)(xH).Aśı, obtenemos que G/H es un grupo.
iii) j es un homomorfismo. En efecto; sean x, y ∈ G, entonces
j(xy) = xyH = (xH)(yH) = j(x)j(y)
Es sobre: Sea xH ∈ G/H, como HEG tenemos que xH = Hx para todo
x ∈ G. Aśı, para todo xH ∈ G/H existe x ∈ G tal que j(x) = xH
kerj = H; kerj = {x ∈ G|j(x) = eH = H}
x ∈ kerj si y solo si, j(x) = xH = eH si y solo si xH = H si y solo si
x ∈ H. Por tanto kerj = H. 
Observación 3.3 .
i) j : G→ G/H con Kerj = H, H EG se denomina epimorfismo canónico
ii) El cardinal de G/H es el ı́ndi∣∣∣ce de ∣∣∣H en G, [G : H]. Si G es finito entoncespor el teorema de Lagrange G/H = |G||H|
iii) Los elementos de G/H que son de la forma xH también se pueden expre-
sar en la forma x con lo cual x y z−1 = xyz−1
Ejemplos de subgrupos normales y caracteŕısticos:
1. {Id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}E S3.
2. Sea k un campo arbitrario y G ≤ GL(n, k) entonces: U = G∩SL(n, k) =
{A ∈ G/ detA = 1} es un subgrupo normal de G.
3. SL(n, k)EGL(n, k) y SO(n)EO(n).
4. Sea G un grupo arbitrario, entonces {e} y G son subgrupos carateŕısticos
de G.
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 67
5. Sea G un grupo y C = C(G) su centro, entonces C es un subgrupo
caracteŕıstico de G.
6. Sea G un grupo. El subgrupo conmutador de G′ es definido por:
G′ = {xyx−1y−1/x, y ∈ G}
G′ es un grupo caracteŕıstico de G.
7. Sea G un grupo abeliano. Entonces cada subgrupo de G es normal.
8. Sea f : G→ H un homomorfismo de grupos. Entonces kerf EG.
9. Sea f : G → H un homomorfismo sobreyectivo y sea kerf ≤ U ≤ G,
entonces U EG si y solo si f(U)EH.
10. InnG = {kg|g ∈ G} el conjunto de todos los automorfismos interiores de
G, InnGE AutG.
Se deja como ejercicio al lector comprobar que los ejemplos anteriores son
subgrupos normales o caracteŕıstico.
Teorema 3.10 Primer teorema de isomorfismo. Sea G un grupo.
Si ϕ : G→ H es un homomorfismo, entonces
ϕ(G) ∼= G/kerϕ
Demostración:
Sea ϕ : G→ H un homomorfismo y sea N = kerϕ y consideremos la aplica-
ción
φ : G/N → ϕ(G)
xN 7→ ϕ(x)
Veamos que φ está bien definida: En efecto, sea(n x, y)∈ G t(ales )que x = y.
Sea x−1y ∈ N , como ϕ es un homomorfismo ϕ x−1y = ϕ x−1 ϕ(y) = e.
x−1yN = N esto implica que xN = yN por tanto ϕ(x) = ϕ(y)
φ es un homomorfismo: Sean φ(xNyN) = φ(xyN) = φ(xy) = φ(x)φ(y) =
φ(xN)φ(yN)
φ es uno− uno: Supongam(os q)ue φ(xN) =( φ(y)N), luego ϕ(x) = ϕ(y), como
ϕ es un homomorfismo ϕ x−1 ϕ(y) = ϕ x−1y = e por tanto x−1y ∈ N =
68 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
Ker ϕ aśı x−1yN = N y esto es xN = yN .
φ es sobre: En efecto para todo ϕ(x) ∈ ϕ(G) existe xN ∈ G/N . Ahora
φ(xN) = ϕ(x) = xN
Aśı φ(xN) = xN lo que muestra que φ es sobre.
De lo anterior φ es un isomorfismo, aśı ϕ(G) ∼= G/kerϕ. 
Ejemplos de isomorfismos:
1. El mapeo ϕ : Z → Zn es un homomorfismo sobreyectivo con kerϕ = nZ
entonces Z ∼n/nZ = Zn.
2. La función sign : Sn → {1,−1} es un homomorfismo sobreyectivo con
Ker(sign) = An. Por tanto S ∼n/An = {1,−1}.
Proposición 3.1 : Sean A y B subgrupos de un grupo G. Muestre que AB es
subgrupo de G si, y solo si, AB = BA. (En este caso se dice que A normaliza
a G, es decir, aBa−1 = B para todo a ∈ A).
Demostración:
Sean A y B subgrupos de un grupo G. Supongamos que AB es subgrupo de
G. Veamos que AB = BA.
Sean a ∈ A y b ∈ B, como A y B son subgrupos de un grupo G, a−1 ∈ A
y b−1 ∈ B. Además, ab ∈ AB, como AB es subgrupo de G, existen x ∈ A y
y ∈ B tal que xy = (ab)−1 ∈ AB. De donde:
ab = (xy)−1 = y−1x−1 ∈ BA
Ya que y−1 ∈ B y x−1 ∈ A. Por lo tanto, si ab ∈ AB, entonces ab ∈ BA. Aśı;
AB ⊆ BA (∗)
Por otro lado, si ba ∈ BA, se tiene que
ba = (a−1b−1)−1 ∈ AB
Ya que a ∈ A, b ∈ B, a−1 ∈ A y b−1 ∈ B, de donde a−1b−1 ∈ AB y aśı,
(a−1b−1)−1 ∈ AB, por ser AB es subgrupo de G. Por lo tanto, si ba ∈ BA,
entonces ba ∈ AB. Esto es;
BA ⊆ AB (∗∗)
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 69
De (∗) y (∗∗), se tiene que AB = BA.
Rećıprocamente, sea AB = BA. Veamos que AB es un subgrupo de G.
i) Sean a1b1, a2b2 ∈ AB. Como AB = BA, existen elementos x ∈ A, y ∈ B,
tal que b1a2 = xy. Aśı;
(a1b1)(a2b2) = a1(b1a2)b2 = a1(xy)b2 = (a1x)(yb2) ∈ AB
Aśı; AB es cerrado bajo la operación.
ii) Como A y B son subgrupos de un grupo G. e ∈ A y e ∈ B, luego
ee = e ∈ AB.
iii) Si ab ∈ AB, luego
(ab)−1 = b−1a−1 ∈ BA = AB.
De i), ii) y iii) se tiene que AB es subgrupo de G.
Como se queŕıa demostrar. 
Teorema 3.11 Segundo teorema de isomorfismo. Sea H ≤ G y NEG.
Entonces (H ∩N)EH, HN ≤ G y
H ∼ HN= .
H ∩N N
Demostración :
Sea H ≤ G y N EG.
Veamos que (H ∩N)EH. En efecto:
i) (H ∩N) ⊆ H.
ii) Sean a, b ∈ (H ∩ N), entonces a, b ∈ H y a, b ∈ N . Como H y N son
subgrupos de G, se tiene que ab ∈ H y ab ∈ N . De donde ab ∈ (H ∩N).
Aśı, (H ∩N) es cerrado bajo la operación.
iii) Como H y N son subgrupos de G, e ∈ H y e ∈ N . Luego e ∈ (H ∩N).
iv) Sea a ∈ (H ∩ N), entonces a ∈ H y a ∈ N , luego a−1 ∈ H y a−1 ∈ N .
Aśı; a−1 ∈ (H ∩N).
70 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
v) Sea h ∈ H. Entonces;
h(H ∩N)h−1 = {huh−1 | u ∈ (H ∩N)}
Ahora; si x ∈ h(H∩N)h−1, entonces x = huh−1, para algún u ∈ (H∩N).
Luego, u ∈ H, como H ≤ G, entonces h−1 ∈ H. Aśı;
x = (hu)h−1 ∈ H (∗)
Como NEG, entonces gNg−1 = N , para todo g ∈ G. En particular como
h ∈ H, h ∈ G, de donde hNh−1 = N . Como u ∈ N , se tiene que:
x = huh−1 ∈ N (∗∗)
De (∗) y (∗∗), se deduce que x ∈ (H∩N). Por lo tanto; si x ∈ h(H∩N)h−1,
entonces x ∈ (H ∩N). Esto es:
h(H ∩N)h−1 ⊆ (H ∩N)
Aśı; H ∩N es invariante bajo el automorfismo interior.
De i), ii), iii), iv) y v) se obtiene que (H ∩N)EH.
Veamos que HN ≤ G. En efecto; NEG, entonces hNh−1 = N , para todo h ∈
H. Luego hN = Nh , para todo h ∈ H. Aśı HN = NH y por Proposición
3.1:
HN ≤ G
H HN
Veamos que ∼= . Probemos que la aplicación
H ∩N N
j : H → (HN)/N
h → hN
es un homomorfismo tal que Ker j = (H ∩ N). En efecto; sean h, u ∈ H,
entonces j(hu) = huN = (hN)(uN) = j(h)j(u). Además; si h ∈ Ker j
entonces tenemos que j(h) = hN = eN = N si, y solo si, h ∈ H y h ∈ N si,
y solo si, h ∈ H ∩N .
Por el Primer teorema de isomorfismo tenemos que:
HN H
j(H) = ∼= = H/Ker j
N H ∩N
Como se queŕıa demostrar. 
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 71
Teorema 3.12 Tercer teorema de isomorfismo. Sea AEG y BEG tal
que A ⊆ B, entonces
G/A ∼= G/B
B/A
Demostración:
Se tiene que AEG, por definición para todo g ∈ G y todo h ∈ A ghg−1 ∈ A.
En particular para todo y ∈ B y para todo h ∈ A, ghg−1 ∈ A ya que A ⊆ B
obtenemos B/A es un grupo cociente. Tenemos que AEG y AE B es decir
G/A y B/A son subgrupos cocientes.
Ahora veamos que B/AEG/A; primero veamos que B/A ≤ G/A:
Cerradura: Sea xA, yA ∈ B/A, veamos que (xA)(yA) ∈ B/A; como A E G,
(xA)(yA) = xyA donde xy ∈ B, luego xyA ∈ B/A ⊆ G/A (B ⊆ G).
Neutro: Sea xA ,yA ∈ B/A, veamos que A es el neutro en B/A;
(xA)A = xA2 = xA.
Por otro lado A(xA) = (Ax)A = (xA)A = xA2 = xA (puesto que A E G y
xA = Ax)
Inverso: Sea xA en B/A, como AEG
xA = Ax
AxA = A2x
AxA = Ax
AxAx−1 = A
Además como A ≤ G, A−1 = A
AxA−1x−1 = A
(Ax)(xA)−1 = A
(xA)(xA)−1 = A
Vemos que (xA)−1 es el inverso de xA, con (xA)−1 = A−1x−1 = (xA)−1
Veamos que B/AEG/A; para todo bA ∈ B/A y para todo gA ∈ G/A se tiene
que
(gA)(bA)(gA)−
(
1 = (gA)(bA) g−
) ( )
1A = gbg−1 A
72 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
pues B E G, por lo que gbg−1 = b luego (gA)(bA)(gA)−1 = bA ∈ B/A, es
decir,
(gA)(bA)(gA)−1 ⊆ B/A.
Por lo tanto B/AEG/A.
Sea
f : G/A → G/B
gA 7→ gB = f(gA)
Veamos que está bien definida
Sea
gA = hA
g−1gA = g−1hA
eA = A = g−1hA
Luego g−1h ∈ A ⊆ B,g−1h ∈ B. Aśı gB = hB (Por proposición gB = hB ⇔
g−1h ∈ B)
Veamos que es un homomorfismo:
Sea xA, yA ∈ G/A, entonces
f [(xA)(yA)] = f(xyA) = xyB = xByB = f(xA)f(yA)
Veamos que es sobre:
Sea gB en G/B, entonces g ∈ G, luego existe gA en G/A tal que f(gA) = gB
por lo tanto f es sobre.
Ahora veamos que Kerf = B/A;
⇒) Sea xA ∈ Kerf , entonces f(xA) = xB = B, pues B es el neutro en G/B,
luego x ∈ B, xA ∈ B/A, por lo tanto
kerf ⊆ B/A (1)
⇐) Sea bA en B/A con b ∈ B ⊆ G luego f(bA) = bB = B ya que b ∈ B
entonces bA ∈ Kerf por lo tanto
B/A ⊆ kerf (2)
Por (1) y (2) kerf = B/A, por Primer teorema de isomorfismo; G/A ∼B/A =
G/B. 
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 73
Teorema 3.13 Sea G un grupo y G′ el conmutador de G.(G′ ⊆ G)
i) G′ es un subgrupo caracteŕıstico de G
ii) Si G′ ≤ H ≤ G, entonces H EG y G/H es abeliano
iii) Si H EG y G/H es abeliano, entonces G′ ⊆ H
Demostración
i) Sea f : G→ G un automorfismo en G
Sean( x, y ∈ G, luego
f xyx−1y−
) ( ) ( )
1 = f(x)f(y)f x−1 f y−1 = f(x)f(y)(f(x))−1(f(y))−1
es un homomorfismo luego G′ es un subgrupo caracteŕıstico de G
ii) Sea h ∈ H y x ∈ G. Como H ≤ G entonces h ∈ G y aśı consideramos
xhx−1h−1 ∈ G′ ⊆ H entonces xhx−1h−1 ∈ H, de donde xhx−1 ∈ hH = H;
luego xHx−1 = H y por tanto H EG. ( ) ( ) ( )
Sea xH, yH ∈ G/H, entonces (xH)(yH) x−1H y−1 −1( ) ( ) H = ︸xyx ︷︷y
−1 H︸
∈H
Aśı, (xH)(yH) x−1H y−1H = H de donde (xH)(yH) = (yH)(xH).
Por lo tanto G/H es abeliano.
iii) Si G/H es(abelian)o( y H E) G entonces,(xH)(yH) =( (yH)(xH)) y de aqúı
(xH)(yH) x−1H y−1H = H y por ser H EG, xyx−1y−1 H = H de
donde xyx−1y−1 ∈ H, es decir, que H contiene elementos del conmutador
y aśı G′ ⊆ H. 
′
Observación 3.4 1. Por el anterior resultado como G ≤ H ≤ G y H EG
′
entonces en particular G EG.
′
2. G es el subgrupo normal N más pequeño de G con la propiedad de que
G/N es abeliano.
Definición 3.6 Sea G un grupo. Decimos que G es simple si G no posee
subgrupos normales propios.
Ejemplo 3.1 El grupo An con n = 2, 3 es simple, ya que A2 = {id} y A ∼3 =
Z3. Pero para n = 4 no es simple (¡Probar!)
74 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
EJERCICIOS
1. Sea f : G −→ H un isomorfismo de grupos.
a. Muestre que f se puede restringir a un isomorfismo entre el centro
C(G) de G y el centro C(H) de H.
b. Construya un isomorfismo entre Aut(G) y Aut(H).
c. Muestre que para cualquier elemento x ∈ G, el elemento f(x) ∈ H
tienen el mismo orden de x.
2. Sea f :G −→ G′ un isomorfismo entre un grupo G y un grupo G′. Muestre
que la transformación f−1 : G′ −→ G definida para f−1(x′) = x por
f(x) = x′, es una función bien definida y es un isomorfismo entre G y G′.
3. Sea G un grupo abeliano. Muestre que ser abeliano es una propiedad
estructural de G, probando que si H es isomorfo a G, entonces H también
es abeliano.
4. a. Sea (G, ◦) un grupo, S un conjunto y ϕ : S −→ G una biyección.
Muestre que (S, ∗) es un grupo si definimos la multiplicación en S por
x ∗ y = ϕ−1(ϕ(x) ◦ ϕ(y)).
Muestre que ϕ : (S, ∗) −→ (G, ◦) es un isomorfismo.
b. Definimos una operación binaria ∗ sobre R−{−1} por a∗b = a+b+ab.
Muestre que (R− {−1}, ∗) es un grupo considerando la aplicación
ϕ : R− {−1} −→ R− {0} dado por ϕ(a) = 1 + a.
5. Sea G un grupo ćıclico con generador a, y sea G un grupo isomorfo a G.
Si f :G −→ G′ es un isomorfismo, muestre que para toda x ∈ G, f(x)
está completamente determinado por el valor f(a).
6. Use el ejercicio 5; para determinar cuántos automorfismos hay de Z2, de
Z6, de Z8, de Z y de Z17.
7. Sea σ ∈ Sn − An. Muestre que:
f : An −→ An
α −→ σασ−1
es un automorfismo exterior de An.
3.2. SUBGRUPO NORMAL Y CARACTERÍSTICO. GRUPO COCIENTE 75
8. Sea G un grupo abeliano y n ∈ Z. Muestre que
f : G −→ G
x −→ xn
es un homomorfismo. Supongase que |G| = m. Muestre que f es un
isomorfismo si y solo si m y n son primos relativos.
9. Encuentre un homomorfismo f del grupo diédrico D4 en el grupo cuarto
de Klein V = {e, x, y, z} tal que f(σ) = x y f(τ) = y. Es f inyectivo? es
f sobreyectivo?.
10. Muestre que ord b divide ord a si y solo si existe un homomorfismo f :
G −→ H con f(a) = b.
11. Supóngase que m y n son números naturales dados y considere el homo-
morfismo
f : Z× Z −→ Z
(x, y) −→ mx+ ny
Muestre que si d es el máximo común divisor de m y n, entonces Imf = Zd
y Kerf = Z(n/d,m/d).
12. a. Sea n ≥ 5. Si N es un subgrupo normal de An que contiene un 3-ciclo,
entonces N = An
b. Sea n ≥ 5. Entonces An es simple.
13. Sea H = {id, (1, 2), (3, 4)} ≤ A4 y sea x = (1, 3)(2, 4) y y = (1, 2, 3).
Muestre que (xH)(yH) tiene 4 elementos y por lo tanto no es una clase
de H en A4.
14. Muestre que si A y B son subgrupos normales de un grupo G, entonces
A ∩B y AB son subgrupos normales de G.
15. Sea U ≤ V ≤ G y U EG. Muestre que U E V .
16. Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos sobreyectivo. Muestre que
cada subgrupo normal de H es la imagen bajo f de un subgrupo normal
de G.
76 CAPÍTULO 3. ISOMORFISMOS
17. Sean A ≤ B ≤ G;
a. Muestre que si A es normal en B y B es normal en G, entonces A no
es necesariamente normal en G.
b. Muestre que si A es caracteŕıstico en B y si B es caracteŕıstico en G,
entonces A es caracteŕıstico en G.
c. Muestre que si A es caracteŕıstico en B y si B es normal en G, entonces
A es normal en G.
d Muestre que si B es ćıclico y normal en G entonces A es normal en
G.
18. Muestre que un grupo cociente de un grupo ćıclico es ćıclico.
19. Sea G un grupo y sea kg el grupo de los automorfismos internos de G.
Muestre que la aplicación φ : G −→ kg dada por φ(g) = kg es un ho-
momorfismo de G sobre kg. Muestre que el núcleo es {a ∈ G | ax =
xapara toda x ∈ G}. Determine cuándo φ es un isomorfismo.
20. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique su
respuesta.
(a) An es un subgrupo normal de Sn.
(b) Un homomorfismo es un isomorfismo del dominio con la imagen, si y
solo si el núcleo consta del grupo con solo el elemento identidad.
(c) La imagen bajo un homomorfismo de un grupo de seis elementos,
puede tener doce elementos.
(d) Todo isomorfismo es también un homomorfismo.
Caṕıtulo 4
Producto de grupos
El objetivo de este caṕıtulo es presentar un método constructivo para for-
mar otros grupos, a través de grupos ya conocidos. Además se describirá,
mediante este procedimiento con grupos ćıclicos, cómo se obtiene una clase
de grupos abelianos que incluye los grupos abelianos de orden finito.
4.1. Producto directo externo de grupos
Definición 4.1 .
i) Sean S1, S2, · · · , Sn conjuntos no vaćıos. El producto cartesiano está de-
finido como ∏n
Si = S1 × S2 × · · · × Sn
i=1
ii) Sean G1, G∏2, · · · , Gn grupos con o.b.I ∗. Definimos el producto de gru-
pos como ni=1Gi. A este producto lo denominaremos producto directo
externo de los Gi.
Teorema 4.1 Sean G∏1, G2, · · · , Gn grupos. Sean (a1, a2, · · · , an) y (b1, b2,
· · · , bn) elementos de ni=1Gi con ai, bi ∈ Gi. Definimos
∏ (a1, a2, · · ·∏, an)(b1, b2, · · · , bn) = (a1b1, a2b2, · · · , anbn)
en ni=1Gi. Entonces
n
i=1Gi con la operación definida anteriormente es un
grupo.
77
78 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE GRUPOS
D∏emostración:n
i=1Gi es cerrado bajo la operación definida. En efecto;
(a1, a2, · · · , an)(b1, b2, · · · , bn) = (a1b1, a2b2, · · · , anbn)
donde aibi ∈ Gi para i = 1, · · · , n, puesto que G es un grupo.
Es asociativa: Sea∏n A = (a1, a2, · · · , an), B = (b1, b2, · · · , bn) y C = (c1, c2, · · · ,
cn) elementos de
n
i=1Gi;
A(BC) = (a1, a2, · · · , an)[(b1, b2, · · · , bn)(c1, c2, · · · , cn)]
= (a1, a2, · · · , an)(b1c1, b2c2, · · · , bncn)
= (a1(b1c1)), a2(b2c2), · · · , an(bncn))
= ((a1b1)c1), (a2b2)c2, · · · , (anbn)cn)
= (AB)C
Elemento neutro: Como cada Gi es u∏n grupo, entonces, ei es el neutro en Gi.
Aśı; e = (e1, · · · , en) es el neutro en ni=1Gi. ∏
Inverso: Sea A = (a1, a2, · · · , an) elemento de ni=1Gi. Como Gi es grupo,
entonces, para cada ai ∈ Gi, i = 1, · · · , n, existe a−1i ∈ Gi tal que a a−1i i =
e = a−1i ai. Aśı;
∏ A−1 = (a−1, a−1 −11 2 , · · · , an )
es el inverso de∏A en ni=1Gi.
En conclusión; ni=1Gi es un grupo. 
Observación 4.1 .
i) Si los Gi son abelianos, entonces consideraremos la operación adición y
notaremos el producto⊕como:n
Gi = Gi ⊕G2 ⊕ · · · ⊕Gn
i=1
A este producto lo llamaremos suma directa externa.
ii) El producto directo externo de grupos abelianos es a∏beliano. (Demostrar).
iii) Si Gi tiene ri elementos para i = 1, · · · , n entonces ni=1Gi tiene r1r2 · · · rn
elementos.
4.1. PRODUCTO DIRECTO EXTERNO DE GRUPOS 79
Ejemplo 4.1 Teniendo en cuenta la parte iii) de la observación anterior, el
número de elementos de Z2 ⊕ Z3 es 2 · 3 = 6. Veamos que Z2 ⊕ Z3 es ćıclico.
Un posible generador de Z2 ⊕ Z3 es (1, 1);
(1, 1) = (1, 1)
2(1, 1) = (1, 1) + (1, 1) = (0, 2)
3(1, 1) = 2(1, 1) + (1, 1) = (0, 2) + (1, 1) = (1, 0)
4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1)
5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1) = (0, 1) + (1, 1) = (1, 2)
6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (1, 2) + (1, 1) = (0, 0)
Aśı, Z2 ⊕ Z3 = 〈(1̄, 1̄)〉 es ćıclico finito de orden 6; por tanto
Z ∼2 ⊕ Z3 = Z6
Problema 4.1 Z3 ⊕ Z3 tiene 3 · 3 = 9 elementos, verificar si es o no ćıclico.
Problema 4.2 Z2 ⊕ Z2 tiene 2 · 2 = 4 elementos, verificar si es o no ćıclico.
Si no es ćıclico Z ⊕ Z ∼2 2 = V , donde V es el 4-grupo de Klein.
Teorema 4.2 Sea Z ∼m y Zn grupos. Zm ⊕ Zn = Zmn es ćıclico si y solo si m
y n son primos relativos.
Demostración:
Como 1 es un generador de Zm, este da cero cuando en m1, en 2m1 y aśı
sucesivamente. De manera análoga 1 es un generador de Zn y es cero en n1
veces, en 2n1 veces y aśı sucesivamente. Entonces para que (1, 1) de (0, 0)
simultáneamente el menor múltiplo de m y n debe ser mn y esto solo ocurre
si y solo si m.c.d. (m,n) = 1. Si d = m.c.d. (m,n) > 1, entonces va a existir
(r, s) ∈ Zm ⊕ Zn, tal que:
(r, s) + (r, s) + · · ·+ (r, s) = (0, 0)
Puesto que mnd es divisible tanto por m como por n. Luego no va a existir
un subgrupo generado por (r, s) que sea todo el grupo y aśı Zm ⊕ Zn no es
ćıclico. 
Corolario 4.1 Zm ⊕ Zm ⊕ · · · ⊕ Z ∼m = Zm m ···m , si y solo si, los m son1 2 n 1 2 n i
primos relativos dos a dos.
80 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE GRUPOS
Nota: Se deja la demostración como ejercicio al lector.
Ejemplo 4.2 Sea n ∈ Z, entonces n = (p1)m1(p2)m2 · · · (p )mkk . Aśı;
Z ∼n = Z(p )m1 ⊕ Z(p )m2 ⊕ · · · ⊕ Z1 2 (pk)mk .
En particular, Z ∼ ∼72 = Z9 ⊕ Z8 = Z32 ⊕ Z23
4.2. Producto directo interno de grupos
Definición 4.2 .
i) Sea G un grupo y Hi, i = 1, · · · , n, subgrupos de G. Si existe un isomor-
fismo ∏
φ : ni=1Hi −→ G
∏ (h1, · · · , hn) 7−→ h1h2 · · ·hn,
decimos que G = ni=1Hi es el producto directo interno de los sub-
grupos Hi, i = 1, · · · , n.
ii) Sean H y K subgrupos de G.⋂Denominamos el ensamble de H y K enG como
H ∨K = {U ≤ G | HK ⊆ U}
la intersección de los subgrupos que contienen a HK = {hk | h ∈ H; k ∈
K}.
Teorema 4.3 Un grupo G es el producto interno de los subgrupos H y K si
y solo si
i) H ∨K = G
ii) hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K.
iii) H ∩K = {e}
Demostración:
Como G es el producto interno de los subgrupos H y K entonces existe un
isomorfismo
φ : H ×K −→ G
(h, k) 7−→ hk
4.3. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS 81
Por lo tanto i), ii) y iii) se cumplen y además H ≤ H × K es de la forma
H = {(h, e) | h ∈ H} es un subgrupo de H y K̄ ≤ H × K es de la forma
K = {(e, k) | k ∈ K} es subgrupo de K.
Inversamente; supongamos que se cumplen i), ii) y iii) y veamos que
φ : H ×K −→ G
(h, k) 7−→ hk
es un isomorfismo.
φ es uno-uno: Sean φ((h1, k1)) = h1k1 = h2k2 = φ((h2, k2)). Como G es grupo,
h−1h = k k−12 1 2 1 , de donde h
−1
2 h1 ∈ H y k−12 k1 ∈ K y además son iguales y
como H ∩ K = {e} entonces h−12 h1 = e y k−12 k1 = e. De donde, h1 = h2 y
k1 = k2. Por lo tanto; (h1, k1) = (h2, k2).
φ es sobre: Como H y K son subgrupos de G y además H ∨K = G, por i).
Además por ii) y como “HK es subgrupo de G si y solo si HK = KH”, se
tiene que φ(H ×K) = G.
φ un homomorfismo:
φ((h1, k1)(h2, k2)) = φ(h1h2, k1k2) = h1h2k1k2 = h1k1h2k2 = φ((h1, k1))φ((h2, k2))
Como φ es un isomorfismo, por definición G es el producto interno de los
subgrupos H y K. Como se queŕıa demostrar. 
4.3. Grupos abelianos finitamente generados
Algunos de los teoremas de la teoŕıa de grupos son fáciles de entender
y emplear, aunque sus demostraciones sean muy extensas, este es el caso
del Teorema Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. En
esta sección se presentará este importante teorema sin demostración, para
seguidamente aplicarlo.
Definición 4.3 Sea G un grupo y ai ∈ G con i ∈ I. Si el menor subgrupo
de G generado por {ai | i ∈ I} es igual a G, entonces G es generado por
{ai | i ∈ I}. Si {ai | i ∈ I} es finito, decimos que G es finitamente generado.
Ejemplo 4.3 Z× Z2 está generado por {(1, 0), (0, 1)}.
82 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE GRUPOS
Definición 4.4 Un grupo G es un grupo de torsión si todo elemento de
G es de orden finito. G es libre de torsión si ningún elemento es de orden
finito excepto e.
Teorema 4.4 En un grupo abeliano G, el conjunto T de todos los elementos
de G de orden finito es un subgrupo de G, el subgrupo de torsión de G.
Demostración:
Sean a y b elementos de T . Existen entonces enteros positivos m y n tales que
am = bn = e. Como G es abeliano,
(ab)mn = amnbmn,
entonces
(ab)mn = amnbmn = (am)n(bn)m = enem = e.
Aśı ab es de orden finito y por tanto está en T . Luego T es cerrado bajo la
multiplicación del grupo.
e es de orden finito por tanto e ∈ T . Ahora si a ∈ T y am = e, entonces
e = em = (aa−1)m = am(a−1)m = e(a−1)m = (a−1)m,
luego a−1 es de orden finito y aśı a−1 ∈ T . Por tanto T es un subgrupo de
G. 
Ejemplo 4.4 i) Todo grupo finito es un grupo de torsión.
ii) Z bajo la suma es libre de torsión.
iii) En Z × Z2, el elemento (1, 0) no es orden finito, pero el elemento (0, 1)
es de orden 2. Aśı T = {(0, 0), (0, 1)} es el grupo de torsión de Z× Z2.
Teorema 4.5 T. F. de grupos abelianos finitamente generados. Sea
G un grupo abeliano finito. Entonces G se puede descomponer como el pro-
ducto directo en las siguientes formas:
1. Z rp 1 ⊕ Z rp 2 ⊕ · · · ⊕ Zprn ⊕ Z⊕ · · · ⊕ Z, donde las potencias de primos no1 2 n
necesariamente son diferentes. Y tambien de la forma;
2. Zm ⊕ Zm ⊕ · · · ⊕ Zm ⊕ Z ⊕ · · · ⊕ Z, tal que mi divide a m1 2 n i+1, salvo
factores isomorfos.
Estas descomposiciones son únicas.
4.3. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS 83
Ejemplo 4.5 Descomponer en la forma 1. y en la forma 2. del T. F. de
grupos abelianos finitamente generados, el grupo abeliano de orden
360.
Solución: Sea G un grupo abeliano de orden 360 = 23 · 32 · 5.
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
Expresemos a G en la forma 1.: Expresemos a G en la forma 2.:
Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z180
Z2 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z5 Z2 ⊕ Z6 ⊕ Z30
Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z5 Z ⊕ Z
Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z
2 180
5
Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z Z6 ⊕ Z608 3 3 5
Z ⊕ Z ⊕ Z Z3 ⊕ Z8 9 5 120
Z360 Z360
Definición 4.5 Un grupo G tiene descomposición, si este se puede expresar
como el producto (interno) de sus subgrupos. Si el grupo no tiene tal descom-
posición, decimos que el grupo es sin descomposición.
Teorema 4.6 Los grupos abelianos finitos sin descomposición son precisa-
mente los grupos ćıclicos cuyo orden es un primo.
Demostración:
Sea G un grupo finito abeliano sin descomposición. Por el teorema 4.5, G es
isomorfo a un producto directo de grupos ćıclicos cuyos órdenes son potencias
de primos. Como G es un grupo sin descomposición, el producto directo consta
de solo un grupo ćıclico de orden una potencia de un primo. Por otro lado, sea
p un primo. El grupo Zp es sin descomposición. Pues si Zr pr fuera isomorfo a
84 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE GRUPOS
Zpi × Zpi donde i + j = r, entonces todo elemento tendŕıa a lo sumo orden
pmáx(i,j) < pr. 
Teorema 4.7 Si m divide al orden de un grupo abeliano finito G, entonces
G tiene un subgrupo de orden n.
Demostración:
Por el teorema 4.5 podemos considerar a G como
Z rp 1 ⊕ Z rp 2 ⊕ · · · ⊕ Zprn (4.1)1 2 n
donde no todos los primos pi son necesariamente distintos. El orden de G es
pr11 p
r2 rn
2 · · · pn , entonces m debe ser de la forma p
s1ps21 2 · · · psnn con 0 ≤ si ≤ ri. Por
el teorema 2.16, pri−sii genera un subgrupo ćıclico de Z rp i con p
ri
i |d elementosi
donde d = m.c.d.(prii , p
ri−si
i ) = p
ri−si
i . Luego p
ri−si
i genera un subgrupo ćıclico
de Z rp i de ordeni
prii p
ri−si = psii i .
Aśı teniendo en cuenta la notación de subgrupo ćıclico generado por un ele-
mento, y la descomposición (4.1) de G, el subgrupo de orden m requerido,
tiene la forma 〈pr1−s11 〉 × 〈p
r2−s2〉 × · · · × 〈prn−sn2 n 〉. 
Teorema 4.8 Si m es un entero libre de cuadrado, es decir, si m no es divi-
sible por el cuadrado de algún primo, entonces todo grupo abeliano de orden
m es ćıclico.
Demostración:
Sea G un grupo abeliano libre de cuadrado. Entonces por el teorema 4.5, G
es isomorfo a
Z r1 ⊕ Z rp p 2 ⊕ · · · ⊕ Zprn1 2 n
donde m = pr1pr21 2 · · · prnn . Como m es libre de cuadrado, se debe tener que
todos los ri = 1 y que todos los pi son primos distintos. Por el corolario 4.1,
G es isomorfo a Zp p ···p , aśı que G es ćıclico. 1 2 n
4.3. GRUPOS ABELIANOS FINITAMENTE GENERADOS 85
EJERCICIOS
1. a. Liste los ocho elememtos de Z2×Z4. Encuentre el orden de cada uno
de los elementos. Es ćıclico este grupo?.
b. Encontrar todos los subgrupos propios no triviales de Z2 × Z2.
2. Muestre que S3 no es el producto directo interno de los subgrupos
H = {id, σ1, σ2} y K = {id, τ1}.
3. Sea n = rs donde r y s son enteros primos relativos. Muestre que Zn es
el producto directo interno de sus subgrupos ćıclicos.
4. Considere los subgrupos H = 〈2〉 y K = 〈6〉 de Z12. Determine HK y
H ∨K.
5. De un ejemplo que ilustre que no todo grupo abeliano es el producto
directo interno de dos subgrupos propios no triviales.
6. Encuentre todos los subgrupos de Z2 × Z2 × Z4 que sean isomorfos al
grupo 4-Klein.
7. Encuentre todos los grupos abelianos (salvo isomorfismos) de orden 720;
de orden 1089. Expresarlos en las formas 1 y 2 del teorema fundamental
de grupos abelianos finitamente generados.
8. Muestre que un grupo abeliano finito no es ćıclico si y solo si contiene
algún subgrupo isomorfo a Zp × Zp para algún primo p.
9. Cuántos grupos abelianos de orden 24 (salvo isomorfismos) hay?; y de
orden 25; y de orden (24)(25).
10. Sea G un grupo abeliano de orden 72.
a. Cuántos subgrupos de orden 8 tiene G? Por qué?
b. Cuántos subgrupos de orden 4 tiene G? Por qué?
11. Sean G, H y K grupos abelianos finitamente generados. Muestre que si
G×H ∼= H ×K entonces G ∼= H.
12. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique su
respuesta.
(a) Z2 × Z4 es isomorfo a Z8.
86 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE GRUPOS
(b) Si G1 y G2 son grupos cualesquiera, entonces G1 × G2 siempre es
isomorfo a G2 ×G1.
(c) Zm × Zn tiene mn elementos ya sea que m y n sean o no primos
relativos.
(d) Un grupo de orden primo no puede ser producto directo interno de
dos subgrupos propios no triviales.
(e) Todo elemento en Z4 × Z8 tiene orden 8.
(f) Todo grupo abeliano de orden divisible entre 5 contiene algún subgru-
po ćıclico de orden 5.
(g) Z8 es generado por {4, 6}.
Caṕıtulo 5
Teoremas de Sylow
Los teoremas de Sylow garantizan la existencia de p-subgrupos y dan tam-
bién información del número de p-grupos de Sylow. Se destaca el papel que
juega en estos resultados la acción de grupos y las órbitas. Estos teoremas
son también frecuentemente usados para clarificar la estructura de un grupo
finito de un orden dado.
5.1. Acción de un grupo:
Definición 5.1 Sea X un conjunto y G un grupo. Una acción de G en X es
un mapeo ∗ : X ×G→ X tal que
i) xe = x para todo x ∈ X
ii) x(g1g2) = (xg1)g2 para todo x ∈ X y todo g1, g2 ∈ G.Bajo estas condicio-
nes X es un G− conjunto
Ejemplo 5.1 Sea H ≤ G, entonces G es un H-conjunto bajo la conju-
gación
∗ : G×H → G
(g, h) 7→ g ∗ h = h−1gh
para g ∈ G y h ∈ H.
1) g ∗ e = e−1ge = g
2) g∗(h1h2) = (h −1 −1 −11h2) g(h1h2) = h2 (h1 gh1)h2 = (g∗h1)∗h2 = (gh1)h2
87
88 CAPÍTULO 5. TEOREMAS DE SYLOW
5.2. Órbita y estabilizadores:
Definición 5.2 Sea G un grupo actuando en un cojunto X. Definimos una
relación de equivalencia ∼ en X aśı, x ∼ y si y solo si y = g ∗ x para algún
g ∈ G. Una clase de equivalencia bajo ∼ es llamada órbita. Para cada x ∈ X,
el conjunto
Gx = {g ∈ G | g ∗ x = x}
es un subgrupo de G llamado el estabilizador de x
Teorema 5.1 Si G es un grupo actuando en un conjunto finito X, entonces el
número de elementos en la órbita de x ∈ X es el ı́ndice de G en el estabilizador
de Gx
Demostración:
Sea la aplicación φ : G×X → X dotado de la siguiente manera, φ(g) = g ∗ x
es claro que es sobre, ya que si y ∈ X con y = g ∗ x, entonces existe un g ∈ G
tal que φ(g) = y = g ∗ x.
Para observar la inyectividad si suponemos que φ(g) = φ(h) entonces g ∗
x = h ∗ x, como g, h ∈ G, aplicando inverso g por la izquierda se tiene que
x = (g−1 ∗h)∗x donde g−1h ∈ Gx, aśı h ∈ gGx. 
Observación 5.1 Sea G un grupo y sea ϕ la colección de todos los subgrupos
de G. Convertimos ϕ en un G − conjunto haciendo que G actúe en ϕ por
conjugación. Esto es, si H ∈ ϕ de modo que H ≤ G y g ∈ G. Entonces la
acción de g ∈ H produce el subgrupo conjugado g−1Hg
NG(H) = {g ∈ G|g−1Hg = H}
Hg es el mayor subgrupo de G que contiene a H como subgrupo normal
Teorema 5.2 Sea G un grupo de orden pk y sea X un G− conjunto finito,
entonces |X| ≡ |XG| (mod p)
Definición 5.3 Un grupo G es un p-grupo si todo elemento en G, tiene orden
potencia del primo p. Un subgrupo de un grupo G es un p-subgrupo de G si
el subgrupo es el mismo un p-subgrupo
Definición 5.4 Un p-subgrupo de Sylow p de un grupo G es un p-subgrupo
máximal de G, esto es, un p-subgrupo que no está contenido en un p-subgrupo
mayor.
5.2. ÓRBITA Y ESTABILIZADORES: 89
Definición 5.5 Sea X un G-conjunto finito.Supóngase que hay r órbitas en
X bajo G y sea {x1, x2, · · · , xr} un conjunto que contiene un elemento de
cada órbita en X. Como todo element∑o de X está precisamente en una órbita,tenemos que:
|X| = |XiG|
puede haber órbitas en X con un solo elemento.
Sea XG = {x ∈ X/xg = x;∀g ∈ G}. XG es precisamente la unión de las
órbitas en X con un solo elemento. Supóngase que hay S órbitas con un solo
elemento, donde 0 ≤ S ≤ r, entonces |XG∑| = S y podemos escribir
|X| = |XG|+ |XiG|
Teorema 5.3 (Teorema de Cauchy)
Si p es un primo dividiendo el orden de un grupo finito G, entonces G posee
un elemento de orden p, y por tanto un subgrupo de orden p.
Teorema 5.4 (Primer teorema de Sylow)
i) Si p es un primo y pn divide el orden de un grupo finito G, entonces G
posee un subgrupo normal de orden pi con 1 ≤ i ≤ n. Esto es, G contiene
un subgrupo de orden i para cada i donde 1 ≤ i ≤ n.
ii) Todo subgrupo H de orden p es un subgrupo normal de algún subgrupo de
orden pi+1 para 1 ≤ i ≤ n
Demostración:
i) Por el Teorema de Cauchy se sabe que G contiene un subgrupo de orden
p. Luego usaremos por inducción que si la existencia de un subgrupo H de G
de orden pi para i < n entonces existirá uno de orden pi+1, en efecto, sea H
un subgrupo normal de N(H), entonces p divide a [N(H) : H] y además p
divide a |N(H)/H|. Luego por el Teorema de Cauchy, el grupo conciente
N(H)/H tiene un subgrupo K de orden p.
Si
σ : N(H) → N(H)/H
x 7→ xH
dado por un homomorfismo (Canónico) entonces σ−1(K) = {x ∈ N(H)/σ(x) ∈
K} es un subgrupo de N(H) y por lo tanto va a estar en G. Este subgrupo
90 ∣ ∣ CAPÍTULO 5. TEOREMAS DE SYLOW
contiene a H y de orden pi+1,∣σ−1(K)∣ = pi+1 ∣ ∣
ii) Por parte i) se tiene que H ≤ σ−1(K) ≤ G donde ∣σ−1(K)∣ = pi+1. Como
H es normal en N(H) se tiene que es normal en el subgrupo σ−1(K) que es po-
siblemente menor. 
Teorema 5.5 Si P es un grupo, |P | = pn y C es un P -grupo finito, entonces
|C| = |Cp|mod p.
Teorema 5.6 (Segundo teorema de Sylow)
Si H y R son p-grupos de Sylow de un grupo finito G, entonces H y R son
grupos conjugados de G.
Demostración:
Sea C la colección de las clases laterales derechas de H y R actuando mediante
(Hx)y = H(xy) para todo y ∈ R, luego C es un R-conjunto finito, aśı
|C| = |CR|mod p
Sabemos que |C| = [G : H] y |C| no es divisible por p.
Como dos números son congruentes mod p, dejan el mismo residuo. Aśı, |CR|
no va a ser divisible por p, luego CR 6= ∅.
Supongamos un Hx ∈ CR, aśı Hxy = Hx, para todo y ∈ R,aśı Hxyx−1 = H,
de donde xyx−1 ∈ H para todo y ∈ R por lo que xRx−1 ≤ H
Como |H| = |R|, entonces H = xRx−1,luego H y R son conjugados. 
Teorema 5.7 (Tercer teorema de Sylow)
Si G es un grupo finito y p divide |G|, entonces el número de p-grupos de
Sylow es congruente con 1 mod p y divide a |G|.
Demostración:
Sea ϕ el conjunto de los p-subgrupos de Sylow de G y P un p-subgrupo de
G. P efectúa acción en el conjunto, y de la siguiente forma x−1Tx donde
x ∈ P y T ∈ ϕ, luego decimos que ϕ es un G− conjunto.
Aplicando el Teorema 5.5 tenemos que
|ϕ| ≡ |ϕp| (mod p)
Hallemos ϕp, para esto, tomemos T ∈ ϕp, luego x−1Tx = T para todo x ∈ P .
Aśı, P ≤ N(T ) y T ≤ N(ϕ), además P, T son p-subgrupos de Sylow en G,
además, también lo son de N(T ), de donde T ∈ N(T ) y T es conjugado al
5.2. ÓRBITA Y ESTABILIZADORES: 91
igual que P , luego P = x−1Tx, como T es normal T = x−1Tx, por lo tanto se
concluye que T = P , aśı ϕp = {P}.En consecuencia |ϕp| = 1 por consiguiente
|ϕ| ≡ 1(mod p).
Veamos que divide a |G|. Sea G actuando en ϕ por conjugación, como todos
los p-subgrupos de Sylow son conjugados hay una única órbita de ϕ en G
Si p ∈ ϕ, entonces Gp = N [T ],
Gp = {p ∈ ϕ/g−1Pg; g ∈ G} = {p ∈ ϕ/g−1Tg; g ∈ G}
= {T ∈ ϕ/g−1Tg; g ∈ G} = NG[T ]
Entonces |ϕ| = |Xip| = [G : Gp] es divisible por G, por teorema que establece
que si X es un G-conjunto y sea x ∈ X entonces |XiG| = [G : Gxi]. 
La siguiente aplicación de los teoremas de Sylow, muestra por ejemplo que
todos los grupos de orden 15, 33, 35, 51, 65, 77, 85 y 91 son ćıclicos.
Proposición 5.1 Sea G un grupo de orden pq donde p > q son primos y
q - p− 1. Entonces G es ćıclico. Más exactamente sea P un p-grupo de Sylow
y Q un q-grupo de Sylow de G, escogiendo x ∈ P{e} e y ∈ Q{e}. Entonces
xy genera a G.
Demostración:
Sea k el número de p-grupos de Sylow. Por el tercer teorema de Sylow se tiene
que k divide a pq y k − 1 es divisible por p. Esto implica que k = 1 y aśı P
es el único p-grupo de Sylow de G.
Sea ahora l el número de q-subgrupos de Sylow. Nuevamente aplicando el
tercer teorema de Sylow, l divide a pq y l−1 es divisible por q; luego tenemos
dos opciones l = 1 o l = p, pero como por hipótesis q - p − 1, la posibilidad
de l = p es excluida. Por tanto Q es el único q-subgrupo de Sylow de G. La
aplicación
f : P ×Q→ G (5.1)
es un isomorfismo (¡Mostrar!). Sean x, y como en el enunciado, en particular,
el orden del elemento xy en G es el orden de (x, y), por el isomorfismo (5,1),
en P×Q ∼= Zp×Zq el cual es pq. Luego G es generado por xy y aśı es ćıclico.
Teorema 5.8 Sea G un grupo de orden |G| = 2p donde p es un primo impar.
Entonces G ∼= Z o G ∼2p = Dp.
92 CAPÍTULO 5. TEOREMAS DE SYLOW
Demostración:
Sea P un p-subgrupo de Sylow y Q un 2-subgrupo de Sylow de G. Entonces
existen elementos σ de orden p y τ de orden 2 en G, tales que P = 〈σ〉 y
Q = 〈τ〉. Si k es el número de p-subgrupos de Sylow de G entonces k|2p y
k − 1 es divisible por p; pero esto es solamente posible si k = 1. Por la parte
i) del primer teorema de Sylow, P = 〈σ〉 es normal en G. Consecuentemente,
existe un número natural r tal que τστ−1 = σr. Como τ 2 = id, esto implica
que
σ = τ 2στ 2 = τ(τστ−1
2
= τσrτ−1 = (τστ−1)r = (σr)r = σr .
2
Aśı σr −1 = e. Como ord σ = p, r2 − 1 = (r − 1)(r + 1) es divisible por p.
Luego existen dos posibilidades. Si r − 1 es divisible por p, entonces r ≡ 1,
mod p, por lo tanto σr = σ1 = σ. En este caso τστ−1 = σ y aśı σ y τ
conmutan, y como G = 〈σ, τ〉, esto implica que G es abeliano y por lo tanto
Q es normal. Por el isomorfismo (5,1), G = P × Q ∼= Z × Z ∼p 2 = Z2p es
ćıclico. La otra posibilidad es que r + 1 es divisible por p; y en este caso
r ≡ p−1 módulo p, aśı que σr = σp−1 y por tanto τσ = σp−1τ . Aśı G = 〈σ, τ〉
donde σp = τ 2 = e y τσ = σp−1τ . Lo anterior implica que G es una imagen
homeomórfica del grupo diédrico Dp, pero como |G| = 2p = |Dp|, se tiene que
G ∼= Dp. 
Lema 5.1 Sea G un grupo de orden |G| = pe1pe21 2 · · · penn donde p1, p2, · · · pn
son primos distintos. Supóngase que para 1 ≤ k ≤ n existe un único pk
subgrupo de Sylow Pk de G. Entonces G es isomorfo al producto directo de
sus subgrupos de Sylow. Más exactamente, la aplicación
f : P1 × P2 × · · · × Pn −→ G
(x1, x2, · · · , xn) 7→ x1x2 · · ·xn
es un isomorfismo.
Nota: Se deja la demostración al lector.
5.2. ÓRBITA Y ESTABILIZADORES: 93
EJERCICIOS
1. Responder falso o verdadero según sea el caso y justificar.
a. Todo G-conjunto es, además, un grupo.
b. Cada elemento de un G-conjunto queda fijo bajo la identidad de G.
c. Si todo elemento de un G-conjunto queda fijo bajo el mismo elemento
de g ∈ G, entonces g debe ser la identidad e.
d. Sea X un G-conjunto con x1, x2 ∈ X y g ∈ G. Si x1g = x2g entonces
x1 = x2.
e. Sea X un G-conjunto con x ∈ X y g1, g2 ∈ G. Si xg1 = xg2 entonces
g1 = g2.
f. Sea X un G-conjunto y sea H ≤ G. Entonces se puede considerar X,
de manera natural, como un H-conjunto.
g. Con referncia a f), las órbitas de X bajo H son las mismas que las
órbitas en X bajo G.
2. Sea {Xi|i ∈ I} una colección de conjuntos tales que Xi ∩ Xj = ∅ para
i 6= j. Sea cada Xi un G-conjunto para el mismo grupo G.
a. Muestre que ∪i∈IXi puede verse, de manera natural, como un G-
conjunto, la unión de los G-conjuntos Xi.
b. Muéstre que todo G-conjunto X es la unión se sus órbitas.
3. Sea G un grupo finito y p divide a |G|. Pruebe que si G tiene un solo
p-subgrupo de Sylow, este es un subgrupo normal, de modo que G no es
simple.
4. Muestre que todo grupo de orden 45 tiene un subgrupo normal de orden
9.
5. SeaG un grupo finito tal que p divide a |G|. Sea P un p-subgrupo de Sylow
de G y sea H cualquier p-subgrupo de G. Muestre que existe g ∈ G tal
que g−1Hg ≤ P .
6. Encuentre dos subgrupos 2-subgrupos de Sylow de S4 y muestre que son
conjugados.
7. Supóngase que G es un grupo de orden pn donde n es primo.
94 CAPÍTULO 5. TEOREMAS DE SYLOW
a. Muestre que para cada número 0 ≤ k ≤ n existe un subgrupo normal
H EG de orden pk.
b. Muestre que si N E G es un subgrupo normal de orden |N | = p,
entonces N está contenido en el centro de G.
8. Sea H un subgrupo normal de un grupo finito G. Muestre que |H| es
una potencia del primo p, entonces H está contenido en la intersección
de todos los p-subgrupos de Sylow de G.
9. Sea G un grupo de orden |G| = pq donde p y q son primos distintos con
p > q. Muestre que G tiene exactamente un subgrupo de ı́ndice q y que
este es un subgrupo normal.
10. Sea p, q y r primos distintos y sea n = p2q2r2. Encuentre todos los sub-
grupos de Sylow de Zn.
11. Sea N un subgrupo normal finito de un grupo arbitrario G y sea P un
subgrupo de Sylow de N . Muestre que G = N ·NG(P ).
Caṕıtulo 6
Grupos nilpotentes y solubles
6.1. Conmutador de un grupo G
Los grupos nilpotentes comparten muchas propiedades con los grupos abe-
lianos, nos referimos a estos grupos como grupos casi abelianos los cuales
tienen una cercańıa con los grupos solubles, los cuales son de utilidad para
encontrar las soluciones de las funciones polinomiales.
Definición 6.1 (a) Sea G un grupo, x, y ∈ G. Definimos el conmutador de
x, y como
[x, y] = xyx−1y−1.
(b) El conmutador de dos subgrupos X, Y de G se define como el subgrupo
de G generado por todos los conmutadores [x, y] donde x ∈ X e y ∈ Y ,
esto es,
[X, Y ] = 〈xyx−1y−1|x ∈ X, y ∈ Y 〉.
Observación 6.1 1. [x, y] = e si y solo si xy = yx, es decir si x e y con-
mutan (esto explica el nombre de conmutador).
2. [X, Y ] = e si y solo si cualquiera dos elementos x ∈ X e y ∈ Y conmutan.
De la anterior definición se tiene un caso especial del conmutador de dos
′
subgrupos; a saber, el subgrupo conmutador G = [G,G] de un grupo G.
Continuando con el proceso de formación de subgrupos conmutadores de G,
se asocia con cada grupo G dos cadenas descendientes de subgrupos.
95
96 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
Definición 6.2 Sea G un grupo
′ ′′ ′′′
(a) La serie conmutador G ⊇ G ⊇ G ⊇ G ⊇ · · · ⊇ G(k) ⊇ · · · de G es
definida inductivamente por
G(0) = G, G(k+1) = [G(k), G(k)].
(b) La serie central descendente G ⊇ G[1] ⊇ G[2] ⊇ G[3] ⊇ · · · ⊇ G[k] ⊇
· · · de G es definida inductivamente por
G(0) = G, G(k+1) = [G,G[k]].
A continuación, se enuncian y se demuestran las propiedades básicas de estas
dos series de subgrupos.
Proposición 6.1 Sea G un grupo.
(a) Si H ≤ G entonces H(k) ⊆ G(k) y H [k] ⊆ G[k] para todo k ≥ 0.
(b) Si f : G → F es un homomorfismo entonces f(G(k)) ⊆ F (k) y f(G[k]) ⊆
F [k] para todo k ≥ 0. Si f es sobre, entonces se tiene la igualdad en cadas
caso.
(c) Todos los subgrupos G(k) y G[k] son caracteŕısticos en G.
(d) G(k) ⊆ G(k) para todo k ≥ 0.
(k)
(e) Si G = Πi∈IGi es un producto de grupos Gi entonces G
(k) = Πi∈IGi y
[k] [k]G = Πi∈IGi .
Demostración:
(a) Observemos que
H(
′) = [H,H] = 〈xyx−1y−1|x, y ∈ H〉,
y por ser H ≤ G, H(′) ⊆ ′G( ). Aplicando inducción sobre k H(k−1) ⊆
G(k−1). Ahora se sabe por la definición de la serie conmutador que
H(k) = [H(k−1), H(k−1)].
De donde por la hipótesis de inducción H(k) ⊆ G(k). De manera análoga
H [k]) ⊆ G[k], para todo k ≥ 0.
6.1. CONMUTADOR DE UN GRUPO G 97
(b) El enunciado se muestra usando inducción sobre k y la siguiente observa-
ción:
Para todo x, y ∈ G se tiene que
f([x, y]) = f(xyx−1y−1) = f(x)f(y)f(x−1)f(y−1) = [f(x), f(y)]
(c) Por la parte (b), si f ∈ Aut(G) entonces f(G(k)) = G(k) y f(G[k] = G[k],
para todo k.
′
(d) Se procede por inducción sobre k. El caso k = 0 es trivial, ya queG = G[1].
Supóngase queG(k−1) ⊆ G[k−1]. Teniendo en cuenta la definición de la serie
conmutador se tiene que G(k−1) ⊆ G. Aśı por la suposición anterior
G(k) = [G(k−1), G(k−1)] ⊆ [G,G[k−1]] = G[k].
(e) Para mostrar lo afirmado se debe tener en cuenta lo siguiente: Sean x =
(xi)i∈I y y = (yi)i∈I elementos de G. Entonces
[x.y] = xyx−1y−1 = (x y x−1y−1i i i i )i∈I = ([xi, yi])i∈I. 
′
Ejemplo 6.1 Grupos abelianos. Un grupo G es abeliano si y sólo si G =
[G,G] = {e}; por lo tanto la serie conmutador y la serie central descendiente
de un grupo abeliano están dadas por
G ⊇ {e} ⊇ {e} ⊇ · · · .
Ejemplo 6.2 Grupos diédricos. El grupo diédrico Dn es generado por los
elementos σ y τ con σn = τ 2 = id y στ = τσn−1. Consecuentemente σkτ =
τσn−k para todo k ∈ Z. Usando las relaciones anteriormente descritas, se
obtienen las siguientes formulas del conmutador:
e, si x = σr y y = σs;2r
−1 −1 σ , si x = σ
r y y = σsτ ;
[x, y] = xyx y =  (6.1)σ−2s, si x = σrτ y y = σs;σ2r, si x = σrτ y y = σsτ .
Esto muestra que {
′ Zn, si n es impar;
Dn = [Dn, Dn] = 〈σ2〉 ∼= Zn2, si n es par.
98 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
Consecuentemente, la serie conmutador de Dn es dada por
Dn ⊇ 〈σ2〉 ⊇ {e} ⊇ {e} ⊇ · · · .
Además, usando inducción la expresión (6.1) muestra que la serie central
descendente de Dn es dada por
D ⊇ 〈σ2〉 ⊇ 〈σ2n 〉 ⊇ 〈σ2〉 ⊇ 〈σ2〉 ⊇ · · · .
Hemos estudiado aśı que un grupo es abeliano si y solo si el primer término
de su conmutador o serie central descendiente es igual al grupo trivial {e}.
Ahora definimos los grupos solubles y nilpotentes por la condición de que la
serie conmutador o la serie central ascendente alcanzan a {e} después de un
número finito de pasos.
6.2. Definición y propiedades de los grupos nilpotentes y solubles
Definición 6.3 (i) Un grupo es soluble si su serie conmutador alcanza {e}.
(ii) Un grupo es nilpotente si su serie central descendente alcanza {e}.
(iii) El grupo G es soluble de grado n si G(n) = {e} pero G(n−1) 6= {e}.
(iv) El grupo G es nilpotente de grado n si G[n] = {e} pero G[n−1] 6= {e}.
Ejemplo 6.3 (i) Cada grupo abeliano es nilpotente debido al ejemplo 6.1.
(ii) Cada grupo nilpotente es soluble debido a la proposición 6.1 parte (d).
En el siguiente teorema se muestra que la solubilidad y la nilpotencia son
transmitidas a los subgrupos por las imágenes homomorfas, por tanto también
a los productos directos.
Teorema 6.1 (a) Una imagen homomórfica de un grupo soluble (nilpotente)
es soluble (nilpotente).
(b) Un subgrupo de un grupo soluble (nilpotente) es soluble (nilpotente).
(c) Un producto directo de grupos es soluble (nilpotente) si y solo si todos sus
factores son solubles (nilpotentes).
La demostración del teorema se deja al lector. (Sugerencia: Utilizar las par-
tes (b), (a) y (e) de la proposición 6.1).
6.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 99
Teorema 6.2 Caracterización de la solubilidad. Sea G un grupo.
(a) Sea N E G un subgrupo normal de G. Entonces G es soluble si y solo si
N y GN son solubles.
(b) G es soluble si y solo si es una serie finita
G = N0 EN1 EN2 E · · ·ENk = {e}
de subgrupos de G tales que todos los cocientes NkNk+1 son abelianos.
(c) Supóngase que G es finito. Entonces G es soluble si y solo si existe una
serie finita
G = M0 EM1 EM2 E · · ·EMr = {e}
de subgrupos de G tales que todos los cocientes MkMk+1 son ćıclicos de
orden primo.
Demostración:
(a) ⇒) Por teorema 6,1 N 6 G es soluble si G es soluble, y GN es una
imagen homomórfica de un grupo soluble.
⇐) Supóngase ahora que GN es soluble de orden k y N es soluble de
orden l. Sea
π : G −→ GN
definida como
π(G(k)) = (GN)(k) = {N}
de modo que G(k) ⊆ N . Luego
G(k+l) = (G(k))(l) ⊆ N (l) = {e},
lo cual muestra que G es soluble de orden k + l.
(b) ⇒) Supóngase que G es soluble. Sea Nk = G(k), entomces Nk+1 es normal
′
en Nk y además Nk+1 = Nk, aśı NkNk+1 es abeliano por el teorema 3,13
parte ii). Por lo tanto
′ ′′
GEG EG E · · ·
es la serie requerida.
100 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
⇐) Supóngase ahora que G posee una serie
G = N0 EN1 EN2 E · · · .
Como GN1 es abeliano, por el teorema 3,13 parte iii) se tiene que
′
G ⊆ N1. Como N1N2 es abeliano, nuevamente por (3,13 iii)) se tiene
′ ′′
que N1 ⊆ N2 y consecuentemente, G ⊆ N2. Procediendo de esta forma
se obtiene que G(k) ⊆ N para todo k. En particular, G(n)k ⊆ Nn = {e},
por tanto G es soluble.
(c) ⇐) Si existe una serie
G = M0 EM1 EM2 E · · ·EMr = {e}, (6.2)
por la parte (b) de este teorema, G es soluble.
⇒) Suponemos ahora que G es soluble. Se probará la existencia de una
serie como (6.2), por inducción sobre |G|. Para el caso |G| = 1,G = {e},
por lo tanto la seŕıe se tiene trivialmente. Sea G un grupo soluble y
supóngase que la afirmación se cumple para todo grupo soluble de orden
menor que |G|.
Como G es soluble existe como en la parte (b) del teroema una sucesión
GEN1 EN2 EN3 E · · ·ENk = {e}.
Podemos asumir que G % N1. Sea M1 un subgrupo normal maximal de G
que contiene a N1, entonces el grupo cociente GM1 es abeliano, ya que
el es isomorfo a (GN1)(M1N1) el cual es una imagen homomorfa del
grupo abeliano GN1. Además GM1 es simple por la maximalidad de
M1. Pero un grupo abeliano simple es necesariamente ćıclico y de orden
primo. Aśı el subgrupo M1 de G es soluble y es de menor orden que G,
por tanto por la hipótesis de inducción, posee una serie
M1 EM2 EM3 E · · ·EMr = {e}
como (6.2). Luego
GEM1 EM2 E · · ·EMr = {e}
es la serie diseñada para G. 
6.3. CLASIFICACIÓN DE GRUPOS FINITOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 101
La caracterización anterior muestra que el orden del grupo puede implicar su
solubilidad.
Corolario 6.1 Sean p y q primos diferentes. Entonces cada grupo de orden
pq es soluble.
Demostración:
Supóngase sin pérdida de generalidad que p < q. Entonces existe un q- sub-
grupo de Sylow Q de G el cual es normal en G. Los grupos cocientes GQ y
Q{e} ∼= Q tienen orden primo; por tanto la serie
GEQE {e}
cumple las condiciones del teorema 6.1 parte (c). 
′
Observación 6.2 i) Si un grupo G es soluble pero no abeliano, entonces G
es un subgrupo normal de G y por tanto G no puede ser simple.
ii) Todos los grupos finitos de orden impar son solubles.
iii) Un grupo finito de orden impar no puede ser simple.
iv) Un grupo finito G es soluble si y solo si para cada factorización |G| = mn
con m y n primos relativos, existe un subgrupo de G de orden m
6.3. Clasificación de grupos finitos nilpotentes y solubles
Antes de presentar la clasificación de los grupos finitos nilpotentes se dará
otra definición de serie de subgrupos asociada con un grupo.
Definición 6.4 Sea G un grupo. La serie central ascendente
C0(G) ⊆ C1(G) ⊆ C2(G) ⊆ C3(G) ⊆ · · ·
de G, es definida inductivamente por
C0(G) = {e}, Cn+1(G) = {x ∈ G|[x,G] ⊆ Cn(G)}.
A continuación se expresan las propiedades básicas de las series centrales
ascendentes.
102 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
Proposición 6.2 Sea G un grupo.
(a) Cada Cn(G) es un subgrupo caracteŕıstico de G.
(b) Cn(G) ⊆ Cn+1(G) para todo n ≥ 0.
(c) Si π : G→ GCn(G) es la proyecció(n c(anónica)e)ntonces
−1 GCn+1(G) = π C .
Cn(G)
Consecuentemente, Cn+1(G)Cn(G) es el centro de GCn(G).
(d) Cn(G) = G si y sólo si G
[n] = {e}.
(e) G es nilpotente si y solo si la serie central ascendente de G alcanza a G.
Más exactamente, G es nilpotente de grado n si y solo si Cn(G) = G pero
Cn−1(G) 6= G.
Demostración:
(a) Para n = 0 el enunciado se cumple. Supóngase que Cn(G) es caracteŕıstico
en G. Sea x ∈ Cn+1(G) tal que [x,G] ⊆ Cn(G) y f ∈ AutG; se mostrará
que f(x) ∈ Cn+1(G), esto es que, [f(x), G] ⊆ Cn(G). En efecto,
[f(x), G] = [f(x), f(G)] = f([x,G]) ⊆ f(Cn(G)) ⊆ Cn(G).
(b) Sea x ∈ Cn(G) y y ∈ G, se mostrará que [x, y] ∈ Cn(G).
yx−1y−1 ∈ Cn(G), puesto que Cn(G) es normal en G por la parte (a),
aśı [x, y] = x(yx−1y−1) ∈ Cn(G)Cn(G) = Cn(G) y se cumple que x ∈
Cn+1(G). Luego Cn(G) ⊆ Cn+1(G).
(c) Para cada x ∈ G, sea x̄ = xCn(G) la clase de x módulo Cn(G), y sea Ḡ =
GCn(G). Entonces x ∈ π−1(C(Ḡ)) si y solo si x̄ȳ = ȳx̄, o lo que es lo
mismo que xyx−1y−1 = ē para todo y ∈ G, es decir, si xyx−1y−1 ∈ Cn(G)
para todo y ∈ G. En conclusión x ∈ π−1(C(Ḡ)) si y solo si [x,G] ⊆ Cn(G)
y por la definición de serie central as(cen(dente se))tiene que x ∈ Cn+1(G).Por tanto G
Cn+1(G) = π
−1 C .
Cn(G)
6.3. CLASIFICACIÓN DE GRUPOS FINITOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 103
(d) ⇒) Por la definición de serie central descendente se tiene que [G,Ck+1(G)] ⊆
Ck(G) para todo k. Supóngase que Cn(G) = G. Entonces
G[1] = [G,G] = [G,Cn(G)] ⊆ Cn−1(C).
Consecuentemente,
G[2] = [G,G[1]] = [G,Cn−1(G)] ⊆ Cn−2(C).
Continuando de esta manera se obtiene que
G[n] ⊆ Cn−n(G) = C0(G) = {e}.
⇐) Supóngase que G[n] = {e}, es decir, que [G,G[n−1]] = C0(G). Lo
cual significa que G[n−1] ⊆ C1(G), es decir, que [G,G[n−2]] = C1(G).
Continuando con esta iteración se tiene
G[n−k] ⊆ Ck(G) para todo k.
En particular, G[0] ⊆ Cn(G), esto es, G ⊆ Cn(G), aśı que G = Cn(G).
(e) Es consecuencia inmediata de (d). 
Teorema 6.3 Sea G un grupo finito de orden pn donde p es un primo. En-
tonces G es nilpotente.
Demostración:
Para cada k se tiene que
C ( )k+1(G) G
= C .
Ck(G) Ck(G)
Si Ck(G) 6= G entonces GCk(G) es un grupo no trivial de orden la potencia
de un primo y por tanto tiene centro no trivial. Luego Ck+1(G)Ck(G) es
no trivial, aśı Ck(G) está estrictamente contenido en Ck+1(G). Como G es un
grupo finito no se puede tener una sucesión
{e}  C1(G)  C2(G)  · · ·
de subgrupos estrictamente creciente. Por tanto se debe tener que Ck(G) = G
para algún k. 
El siguiente lema es de importancia para probar el teorema de clasificación
de grupos finitos nilpotentes.
104 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
Lema 6.1 Sea G un grupo nilpotente. Entonces H  G implica que H 
NG(H).
Demostración
C0(G) = {e} ⊆ H, sea N un ı́ndice tal que CN(G) = G * H. Se puede
entonces encontrar un ı́ndice n tal que Cn(G) ⊆ H pero Cn+1(G) * H.
Escogemos x ∈ Cn+1rH y afirmamos que x ∈ NG(H), y aśı x ∈ NG(H)rH,
lo cual establece el lema.
Sea h ∈ H. Entonces xhx−1h−1 = [x, h] ∈ [Cn+1(G), G] ⊆ Cn(G) ⊆ H.
consecuentemente, xhx−1 ∈ Hh = H. y como la escogencia de h ∈ H es
arbitraria, el anterior argumento muestra que xHx−1 ⊆ H, es decir que, x ∈
NG(H). 
Teorema 6.4 Sea G un grupo finito. Entonces las siguientes condiciones son
equivalentes
(1) El grupo G es nilpotente.
(2) Cada subgrupo propio maximal de G es normal en G.
(3) G es isomorfo al producto directo de sus subgrupos de Sylow.
Demostración:
(1)⇒ (2). Sea H  G un subgrupo propio maximal, por ser G nilpotente se
tiene por el lema 6.1 que H  Ng(H). Pero la maximalidad de H fuerza a
que NG(H) = G y aśı H es normal en G.
(2)⇒ (3). Por el lema 5,1 es suficiente mostrar que cada subgrupo de Sylow
de G es normal en G. Sea P un subgrupo de Sylow de G. Si P = G la
implicación se cumple. Por otro parte P  NG(P ) por el lema 5,1. Supóngase
que NG(P ) =6 G, entonces podemos escoger un subgrupo propio maximal Q
tal que NG(P ) ≤ Q  G, entonces Q es normal en G por hipótesis. Sea y ∈ G.
Entonces yPy−1 es un subgrupo de Sylow de yQy−1 = Q, pero aśı es P , y como
los subgrupos de Sylow son conjugados existe q ∈ Q tal que yPy−1 = qPq−1,
lo cual implica que q−1yPy−1q = P , es decir que q−1y ∈ NG(P ) ⊆ Q aśı
que y ∈ qQ = Q. Como la escogencia de y ∈ G fue arbitraria, lo anterior
muestra que G ⊆ Q. Lo cual es una contradicción, por tanto no es cierto que
NG(P ) 6= G. Luego NG(P ) = G y aśı cada subgrupo de Sylow P de G es
normal.
6.3. CLASIFICACIÓN DE GRUPOS FINITOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 105
(3)⇒ (1). Cada subgrupo de Sylow de G es nilpotente por el teorema 6.3, y
un producto directo de grupos nilpotentes es nilpotente por el teorema 6.1
parte (c). Por tanto G es nilpotente. 
Al comienzo del caṕıtulo mencionamos que los grupos solubles son útiles
en la solubilidad de las ecuaciones polinomiales, es aśı que la caracterización
de los subgrupos solubles de Sp es de gran ayuda al estudiar la solubilidad
de cierta clase de polinomios. Comenzamos definiendo subgrupo af́ın de un
grupo simétrico.
Definición 6.5 Sea n ∈ N.
(a) El grupo de permutación af́ın Aff(n), es definido como el subgrupo
Bij(Zn) = {σa,b |σa,b : x 7→ ax+ b con a ∈ Z∗n y b ∈ Zn}.
(b) Un subgrupo G de Sn es llamado af́ın si {1, · · ·n} puede ser identificado
con Zn en tal forma que G es un subgrupo de Aff(N). Más exactamente,
G ≤ Sn es af́ın si existe una biyección
{1, · · ·n} −→ Zn
x 7−→ x̄
tal que el correspondiente isomorfismo
Sn −→ Bij(Zn)
σ 7−→ σ̄
dado por σ̄(x̄) = σ(x) aplica G en Aff(n).
Ejemplo 6.4 El subgrupo ćıclico de Sn generado por un n-ciclo σ = (i1, i2, · · · , in)
es afin. En efecto, si se identifica {1, · · · , n} con Zn v́ıa
i1 7→ [0], i2 7→ [1], i3 7→ [2], · · · , in 7→ [n− 1]
entonces σ es identificado con la aplicación σ̄ : Zn → Zn dada por
σ̄([k]) = σ(ik+1) = ik+2 = [k + 1] = [k] + [1]
lo cual significa que σ̄ es la traslación x → x + 1, es decir, σ̄ = σ1,1 según
la notación de la definición 6.5 parte (a) y por tanto σk = σ̄k = σk1,1 = σ1,1
donde se entiende que k es tomado módulo n.
106 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
Nótese que la identificación de un n ciclo con una traslación tiene una
simple interpretación geométrica: Se escriben los elementos i1, i2, · · · , in en
posiciones como si fueran las horas en la cara de un reloj. Entonces el efecto
de aplicar σ se puede identificar con el movimiento de la aguja de las horas
de este reloj, y el efecto de la k-ésima potencia σk se puede visualizar como
el movimiento de estas agujas k posiciones en el tiempo.
La relevancia de los grupos af́ın en el contexto de los grupos solubles es pre-
sentada en la siguiente proposición.
Proposición 6.3 Cada subgrupo af́ın de Sn es soluble.
Demostración: ( )
a b
Sea G el grupo de todas las matrices de la forma con a ∈ Z∗ y b ∈ Z .
0 1 n n
Facilmente se puede verificar que G es soluble de grado menor o igual a 2 y
que la aplicación
( G) −→ Aff(n)
a b −7 → σ
0 1 a,b
es un isomorfismo. Aśı Aff(n) es una imagen homomorfa de un grupo soluble
y por tanto es soluble. 
Los siguientes resultados, los cuales se darán sin demostración presentan la
clasificación de los grupos solubles.
Proposición 6.4 Sea p un número primo. Supóngase que G ⊆ Sp es transi-
tivo y que ningún elemento σ 6= id en G tiene mas de un punto fijo.
(a) Si σ ∈ G es libre de puntos fijos entonces σ es un p-ciclo.
(b) Existe un p-ciclo σ tal que los elementos de G libres de puntos fijos son
los p− 1 elementos σ, σ2, · · · , σp−1.
(c) G es af́ın.
Teorema 6.5 Sea G un subgrupo transitivo de Sp donde p es un número
primo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes.
(1) G es soluble.
6.3. CLASIFICACIÓN DE GRUPOS FINITOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 107
(2) G es af́ın.
(3) Ningún elemento σ =6 id en G tiene más de un punto fijo.
(4) |G| ≤ p(p− 1).
(5) |G| = pm para algún número natural m < p.
108 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
EJERCICIOS
1. Sea G un grupo y sean X, Y ≤ G subgrupos de G.
(a) Muestre que [X, Y ]E 〈X, Y 〉.
(b) Muestre que X ⊆ NG(Y ) implica que [X, Y ] ⊆ Y , y que Y ⊆ NG(X)
implica que [X, Y ] ⊆ X.
2. Sean x, y y z elementos de un grupo G. Muestre que [x, y]−1 = [y, x] y
[xy, z] = x[y, z]x−1[x, z].
3. Sea G un grupo
′
(a) Muestre que G(k+1) ⊆ (G )[k] para todo k ≥ 0.
′
(b) Muestre que si G es nilpotente entonces G es soluble.
′
(c) Encuentre un grupo soluble G tal que G no es nilpotente.
4. Encuentre la serie conmutador del grupo de cuaterniones.
′
5. Muestre que no existe un grupo G tal que G ∼= S4
′
6. Sea G un grupo y H E G. Muestre que H ∩ G = {e} implica que H ⊆
C(G).
7. Sea G un grupo. Supóngase que A E G y B ≤ G. Muestre que si A y B
son solubles entonces AB es soluble.
8. Sean p y q números primos diferentes.
(a) Muestre que cada grupo de orden p2q es soluble.
(b) Muestre que si p > q entonces cada grupo de orden pkq es soluble.
9.(a) Sea G un grupo. Muestre que si existe un subgrupo H ≤ Z(G) tal
que GH es nilpotente, entonces G es nilpotente.
(b) Sea G = S3. Muestre que G no es nilpotente, pero existe un subgrupo
normal H EG tal que H y GH son nilpotentes.
10. Sea G un grupo finito nilpotente. Muestre que si n|G, entonces G posee
un subgrupo de orden n.
11. Muestre que existen n · ϕ(n) elementos en Aff(n) donde ϕ es la función
de Euler.
6.3. CLASIFICACIÓN DE GRUPOS FINITOS NILPOTENTES Y SOLUBLES 109
12.(a) Muestre que un grupo G es soluble si y solo si existe una serie finita
G = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nk = {e}
de subgrupos normales de G tales que todos los grupos cocientes
NiNi+1 son abelianos.
(b) Muestre que un grupo finito G es soluble si y solo si existe una serie
finita
G = N0 ⊇ N1 ⊇ · · · ⊇ Nk = {e}
de subgrupos normales de G tales que cada grupo cociente NiNi+1
es isomorfo a un grupo Zp × · · · × Zp donde p es un número primo.
13. Supóngase que G es nilpotente y que NEG. Muestre que N 6= {e} implica
que N ∩ C(G) =6 {e}.
14. Sea G un grupo finito.
(a) Muestre que si G es nilpotente con G 6= {e} entonces C(G) 6= {e}.
(b) Muestre que si GC(G) es nilpotente entonces G es nilpotente.
15. Muestre que si A y B son subgrupos normales en G entonces [A,B] es
normal.
16. Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos y justifique su
respuesta.
(a) Un grupo es soluble si y solo si tiene una serie de composición con
grupos cocientes simples.
(b) S7 es un grupo soluble.
(c) Todo grupo finito de orden primo es soluble.
(d) El grupo D4 de simetŕıas del cuadrado es soluble.
17.(a) Supóngase que G =6 {e} es un grupo soluble. Muestre que G contiene
un subgrupo abeliano caracteŕıstico H 6= {e}.
(b) Supóngase que el grupo soluble G es no soluble. Muestre que G tiene
′
un subgrupo caracteŕıstico H con H = H.
′
18. Sea G un grupo arbitrario. Muestre que los elementos de G son exacta-
mente los elementos de la forma x · · ·x x−1 · · ·x−11 n 1 n con xi ∈ G.
110 CAPÍTULO 6. GRUPOS NILPOTENTES Y SOLUBLES
19.(a) Sea K un campo infinito y sea U ≤ T ≤ GL(n,K), los grupos unipo-
′
tente y triangular en dimensión n sobre K. Muestre que T = U .
(b) Muestre que el enunciado (a) no necesariamente es verdadero si K es
finito.
(c) ¿Puede derivar condiciones generales sobre K y n las cuales garanticen
′
que T = U?.
20. Muestre que el grupo permutación af́ın Aff(n) tiene n · ϕ(n) elementos
donde ϕ es una función de Euler.
Eṕılogo
Al finalizar el curso de teoŕıa de grupos se espera que el lector está en la
facultad de interpretar que estructuras algebraicas son grupos, entender el
lenguaje y las técnicas relacionadas con esta estructura algebraica, reconocer
los resultados concernientes a los grupos abelianos, finitos y sus generadores,
aśı como también identificar imágenes homomorfas que aportan en el estudio
de los grupos cocientes. Reconocer qué grupos son normales y caracteŕısticos y
establecer la conexión de este tipo de grupos con los teoremas de isomorfismo
y por tanto con los teoremas de Sylow. Comprender y aplicar los teoremas de
Sylow en los grupos finitos e identificar la relación existente de estos con los
grupos solubles y nilpotentes. Aplicar adecuadamente el teorema fundamen-
tal de grupos abelianos finitamente generados para establecer isomorfismos
de grupos en los cuales su estudio sea de mayor practicidad. Aplicar las pro-
piedades de los grupos solubles y nilpotentes y la conexión de estos con el
conmutador de dos grupos. Identificar la clasificación de los grupos solubles
y nilpotentes.
El lector de estas notas al lograr los objetivos del curso de teoŕıa de grupos,
está además en capacidad de continuar con el estudio de otras estructuras
algebraicas, que son estudiadas en la teoŕıa de anillos y campos, y poder
aśı avanzar en los temas del álgebra como por ejemplo con el estudio de los
módulos y las categoŕıas.
111

Bibliograf́ıa
[1] Spindler, Karlheinz ; Abstract Algebra with Applications: Volume 1:
Vector Spaces and Groups, Marcel Dekker, Inc., New York, 1994.
[2] Fraleigh,John; Algebra abstracta, Addison-Wesley, 1987.
[3] Dummit and Foote; Abstract Algebra 3ª ed.
[4] Herstein, I.N; Topics in Algebra Nueva York, Blaisdell, 1964.
[5] Lang, S.; Algebra, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1965.
[6] Jacobson, N.; Lectures in Abstract Algebra, Van Nostrand, 1964.
[7] Rotman, J.R.; An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1995.
[8] Hungerford,T. W.; Algebra, Springer, 1974.
[9] Birkhoff,G. and Thomas C.; Modern Algebra Applied, McGraw-Hill,
1970.
[10] Robinson, D.J.S.; A Course in the Theory of Groups, Springer, 1995.
[11] Kaplansky, I.; Infinite Abelian Groups, Dover publications, inc. New
York, 2018.
[12] Charris, J., Aldana, B. and Acosta P.; Algebra: Fundamentos, gru-
pos, anillos, cuerpos y teoŕıa de Galois, Academia Colombiana de Ciencias
F́ısicas y Naturales, colección Julio Carrizosa Valenzuela No.16, 2013.
[13] Wilson, R.; The Finite Simple Groups, Springer, 2009.
[14] Fuchs, L.; Abelian Groups, Springer, 2015.
[15] Marshall, H.; The Theory of Groups, Dover publications, inc. New
York, 2018.
113
Índice alfabético
automorfismo 58 lineal especial 16
interior 59 ortogonal especial 16
exterior 59 de klein 24
ciclos 38, 39, 40 de permutación af́ın 105
centralizador 26 de torsión 82
centro de un grupo 26 nilpotente 98, 101, 104
clases producto de 77
lateral izquierda 32, 34 directo externo 77
lateral derecha 32, 34 directo interno 80
residuales 16 simétrico 14, 36, 37
función soluble 98, 101
de Euler 30 suma de 78
núcleo(ker)de 62 directa externa 78
imagen de 62 tabla 56
uno a uno 62 libre de torsión 82
sobreyectiva 62 homomorfismo 57, 58, 61
grupo 8 isomorfismo 57
abeliano 12, 13, 97 monoide 18
abelianos finitamente generados 81 normalizador 26
alternante 37, 44 operación binaria 7
de automorfismo 60 asociativa 8
ćıclico 28, 29, 31, 46, 79 neutro 8, 11
cociente 64,65 inverso 8, 11
conmutativo 12,13 permutación
diédrico 14, 97 par 44
de elementos invertibles 9 impar 44
de matrices 16 signo 44
lineal general 16 subgrupo 23, 24
114
ÍNDICE ALFABÉTICO 115
af́ın 105
caracteŕıstico 64, 66, 73
ćıclico 28,46
de torsión 82
de Sylow 88, 104
infinito 47
finito 47
conmutador 67, 72
generado 26, 28
normal 64, 66, 104
teorema
de Cauchy 89
de Euler 37
de Fermat 37
de grupos abelianos finitamente ge-
nerados 82, 83
de Lagrange 34,35
de isomorfismo 67, 69. 70
primero 67
segundo 69
tercero 70
de Sylow 89, 104
primero 89
segundo 90
tercero 90
transposición 38, 41, 43
traslaciones 34
izquierdas 34
derechas 34
serie 96
conmutador 96
central ascendente 101
central descendente 96
La impresión de este libro se realizó en papel bond blanco 90 grs. para 
páginas interiores y propalcote de 280 grs. para la portada con plastifica-
do mate. Con un tiraje de 200 ejemplares. El libro Notas de Clase, tería de 
grupos,  de la autora María Ofelia Vásquez Ávila, se diseñó y diagramó en 
la Editorial Universitaria - Sección de Publicaciones de la Universidad de 
Cartagena y se terminó de imprimir en el año 2023 en la empresa Alpha 
Impresores, en la ciudad de Cartagena de Indias, Colombia.